2025高考数学一轮复习-第6章-数列-第2讲 等差数列【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-第6章-数列-第2讲 等差数列【课件】，共41页。PPT课件主要包含了教材再现四基诊断，第2项，同一个，m2d，重点串讲能力提升，等差数列基本量的运算，等差数列的判定与证明等内容，欢迎下载使用。
课程标准　1.理解等差数列的概念和通项公式的意义．　2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．　3.体会等差数列与一元一次函数的关系．
1.等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从_______起，每一项与它的前一项的差都等于________常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的______，通常用字母d表示，符号表示为an－an－1＝d，n∈N*且n≥2，d为常数．
3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，公差为______．
1.判断下列结论是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”）.(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　)(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　　)(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)
3.在数列{an}中，a1＝－2，an＋1－an＝2，则a5＝(　　)A．－6 B．6C．－10 D．10解析：∵an＋1－an＝2，∴数列{an}是公差为2的等差数列．又a1＝－2，∴a5＝a1＋4d＝－2＋2×4＝6.
4.已知等差数列{an}，其前n项的和为Sn，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝20，则S9＝(　　)A．24 B．36C．48 D．64
例1　 (2018·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)A．－12　　　　　　　B．－10C．10 D．12
1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个（简称“知三求二”）.2.确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝　　　　．解析：∵2S3＝3S2＋6，∴2(3a1＋3d)＝3(2a1＋d)＋6，即6d＝3d＋6，解得d＝2.
(2)[解]　由(1)知，a1＝3，d＝1，所以数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即an＝n＋2.
等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n，都有an＋1－an等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n，都有2an＋1＝an＋an＋2.(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列．(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．
等差数列的性质及其应用
在等差数列{an}中，若a5＋a6＝4，则lg2（2a1·2a2·…·2a10）＝　　　　．解析：由等差数列的性质知a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，则2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4，所以lg2（2a1·2a2·…·2a10）＝lg225×4＝20.
(2)已知等差数列{an}共有(2n＋1)项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为(　　)A．30 B．29C．28 D．27
等差数列前n项和的常用的性质在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S10＝10，S20＝60，则S40＝(　　)A．110 B．150C．210 D．280解析：因为等差数列{an}的前n项和为Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列，故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，所以S30＝150.又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，所以S40＝280.
角度3　等差数列前n项和的最值例5　（多选）设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则(　　)A．d＜0B．a7＝0C．S9＞S5D．S6与S7均为Sn的最大值
[解析]　S6＝S5＋a6＞S5，则a6＞0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，∴d＝a7－a6＜0，S8＝S7＋a8＜S7，则a8＜0，a9＜0.又a6＋a8＝a5＋a9＝2a7＝0，∴S5＞S9.由a7＝0，a6＞0知S6，S7是Sn中的最大值．
1.项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.2.和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S2n－1＝(2n－1)an.(3)依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列．
3.求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)邻项变号法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)函数法，利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值．