模块三 平面向量（测试）-2025年高考数学二轮复习讲练（新高考通用）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点，，向量，则（ ）
A．B．C．D．
2．若两个单位向量满足，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E满足，记，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．在中，角B，C所对的边分别为b，c，D为边BC上的点.已知
：，：平分，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
7．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形，其中，则（ ）
A．4B．C．8D．
8．已知，为单位向量，且，向量满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设是两个相互垂直的单位向量.若向量，则（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在四边形中，，为的中点，与交于点，与交于点，设，，则下列结论正确的是（ ）

A．B．
C．D．若，则
11．定义：两个向量的叉乘的模，则下列命题正确的是（ ）
A．若平行四边形的面积为4，则
B．在正中，若，则
C．若，，则的最小值为12
D．若，，且为单位向量，则的值可能为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知平面向量，满足，则 ．
13．已知点均在所在平面内，以下所有正确说法的序号是 ．
①若动点满足，则点为的重心；
②若动点满足，则动点的轨迹一定经过的内心；
③若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心；
④若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心．
14．在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知向量.
(1)若，求的值；
(2)若，求实数的值；
(3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.
16．（15分）
如图，在中，，．设，．
(1)用，表示，；
(2)若为内部一点，且．求证：，，三点共线．
17．（15分）
在中，已知.
(1)求；
(2)记为的重心，过的直线分别交边于两点，设.
（i）求的值；
（ii）若，求和周长之比的最小值.
18．（17分）
如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.
(1)在仿射坐标系中，若，求；
(2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；
(3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值.
19．（17分）
已知平面直角坐标系中，点Aa,0，点（其中，为常数，且），点为坐标原点．

(1)设点为线段上靠近的三等分点，，求的值；
(2)如图所示，设点，，，…，是线段的等分点，其中，，
①当时，求的值（用含，的式子表示）；
②当，时，求的最小值．
（说明：可能用到的计算公式：，）．