专题10 正余弦定理在解三角形中的高级灵活应用与最值问题（练习）-2025年高考数学二轮复习讲练（新高考通用）

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题型一：倍长定比分线模型
1．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ．
(1)求C；
(2)若△ABC的面积为，D在边AC上，且CD=CA，求BD的最小值．
2．如图，设中角、、所对的边分别为、、，为边上的中线，已知，，．

(1)求边、的长度；
(2)求的面积；
(3)点为上一点，，过点的直线与边、（不含端点）分别交于、．若，求的值．
题型二：倍角定理与正弦平方差
3．记的内角的对边分别为，已知，且.
(1)证明：；
(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围.
4．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，S为的面积，．
（1）证明：；
（2）若，且为锐角三角形，求S的取值范围．
题型三：角平分线模型与张角定理
5．（2024·江西·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，其外接圆的半径为，且．
(1)求角；
(2)若的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积．
6．在①；②边上的高为；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并完成解答．
问题：记内角，，的对边分别为，，，已知，，______．
(1)求的值；
(2)设是的角平分线，求的长．
7．在中，，为边上的中线，点在边上，设．
(1)当时，求的值；
(2)若为的角平分线，且点也在边上，求的值；
(3)在（2）的条件下，若，求为何值时，最短？
题型四：隐圆问题
8．古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，阿氏圆（阿波罗尼斯圆）是其成果之一.在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上，且满足，当且时，点P的轨迹是圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆.在中，，且，当面积取得最大值时，（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·全国·高三专题练习）若满足条件，，则面积的最大值为 .
题型五：正切比值与和差问题
10．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为 ．
11．在锐角中，内角的对边分别为，若，则的最小值为 ．
12．在中，点D在边BC上，且，记.
(1)当，，求；
(2)若，求的值.
题型六：四边形定值和最值与托勒密定理
13．托勒密是古希腊天文学家､地理学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积.则图四边形为圆的内接凸四边形，，且为等边三角形，则圆的直径为（ ）

A．B．C．D．
14．（2024·高三·山东·开学考试）克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形是圆的内接四边形，且，．若，则圆的半径为（ ）
A．4B．2C．D．
15．在四边形中，，.
(1)若，求；
(2)若，求.
题型七：边角特殊，构建坐标系
16．在中，，，点在内部，，则的最小值为______．
17．在等边 中，为内一动点，，则的最小值是（ ）
A．1B．C．D．
题型八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题
18．（2024·广西柳州·一模）记内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)若，，求的周长．
19．已知的内角的对边分别为，若.
(1)求；
(2)若，求的周长.
20．在中，角所对的边分别是，若，且.
(1)求的值；
(2)若，求的面积.
题型九：三角形的形状判定
21．在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论错误的是（ ）
A．当时，是直角三角形B．当时，是锐角三角形
C．当时，是钝角三角形D．当时，是钝角三角形
22．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
23．在中，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
题型十：三角形中的几何计算
24．（2024·高三·江西萍乡·期中）如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求四边形的周长；
(2)求四边形的面积．
25．如图，四边形中，．

(1)求；
(2)为边上一点，且的面积为，求的外接圆半径．
26．（2024·河南·三模）已知是内一点，.
(1)若，求；
(2)若，求.
题型十一：中线长定理与余弦和为0
27．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)若，求边上的中线的长．
28．在中，内角所对边的长分别为，且满足．
(1)求；
(2)若，是的中线，求的长．
29．（2024·高三·山东滨州·期末）在中，内角所对的边分别为且
(1)求角；
(2)若，是的中线，，求的面积.
重难点突破：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围
30．（2024·高三·辽宁大连·期中）已知函数，中的三个内角，，的对边长分别为，，，．
(1)求角的大小；
(2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围．
31．在锐角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足．
(1)求角B的大小；
(2)若，求面积的取值范围．
32．记的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)证明：是等腰三角形.
(2)若，求的最大值.
33．在中，角、、的对边是、、，已知，为常数．
(1)若，，求面积的最大值；
(2)若，，求的值．
1．已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则AB边上的中线长为（ ）
A．B．C．D．
3．在锐角中，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．在中，，则的面积为（ ）
A．6B．8C．24D．48
5．记的内角的对边分别为，已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．在中内角所对边分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．在中，为边的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．在中，内角所对边分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．2
9．（多选题）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中，正确的命题是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则
C．若，，则面积最大值为3
D．，角B的平分线BD交AC边于D，且，则的最小值为12
10．（多选题）△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．，则△ABC是锐角三角形
B．若，则△ABC是直角三角形
C．若，则
D．若，则
11．（多选题）设的内角的对边分别是，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的外接圆的面积是
C．的面积的最大值是D．的取值范围是
12．（多选题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．若，则为等腰直角三角形
C．若，则的面积为
D．若为锐角三角形，的最小值为1
13．在中，是边的中点，若，，，则 ．
14．在中，的平分线为与交于点，，则 ．
15．在中，为边上一点，且满足，则 ．
16．在中，内角所对的边分别为（）.已知，则的最大值是 .
17．在中，角的对边分别为，且.
(1)求角的大小;
(2)若的面积为，求.
18．的内角的对边分别为，已知，且．
(1)若，求；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围．
19．在中，内角所对的边分别为，.
(1)求；
(2)若的面积为，为的中点，当取得最小值时，求的长.
20．的内角，，的对边分别是，，，，，____________.
(1)若在横线处填入，求；
(2)给出两个条件：
①内角的平分线长为；
②BC边上的中线长为.
从条件①②中选择一个填入横线，求的面积.（若选择①②分别作答，则按选择①给分）.
21．已知中，．
(1)求证：；
(2)如图，在中，，在边上存在一点，使得，，的平分线交于，求．
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc187093268" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc187093268 \h 2
\l "_Tc187093269" 题型一：倍长定比分线模型 PAGEREF _Tc187093269 \h 2
\l "_Tc187093270" 题型二：倍角定理与正弦平方差 PAGEREF _Tc187093270 \h 3
\l "_Tc187093271" 题型三：角平分线模型与张角定理 PAGEREF _Tc187093271 \h 3
\l "_Tc187093272" 题型四：隐圆问题 PAGEREF _Tc187093272 \h 4
\l "_Tc187093273" 题型五：正切比值与和差问题 PAGEREF _Tc187093273 \h 5
\l "_Tc187093274" 题型六：四边形定值和最值与托勒密定理 PAGEREF _Tc187093274 \h 5
\l "_Tc187093275" 题型七：边角特殊，构建坐标系 PAGEREF _Tc187093275 \h 6
\l "_Tc187093276" 题型八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题 PAGEREF _Tc187093276 \h 6
\l "_Tc187093277" 题型九：三角形的形状判定 PAGEREF _Tc187093277 \h 7
\l "_Tc187093278" 题型十：三角形中的几何计算 PAGEREF _Tc187093278 \h 8
\l "_Tc187093279" 题型十一：中线长定理与余弦和为0 PAGEREF _Tc187093279 \h 9
\l "_Tc187093280" 重难点突破：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围 PAGEREF _Tc187093280 \h 10
\l "_Tc187093281" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc187093281 \h 12