专题08 平面向量小题全面梳理与精细分类（练习）-2025年高考数学二轮复习讲练（新高考通用）

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题型一：平面向量基本定理及其应用
1．（2024·山东滨州·二模）在中，为的重心，为上一点，且满足，则（ ）
A．B．
C．D．
2．在中， 若是的内心，的延长线交于， 则有称之为三角形的内角平分线定理， 现已知，，且， 则实数（ ）
A．B．C．D．
3．在平行四边形中，点为线段的中点，点在线段上，且满足，记，则（ ）
A．B．
C．D．
题型二：平面向量共线的充要条件及其应用
4．在中，点满足，直线与交于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·高三·江苏南通·期中）在中，，，，.若，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·高三·安徽亳州·期中）在中，，，与交于点，且，则（ ）
A．B．C．D．1
题型三：平面向量的数量积
7．如图，在中，两直角边，，点E，F分别为斜边AB的三等分点，则 .
8．在边长为1的正中，，则的值等于 ．
9．已知菱形 的边长为 2，且 ，若点 满足 ，则 .
题型四：平面向量的模与夹角
10．已知，且，则 .
11．已知向量的夹角为，则 .
12．若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为 .
题型五：等和线问题
13．四边形是正方形，延长至点，使得，若为中点，为中点，点在线段上移动（包含端点），设，求的取值范围 ．
14．（2024·湖南常德·一模）如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，，则的取值范围为 ．
15．在如图所示的直角梯形中，为梯形内一动点，且，若，则的最大值为 .
题型六：极化恒等式
16．已知圆O的半径为2，A，B是圆O上两点，且，是圆O的一条直径，若动点P满足(，)，且，则的最小值为 .
17．如图，在中，是的中点，，是上的两个三等分点，，则的值是 .
18．（2024·高三·上海松江·期末）已知点P为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是 ．
题型七：矩形大法
19．设向量，，满足，，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．1
20．（2023·河北石家庄·高三阶段练习）已知向量，，满足，，若，则的最大值是 ．
题型八：平面向量范围与最值问题
21．设都是单位向量，且，则的最小值为 ．
22．已知，，为平面向量，如果，，，则的最小值为 .
23．（2024·上海崇明·一模）已知不平行的两个向量满足，．若对任意的，都有成立，则的最小值等于 ．
题型九：等差线、等商线问题
24．（2023·全国·高三专题练习）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若，其中x、.则的最大值为 ；的取值范围是 .
25．（2023·高一单元测试）如图，在中，，，，若延长CB到点D，使，当点E在线段AB上移动时，设，当取最大值时，的值是 .
26．（2023·山东潍坊·高三开学考试）在中，点D满足，当点E在射线AD（不含点A）上移动时，若，则的最小值为 ．
题型十：奔驰定理与向量四心
27．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（ ）
A．B．C．D．
28．在中，，，是的外心，则的最大值为（ ）
A．2B．
C．D．4
29．若的三边为a，b，c，有，则是的（ ）
A．外心B．内心
C．重心D．垂心
题型十一：阿波罗尼斯圆问题
30．（2024·高三·上海闵行·开学考试）阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B间的距离为3，动点满足，则的范围为 .
31．已知平面向量满足，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
32．（2024·高三·山东日照·期中）已知平面向量，，满足⊥，且，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型十二：平行四边形大法
33．（2023·浙江·模拟预测）已知为单位向量，平面向量，满足，的取值范围是____.
重难点突破：向量对角线定理
34．在平面四边形ABCD中,点E、F分别是边AD、BC的中点，且AB=1，EF=,CD=，若，则的值为（ ）
A．13B．14C．15D．16
35．在四边形中，点分别是边的中点，设，.若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
36．在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，设，，若，，，则xy的最小值为 ．
1．如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）．
A．B．C．D．
3．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（ ）
A．B．C．3D．7
4．已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（ ）
A．B．C．D．1
5．如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知，为单位向量，且，向量满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．点P在边长为1的正三角形的外接圆上，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．在半径为2的圆上任取三个不同的点且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
9．（多选题）如图，是边长为的等边三角形，，点在以为直径的半圆上（含端点），设，则（ ）
A．的值不可能大于B．
C．的最小值为D．的最大值为1
10．（多选题）若等边三角形的边长为为的中点，且交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．若点为的中点，则
C．为定值
D．的最小值为
11．（多选题）已知为的外心，，则（ ）
A．与不共线B．与垂直
C．D．
12．（多选题）如图，已知中，，，是的中点，动点在以为直径的半圆弧上.则（ ）
A．
B．最小值为-2
C．在上的投影向量为
D．若的最大值为
13．已知平面向量满足：，，且对任意的单位向量满足，则的最大值为 .（用含的式子表示）
14．在平行四边形中，，，点在边上，满足，则向量在向量上的投影向量为 （请用表示）；若，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为 ．
15．已知点O，A，B，C均在同一平面内，，，，当取最大值时， ．
16．在四边形中，，，，，，分别为线段、的中点，若设，，则可用，表示为 ； .
17．如图，在平面四边形中，，则 .
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc187072972" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc187072972 \h 2
\l "_Tc187072973" 题型一：平面向量基本定理及其应用 PAGEREF _Tc187072973 \h 2
\l "_Tc187072974" 题型二：平面向量共线的充要条件及其应用 PAGEREF _Tc187072974 \h 3
\l "_Tc187072975" 题型三：平面向量的数量积 PAGEREF _Tc187072975 \h 3
\l "_Tc187072976" 题型四：平面向量的模与夹角 PAGEREF _Tc187072976 \h 4
\l "_Tc187072977" 题型五：等和线问题 PAGEREF _Tc187072977 \h 4
\l "_Tc187072978" 题型六：极化恒等式 PAGEREF _Tc187072978 \h 4
\l "_Tc187072979" 题型七：矩形大法 PAGEREF _Tc187072979 \h 5
\l "_Tc187072980" 题型八：平面向量范围与最值问题 PAGEREF _Tc187072980 \h 5
\l "_Tc187072981" 题型九：等差线、等商线问题 PAGEREF _Tc187072981 \h 6
\l "_Tc187072982" 题型十：奔驰定理与向量四心 PAGEREF _Tc187072982 \h 6
\l "_Tc187072983" 题型十一：阿波罗尼斯圆问题 PAGEREF _Tc187072983 \h 7
\l "_Tc187072984" 题型十二：平行四边形大法 PAGEREF _Tc187072984 \h 8
\l "_Tc187072985" 重难点突破：向量对角线定理 PAGEREF _Tc187072985 \h 8
\l "_Tc187072986" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc187072986 \h 8