2020~2024【新高考II卷】数学命题规律分析暨2025年命题方向预测

这是一份2020~2024【新高考II卷】数学命题规律分析暨2025年命题方向预测，共115页。试卷主要包含了排列组合二项式定理等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc24671" 2020-2024届五年新高考II卷命题规律分析暨2025年命题方向预测 PAGEREF _Tc24671 \h 1
\l "_Tc10254" 2025年全国各省份语数外试卷预估 PAGEREF _Tc10254 \h 1
\l "_Tc13391" 一、集合与简易逻辑小题 PAGEREF _Tc13391 \h 2
\l "_Tc27664" 二、不等式小题 PAGEREF _Tc27664 \h 4
\l "_Tc23537" 三、 复数小题 PAGEREF _Tc23537 \h 6
\l "_Tc206" 四、 平面向量小题 PAGEREF _Tc206 \h 7
\l "_Tc18155" 五、三角函数小题 PAGEREF _Tc18155 \h 9
\l "_Tc24554" 六、立体几何小题 PAGEREF _Tc24554 \h 16
\l "_Tc30364" 七、数列小题 PAGEREF _Tc30364 \h 26
\l "_Tc25188" 九、概率统计小题 PAGEREF _Tc25188 \h 30
\l "_Tc20642" 十、解析几何小题 PAGEREF _Tc20642 \h 32
\l "_Tc28057" 十一、函数与导数小题 PAGEREF _Tc28057 \h 43
\l "_Tc10827" 十二、三角函数与解三角形 PAGEREF _Tc10827 \h 54
\l "_Tc6496" 十三、数列 PAGEREF _Tc6496 \h 70
\l "_Tc31955" 十四、概率统计 PAGEREF _Tc31955 \h 79
\l "_Tc8152" 十五、立体几何 PAGEREF _Tc8152 \h 84
\l "_Tc28770" 十六、函数与导数 PAGEREF _Tc28770 \h 94
\l "_Tc11494" 十七、解析几何 PAGEREF _Tc11494 \h 108
2020-2024届五年新高考II卷命题规律分析暨2025年命题方向预测
MST老唐说题（四川总部）&为学溪教育 李弦裴
话说天下大势，合久必分，分久必合，中国高考也是如此。2000年，教育部决定实施分省命题。十多年后，由分到合。
2024年，除了保留北京、天津、上海、台湾实行全科自主命题外，全国除西藏新疆外全部使用语数外全国卷+理化生史地政自主命题。
2025年全国各省份语数外试卷预估
研究发现，新课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性。每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定。掌握了全国卷的各种题型，就把握住了全国卷命题的灵魂。基于此，笔者潜心研究近5年全国新高考II卷和高考数学评价体系，精心分类汇总了近5年全国新高考I卷。所有题型，为了便于读者使用，所有题目分类（共21类）列于表格之中，按年份排序。
2024年新高考数学阅卷情况
（1）最后一题满分的，浙江30人，江苏12人，河南0人，安徽1人，江西1人；
（2）江西最后一题仅有1人全对，江西数学全省平均分：42.45分；
（3）河南最后一题没有人拿满分，得16分的只有8人；
（4）衡水中学最后一题接近满分的有32人，其中整个试卷最高分148分
2024年起高考数学难度增大是必然事件。各位考生要重点注意，勤奋努力。
本文档是第1次修订，为了适应不同基础的考生使用，特别新增了选择题和填空题的解法，解法大都体现“小题小做”。
一、集合与简易逻辑小题
1．集合小题：5年5考，每年1题-2题，2024年未考集合题，2025是不是可以考集合压轴了？都是交并补子运算为主，多与不等式交汇，新定义运算也有较小的可能，但是难度较低；基本上是每年的送分题，相信命题小组对集合题进行大幅变动的决心不大。
2．简易逻辑小题：5年1考．这个考点包含的小考点较多，并且容易与函数，不等式、数列、三角函数、立体几何交汇，热点就是“充要条件”；难点：否定与否命题；冷点：全称与特称，思想：逆否．要注意，这类题可以分为两大类，一类只涉及形式的变换，比较简单，另一类涉及命题真假判断，比较复杂．今年本部分出题概率均较低，要注意充要条件除去和三角、数列结合之外的题型。
二、不等式小题
5年2考，基本不等式难度较旧高考有所加大，除了2020年、2022年考察之外，2024未考查，2025是不是可以考一下了？考生可以注意一下柯西不等式、权方和不等式、双变量、齐次等知识点
复数小题
5年5考，每年1题，以四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．一般涉及考查概念：实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标等．值得注意的事是，2023年四省联考和2024年九省联考，复数均有多选综合题，涉及到三角表示，高三考生不得不注意。
平面向量小题
5年5考，每年1题，向量题考的比较基本，突出向量的几何运算或代数运算，不侧重于与其它知识交汇，难度不大。2021年所考系2004年浙江文理科压轴三元平方差，而极化恒等式、等数值线、奔驰定理在本板块不应作为重点准备，本身都不怎么考。目前也可能用空间向量的运算代替平面向量这个题的考点。
五、三角函数小题
5年8考，2021年未考小题，有时2题或3题．题目难度有时候小，有时候大，主要考察公式熟练运用，平移，由图像性质、化简求值、解三角形等问题（含应用题），基本属于“送分题”．考三角小题时，一般是一个考查三角恒等变形或三角函数的图象性质，而解答题一般考查解三角形。
六、立体几何小题
5年11考，平均每年2题左右，最少一年2024年只考了1题，最多一年考了3个题，目前立体几何在小题已经出了一些难题和压轴题了。考查内容有体积表面积的计算、交线长计算、空间向量的分析、应用题、内含内切问题，仅在2022年考查外接球问题了。新形势下，立体几何值得注意的是应用题、空间向量运算、交线长运算等。至于体积表面积这是基本要掌握的。
七、数列小题
5年5考，每年必出1题。比较难的是2021年的数列论这一道题，2022年的应用题也难住了不少考生，具体见点题班演示。目前仅在2021年出现了压轴小题。建议考生还是重点注意该类型试题。
八、排列组合二项式定理：
5年4考，排列组合出现较多，这一点很合理，因为排列组合可以在概率统计和分布列中考查．排列组合考题的难度不大，无需投入过多时间（无底洞），而且排列组合难题无数，只要处理好分配问题及掌握好分类讨论思想即可！二项式定理“通项问题”也不一定出现.
九、概率统计小题
5年6考，除2021年之外，每年一题，考点不固定。仅2024年考查了压轴小题概率统计板块考查的知识点可以很多，之前很多老师在备考上不太在意的点，如平均数标准差极差其实也可以考很难。独立事件、古典概型、正态分布、数学期望仍然值得注意。2021和2022年的正态分布难死了很多普娃。普娃的复习还是李弦裴老师的方针：全面复习，不了死角。2023年的译码也很难。明年概统还会压轴吗？当大家都觉得不会考的时候，它就考了，高考命题向来是意料之外，情理之中。会不会2025年条件概率当做压轴?我觉得I卷，II卷，III卷，或者说ABC卷，可能会有一套卷子，用条件概率当压轴。
十、解析几何小题
5年13考，每年至少2题！太稳定了！太重要了！全国卷注重考查基础知识和基本概念，综合一点的小题侧重考查圆锥曲线与直线位置关系，多数题目比较单一,一般一个容易的，一个较难的．重点是解析几何的定义、MST焦长焦比公式、解析几何方程、常考三角形模型、圆的弦长问题、抛物线性质综合、新定义曲线等，一部分题型不重复考查，极个别的重复考查（内部学员可以参考MST创始人陪跑课）。
十一、函数与导数小题
5年14考，可见其重要性！主要考查基本初等函数图象和性质，包括：定义域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、平移、导数、切线、零点、应用题、三次函数等，分段函数是重要载体！函数已经不是值得学生“恐惧”的了吧？近年比较大小难度较大，但我们内部8月下旬教研会分析因该板块不少方法用高数比较简单，所以已经确定比较大小弱化了，可能不用准备那么难的。要重视两类抽象函数问题，这类考点已经替代了W卡根这一个三角考点。今年函数导数小题估计会在抽象函数（两类）、切线界定、函数图像、函数性质求参、三次函数中出题。
十二、三角函数与解三角形
5年5考，重点考查正、余弦定理，小题中侧重于考查三角函数的图象和性质．大题难度不小。要重视以下重点知识:射影定理三板斧、倍角定理、面积周长最值理论、张角定理、角平分线定理、斯库顿定理、斯坦纳定理、斯特瓦尔特定理、余弦双用等
十三、数列
5年5考，数列解答题，难度加大了很多，基本回到了全国大纲卷时代，而且考查难度比之前更大，在新定义背景上，结合四省联考和九省联考，主要还是离散数学这本书考查要多一些。2020年开局年的题就不简单，第二问纯粹靠学生分析规律。再到2024年九省联考前我们团队明示了压轴题是北京卷风格的数列压轴和数论压轴。（见GA处的相关记录）2024年高考仍然为数列和数论结合方向的题。明年是不是该考集合论和数列结合的题了？
十四、概率统计
5年5考，概率统计解答题，难度加大了很多，2021和2024年直接考到压轴题难度。模拟题基本和大学概率统计教材接轨，而且对考生的理解能力要求很高。热点主要还是K方、全概率公式等内容。比如匹配问题、最可能成功次数、分赌注问题、两端带有吸收壁的随机游走、马尔可夫链、常见分布归类总结、最大似然估计法推荐优生和强基学员还是关注一下。
十五、立体几何
5年5考，立体几何重点还是二面角、线面角，动态问题。阅卷时关注的常常是建系是否给出了依据，是否参照答题格式。考生在2025届应该关注几何解法体系。
十六、函数与导数
5年5考，4年出了压轴，已经打破了必出压轴的情况。2020年朗博同构（唐鑫、张羊利、魏国浩老师推广）、2021双向极值点偏移、2022同构等比等差模型、2023隐零点（未出压轴，这是2015年全国卷试题改编）、2024年恒成立与端点效应，同构应该不会再考了，重点应该还是恒成立与端点效应（侧向于极值点辨析）。题型不固定，但重点还是《MST新思路导函数》此书上的内容。
十七、解析几何
5年5考，5年出了4次压轴。题型不固定，但重点还是《MST新思路圆锥曲线》此书上的内容。
新课标I卷
河北、江苏、浙江、安徽、福建、江西、山东、河南、湖北、湖南、广东、陕西
新课标II卷（经任老提及，这些省份涉及“边疆和民族地区”的可能会考新卷子，但个人估计体系从II卷延伸出来）
山西、辽宁、吉林、黑龙江、广西、海南、重庆、贵州、云南、甘肃、新疆、内蒙古、四川、西藏、青海、宁夏
自主命题
北京、天津、上海、台湾
年份
题目
2020
设集合A={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，则=（ ）
A．{1，3，5，7}B．{2，3}C．{2，3，5}D．{1，2，3，5，7，8}
【答案】C
【难度】0.94
【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果.
【详解】因为A{2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，
所以
故选：C
【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单.
2020
某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A．62%B．56%
C．46%D．42%
【答案】C
【难度】0.85
【分析】由容斥原理即可得解..
【详解】由题意，该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.
故选：C.
2021
设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.94
【分析】根据交集、补集的定义可求.
【详解】由题设可得，故，
故选：B.
2022
已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【分析】方法一：求出集合后可求.
【详解】[方法一]：直接法
因为，故，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合，可得，不满足，排除A、D；
代入集合，可得，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
2023
设集合，，若，则（ ）．
A．2B．1C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
年份
题目
（2024·四川成都·二模）
已知向量是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，当时，称有序实数对为点的广义坐标．若点的广义坐标分别为，则“"是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【难度】0.85
【分析】根据向量的垂直和线性运算即可判断.
【详解】根据题意得：，.
因为，
所以，
则，即
因为向量是平面内的一组基向量，
所以.
故“"是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
2024
已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题B．和q都是真命题
C．p和都是真命题D．和都是真命题
【答案】B
【难度】0.94
【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，
对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，
综上，和都是真命题.
故选：B.
年份
题目
2020
已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【难度】0.65
【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.
2022
若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【难度】0.65
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
年份
题目
2020
=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【分析】直接计算出答案即可.
【详解】
故选：B
【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单.
2021
复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【难度】0.85
【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.
【详解】，所以该复数对应的点为，
该点在第一象限，
故选：A.
2022
（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.94
【分析】利用复数的乘法可求.
【详解】，
故选：D.
2023
在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【难度】0.85
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为，
则所求复数对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
2024
已知，则（ ）
A．0B．1C．D．2
【答案】C
【难度】0.94
【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.
【详解】若，则.
故选：C.
年份
题目
2020
在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.
2021
已知向量，，， ．
【答案】
【难度】0.85
【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得，
因此，.
故答案为：.
2022
已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb，若=，则（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【难度】0.85
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：c=3+t,4,csa→,c→=csb,c→,即,解得,
故选：C
2023
已知向量，满足，，则 ．
【答案】
【难度】0.85
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.
【详解】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.
故答案为：.
2024
已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【难度】0.85
【分析】由得，结合，得，由此即可得解.
【详解】因为，所以，即，
又因为，
所以，
从而.
故选：B.
年份
题目
2020
下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【难度】0.65
【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.
【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A,
不妨令,
当时，，
解得：，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
2020
某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为 cm2．
【答案】
【难度】0.65
【分析】利用求出圆弧所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形的面积，求出直角的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.
【详解】设，由题意，，所以，
因为,所以，
因为，所以，
因为与圆弧相切于点，所以，
即为等腰直角三角形；
在直角中，，，
因为，所以，
解得；
等腰直角的面积为；
扇形的面积，
所以阴影部分的面积为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.
2022
2022·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +csα =0，取，排除A, B；
再取α=0则sinβ +csβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换

所以
即
故选：C.
2022
（2022·全国·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【答案】AD
【难度】0.85
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得：f2π3=sin4π3+φ=0，所以，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，f(7π6)=0，直线不是对称轴；
对D，由y′=2cs2x+2π3=−1得：cs2x+2π3=−12，
解得或,
从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为k=y′x=0=2cs2π3=−1，
切线方程为：y−32=−(x−0)即．
故选：AD．
2023
已知为锐角，，则（ ）．
A．3−58B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为，而为锐角，
解得：．
故选：D．
2023
已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．

【答案】
【难度】0.65
【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得．
【详解】设，由可得，
由可知，或，，由图可知，
，即，．
因为，所以，即，．
所以，
所以或，
又因为，所以，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．
2024
对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期D．与的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【难度】0.65
【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【详解】A选项，令，解得，即为零点，
令，解得，即为零点，
显然零点不同，A选项错误；
B选项，显然，B选项正确；
C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，
的对称轴满足，
显然图像的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC
2024
已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
【答案】
【难度】0.85
【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【详解】法一：由题意得，
因为，，
则，，
又因为，
则，，则，
则，联立 ，解得.
法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则,
，，
则

故答案为：.
年份
题目
2020
日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ）
A．20°B．40°
C．50°D．90°
【答案】B
【难度】0.65
【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点处的纬度，计算出晷针与点处的水平面所成角.
【详解】画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知；是晷针所在直线.是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，
根据平面平行的性质定理可得可知、根据线面垂直的定义可得..
由于，所以，
由于，
所以，也即晷针与点处的水平面所成角为.
故选：B
【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.
2020
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为
【答案】
【难度】0.85
【分析】利用计算即可.
【详解】
因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点
所以
故答案为：
【点睛】在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些.
2021
北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26%B．34%C．42%D．50%
【答案】C
【难度】0.85
【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：
.
故选：C.
2021
正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.
【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高，
下底面面积，上底面面积，
所以该棱台的体积.
故选：D.
2021
如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【难度】0.85
【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.
【详解】设正方体的棱长为，
对于A，如图（1）所示，连接，则，
故（或其补角）为异面直线所成的角，
在直角三角形，，，故，
故不成立，故A错误.
对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，，
由正方体可得平面，而平面，
故，而，故平面，
又平面，，而，
所以平面，而平面，故，故B正确.
对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得，
故，故C正确.
对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接，
则，
因为，故，故，
所以或其补角为异面直线所成的角，
因为正方体的棱长为2，故，，
，，故不是直角，
故不垂直，故D错误.
故选：BC.
2022
已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．

2022
南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．
【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．
棱台上底面积，下底面积，
∴
．
故选：C．
2022
如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【难度】0.65
【分析】直接由体积公式计算，连接交于点，连接，由计算出，依次判断选项即可.
【详解】
设，因为平面，，则，
，连接交于点，连接，易得，
又平面，平面，则，又，平面，则平面，
又，过作于，易得四边形为矩形，则，
则，，
，则，，，
则，则，，，故A、B错误；C、D正确.
故选：CD.
2023
已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为B．该圆锥的侧面积为
C．D．的面积为
【答案】AC
【难度】0.65
【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.
【详解】依题意，，，所以，
A选项，圆锥的体积为，A选项正确；
B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误；
C选项，设是的中点，连接，
则，所以是二面角的平面角，
则，所以，
故，则，C选项正确；
D选项，，所以，D选项错误.
故选：AC.

2023
底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ．
【答案】
【难度】0.85
【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体的体积公式直接运算求解.
【详解】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，
所以正四棱锥的体积为，
截去的正四棱锥的体积为，
所以棱台的体积为.
方法二：棱台的体积为.
故答案为：.

2024
已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【难度】0.65
【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果.
【详解】解法一：分别取的中点，则，
可知，
设正三棱台的为，
则，解得，
如图，分别过作底面垂线，垂足为，设，
则，，
可得，
结合等腰梯形可得,
即，解得，
所以与平面ABC所成角的正切值为；
解法二：将正三棱台补成正三棱锥，
则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，
因为，则，
可知，则，
设正三棱锥的高为，则，解得，
取底面ABC的中心为，则底面ABC，且，
所以与平面ABC所成角的正切值.
故选：B.
年份
题目
2020
将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为 ．
【答案】
【难度】0.65
【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.
【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，
故答案为：.
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.
2021
正整数，其中，记．则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【难度】0.65
【分析】利用的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.
【详解】对于A选项，，，
所以，，A选项正确；
对于B选项，取，，，
而，则，即，B选项错误；
对于C选项，，
所以，，
，
所以，，因此，，C选项正确；
对于D选项，，故，D选项正确.
故选：ACD.
2022
图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
【答案】D
【难度】0.65
【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】设，则，
依题意，有，且，
所以，故，
故选：D
2023
记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120B．85C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出；
方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．
【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．
2024
记为等差数列的前n项和，若，，则 .
【答案】95
【难度】0.85
【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.
【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得，
则.
故答案为：.
年份
题目
2020
要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2种B．3种C．6种D．8种
【答案】C
【难度】0.85
【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.
【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有种分法
第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法
所以，不同的安排方法共有种
故选：C
【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.
2022
有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
【答案】B
【难度】0.85
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选：B
2023
某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种B．种
C．种D．种
【答案】D
【难度】0.85
【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.
【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取，
根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种.
故选：D.
2024
在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
【答案】 24 112
【难度】0.4
【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解.
【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，
则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，
第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，
所以共有种选法；
每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字，
则所有的可能结果为：
，
，
，
，
所以选中的方格中，的4个数之和最大，为.
故答案为：24；112
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.
年份
题目
2020
我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是
A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;
B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;
C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;
D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;
【答案】CD
【难度】0.85
【分析】注意到折线图中有递减部分，可判定A错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD正确.
【详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；
由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;
由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;
由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;
【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属中档题.
2021
某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
【答案】D
【难度】0.85
【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.
【详解】对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误.
故选：D.
2021
下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（ ）
A．样本的标准差B．样本的中位数
C．样本的极差D．样本的平均数
【答案】AC
【难度】0.85
【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.
【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；
由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；
由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；
由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；
故选：AC.
2022
已知随机变量X服从正态分布，且，则 ．
【答案】/．
【难度】0.94
【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．
【详解】因为，所以，因此．
故答案为：．
2023
在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
【答案】ABD
【难度】0.65
【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.
【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为，A正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，
是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为，B正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，
它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误；
对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率，
单次传输发送0，则译码为0的概率，而，
因此，即，D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.
2024
某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表
亩产量
[900，950）
[950，1000）
[1000，1050）
[1050，1100）
[1100，1150）
[1150，1200）
频数
6
12
18
30
24
10
根据表中数据，下列结论中正确的是（ ）
A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间
【答案】C
【难度】0.85
【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D.
【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, ,
所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误；
对于B，亩产量不低于的频数为，
所以低于的稻田占比为，故B错误；
对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确；
对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误.
故选；C.
年份
题目
2020
已知曲线.（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn0，则C是两条直线
【答案】ACD
【难度】0.65
【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.
【详解】对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
2020
斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则= ．
【答案】
【难度】0.85
【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.
【详解】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，
又∵直线AB过焦点F且斜率为3，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得，
解法一：解得
所以
解法二：
设，则,
过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.
故答案为：
【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.
2021
抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1B．2C．D．4
【答案】B
【难度】0.85
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离：，
解得：(舍去).
故选：B.
2021
已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【难度】0.85
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
【详解】圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
2021
若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程 .
【答案】
【难度】0.85
【分析】根据离心率得出，结合得出关系，即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】解：由题可知，离心率，即，
又，即，则，
故此双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
2022
已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若，则（ ）
A．直线的斜率为B．|OB|=|OF|
C．|AB|>4|OF|D．
【答案】ACD
【难度】0.65
【分析】由及抛物线方程求得A(3p4,6p2)，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得B(p3,−6p3)，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由OA⋅OB