2025高考数学一轮复习-第8章-直线与圆-第2讲 直线的交点坐标与距离公式【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-第8章-直线与圆-第2讲 直线的交点坐标与距离公式【课件】，共49页。PPT课件主要包含了教材再现四基诊断，k1·k2＝－1，k1≠k2，无数个，x＋4y＋5＝0，重点串讲能力提升，两条直线的平行与垂直，x＋2y＋1＝0，x－y＝0，对称问题等内容，欢迎下载使用。
课程标准　1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直．　2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．　3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
1．两条直线的位置关系直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表：
k1＝k2且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0
A1A2＋B1B2＝0
A1B2－A2B1≠0
(2)两直线的位置关系与方程组解的关系
(2a－x0，2b－y0)
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　)(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　)
解析：(1)两直线l1，l2有可能重合．(2)当l1⊥l2时，若l1的斜率k1＝0，则l2的斜率不存在，不满足题意．
2．与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程为________________．解析：设所求对称直线的点的坐标(x，y)，关于x轴的对称点的坐标(x，－y)在已知的直线上，所以所求对称直线方程为3x＋4y＋5＝0.
3．已知直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a的值为________．解析：∵两直线垂直，∴(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，可得11a2－11a＝0，解得a＝0或1.
4．设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的________条件．
例1　已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)当l1⊥l2时，求a的值．
1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．2．在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
(2024·山东青岛模拟)已知直线l经过点(1，－1)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l的方程为________________．解析：∵直线l与直线2x－y－5＝0垂直，∴设直线l的方程为x＋2y＋c＝0.∵直线l经过点(1，－1)，∴1－2＋c＝0，即c＝1.即直线l的方程为x＋2y＋1＝0.
两直线的交点与距离问题
例2　(1)(2024·广东广州调研)直线l经过原点，且经过两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为_______________．(2)已知直线经过点(1，2)，并且与点(2，3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________________________．
4x－y－2＝0或x＝1
1.求过两直线交点的直线方程的方法：先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．2．利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．
角度1　中心对称例3　过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为______________．
[解析]　设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．
已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求直线l关于点A对称的直线l′的方程．解：法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1，1)，N(4，3)，则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上．易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.
法二：设Q(x，y)为l′上任意一点，则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y).∵Q′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即直线l′的方程为2x－3y－9＝0.
角度2　轴对称例4　已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为______________．
解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图所示).若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为________．
解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
角度1　与平行、垂直有关的直线系例5　(1)过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程为________________．(2)经过点A(2，1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程为________________．
[解析]　(1)设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠5)，由题意知2×1＋3×(－4)＋c＝0，解得c＝10，故所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.(2)因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0.又直线过点A(2，1)，所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，故所求直线方程为x－2y＝0.
角度2　过两直线交点的直线系例6　已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．[解]　设所求直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.因为直线l与l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
几种常见的直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m≠C).(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0.(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
直线l1：x＋y－4＝0与l2：x－y＋2＝0的交点为P，直线l：2x－y－1＝0.(1)求过点P且与直线l平行的直线方程；(2)求过点P且与直线l垂直的直线方程．