专题13 空间向量与立体几何（八大题型8大易错题）（题型 易错）讲练-备考2025年高考数学一轮复习高频考点 方法总结（新高考通用）

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【题型1 用基向量表示指定向量的方法】
1．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）如图在三棱锥P−ABC 中，M是AB的中点，若PA=a，PB=b，PC=c，则下列向量中与CM相等的向量是（ ）
A．12a+12b−cB．−a−b+c
C．−12a−12b+cD．a+b−c
2．（24-25高二上·海南·阶段练习）如图，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M为BC中点，点N在侧棱OA上，且ON=2NA，则MN=（ ）
A．−23a+12b+12cB．23a−12b−12c
C．12a+12b−12cD．−12a−23b+12c
3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=23OA，点N为BC中点，则MN等于（ ）

A．12a+12b−12cB．−23a+12b+12c
C．23a+23b−12cD．−23a+23b−12c
4．（24-25高二上·陕西咸阳·阶段练习）如图，三棱锥O−ABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M为BC中点，点N满足ON=2NA，则MN=（ ）
A．12a−13b−23cB．12a−13b+23c
C．23a−12b−12cD．−12a−23b+12c
【题型2 三点共线和空间四点共面的问题】
5．（24-25高二上·四川·期末）已知向量a=2,−1,−3，b=λ,2,μ，若a，b共线，则λ−μ=（ ）
A．−2B．2C．−10D．10
6．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）设e1，e2是空间两个不共线的非零向量，已知AB=2e1+ke2，BC=e1+3e2，DC=2e1−e2，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（ ）
A．−2B．−4C．−8D．8
7．（24-25高二上·山西·阶段练习）若a,b,c构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．a→+b→，c→，a+b+c，B．a−c，a，a+c
C．b+c，b，c−bD．a+b，b+c，c+a
8．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知向量OM=2,1,2,ON=−2,1,1,OP=8,6,λ，若O,M,N,P四点共面，则向量OP在OM上的投影向量的模为（ ）
A．12B．223C．449D．443
9．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知三个向量a=1,1,0,b=−1,0,2,c=x,2,5共面，则x=（ ）
A．−92B．92C．−12D．12
10．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）O为空间任意一点，若OP=34OA+18OB+tOC，若A,B,C,P四点共面，则t=（ ）
A．1B．12C．18D．14
【题型3 空间向量数量积的应用】
11．（24-25高二上·北京·阶段练习）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AC∩BD=O，D1O∩B1D=P，则直线PA与直线PB夹角的余弦值为（ ）
A．66B．33C．55D．22
12．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）若a=−1,2,1,b=1,2,3，则a+b⋅2a−b=（ ）
A．4B．5C．21D．26
13．（24-25高二上·四川眉山·期中）棱长为1的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则BA⋅CE=（ ）
A．14B．−14C．34D．−34
14．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0，且|a|=2,|b|=3,|c|=4，则cs〈a,b〉=（ ）
A．12B．22C．32D．14
15．（2024高三·全国·专题练习）空间四边形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC=π3，则csOA,BC的值是（ ）
A．12B．22C．−12D．0
16．（24-25高二上·安徽黄山·期中）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1,AC1=4,AA1=3，∠A1AB=∠A1AD=π3，则∠BAD=（ ）
A．π3B．2π3C．π4D．π2
【题型4 利用空间向量证明空间线面位置关系】
17．（20-21高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB//CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．
(1)求证：BM∥平面ADEF；
(2)求证：BC⊥平面BDE.
18．（23-24高二上·新疆阿克苏·阶段练习）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F,G分别是棱AB,BC,CD的中点.
(1)证明：EF ∥ A1C1；
(2)证明：A1F⊥C1E；
19．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是矩形，且AB=4，AD=3．侧面PBC是面积为152的直角三角形，其中BC⊥BP．点E,F分别为线段AB,PC的中点，连接EF．
(1)证明：直线EF//平面PAD；
(2)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．
【题型5 用向量法求异面直线所成角】
20．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC，AA1=AC=22，点E为棱A1B1的中点，点F是棱BC上的一点，且BF=3FC，则直线AE与C1F所成角的余弦值为（ ）
A．1699B．3299C．83399D．163399
21．（24-25高二上·辽宁大连·期中）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BC的中点，CF=12CC1，则异面直线EF与B1D1所成角的余弦值为（ ）
A．23B．36C．12D．42121
22．（24-25高三上·吉林·期末）正三棱台ABC−DEF中，AB=2AD=2DE，G，H分别为AB，DE的中点，则异面直线GH，BF所成角的余弦值为（ ）
A．−14B．14C．23D．−23
23．（24-25高二上·四川成都·期末）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1,AA1=2,∠A1AD=∠A1AB=π3，∠BAD=π2，则异面直线AC1与BB1所成角的余弦值为（ ）
A．12B．23C．255D．31010
24．（24-25高二上·广东东莞·期中）若空间中三个点A−1,0,0,B0,1,−1,C−2,−1,2，则直线AB与直线AC夹角的余弦值是（ ）
A．−223B．223C．−13D．13
【题型6 用向量法求解直线与平面所成角】
25．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，平面ABCD⊥平面PAD，AB⊥AD，AB=BC=CD=AD=PA=PD=2，点E是线段PA的中点．
(1)求异面直线CE与PB所成角的余弦值；
(2)求直线PA与平面BCE所成角的正弦值．
26．（24-25高二上·山东泰安·阶段练习）如图，在三棱锥P−ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且二面角M−PA−C为30∘，求PC与平面PAM所成角的正弦值．
27．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）在图1的直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB=BC=2，DC=3，点E是DC边上靠近于点D的三等分点，AC交BE于点F，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1=6，如图2.
(1)求四棱锥C1−ABED的体积V；
(2)求C1B与平面C1AD所成角的正弦值.
【题型7 利用向量法解二面角问题】
28．（2024·浙江温州·一模）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面ABC1⊥平面ABC，AC1⊥平面BCC1B1.
(1)求证：BC1⊥BC；
(2)若二面角A−A1C1−B1的正弦值为53，且AB=2BC=2，求AC1.
29．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD为正方形，E为棱PD的中点，O为边AB的中点.
(1)求证：AE//平面POC；
(2)若侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=π3，AB=2PA=4，求二面角P−BD−A的余弦值.
30．（24-25高三上·广西·阶段练习）如图在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面B1C1CB⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，B1C1=CC1=2，∠BCC1=120°.
(1)求棱锥B−ACC1的体积；
(2)若D为棱A1C1的中点，求二面角A−B1D−C的正弦值.
【题型8 利用空间向量求空间距离】
31．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD,AB1//平面CDD1C1,AD //BC,AB=AD=CD=2AA1=2A1B1=2.
(1)求证：AD=B1C1；
(2)求平面CDD1C1与平面BAA1B1所成角的正弦值；
(3)求点A关于平面A1BC的对称点M到平面CDD1C1的距离.
32．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且BC=22,AB=2,∠ABC=45∘，平面PAB⊥平面ABCD,PA=PB=BC.
(1)求证：平面PAB⊥平面PAC；
(2)点Q是棱PC上靠近点P的三等分点，求直线AD与平面BDQ所成角的正弦值；
(3)求点C到平面BDQ的距离.
33．（24-25高二上·天津·阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
(1)求证：PA//面EDB；
(2)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小；
(3)求点B到平面EFD的距离．
34．（24-25高二上·广西河池·阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AB⊥BC，且PA=2，AB=BC=2，AD=CD=5，E为PC中点．
(1)求点C到平面EAD的距离；
(2)求平面PBC与平面EAD夹角的正弦值．

1．（24-25高二上·山西·阶段练习）如图，在棱长为6的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，AB的中点，则异面直线BE，CF所成角的余弦值为（ ）
A．16B．13C．12D．59
2．（24-25高二上·广西玉林·期中）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是等边三角形，AA1=2,AB=2，则点C到直线AB1的距离为（ ）
A．63B．233C．303D．153
3．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知点Q1,2,3，平面α=P∣n⋅PQ=0，其中n=2,−1,2，则点A−1,0,1到平面α的距离是（ ）
A．53B．73C．2D．3
4．（2023·上海嘉定·一模）正四棱台ABCD−A1B1C1D1,AB=3,A1B1=1,AA1=2,M是C1D1的中点，在直线AA1、BC上各取一个点P、Q，使得M、P、Q三点共线，则线段PQ的长度为 ．
5．（24-25高二上·天津·阶段练习）如图， 在四棱锥P−ABCD，PA⊥平面ABCD， 底面ABCD是直角梯形， 其中AD//BC， AB⊥AD， PA=4,AB=AD=12BC=2,，E为棱BC上的点，且 BE=14BC.

(1)求证: DE⊥平面APC；
(2)求平面APC与平面PCD所成夹角的正弦值.
6．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）如图所示，三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=AB1=2．AB1⊥平面ABC，AC1⊥AC，D点是AC的中点．
(1)证明：AC⊥B1C1；
(2)求A1D与平面BB1C1C所成角的正弦值．
7．（24-25高二上·河南驻马店·期末）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D，E分别为AC，A1C1的中点，AB=BC=5，AC=AA1=2.
(1)求证：AC⊥平面BDE；
(2)求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；
(3)求点C到平面ABE的距离.
8．（24-25高二上·辽宁大连·期中）如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，△ABD为底面圆O的内接正三角形，且边长为3，E在母线PC上，且AE=3，CE=1，EC⊥BD.

(1)求证：平面BED⊥平面ABD；
(2)求二面角E−AB−D的余弦值.
(3)设线段PO上动点为M，求直线DM与平面ABE所成角的正弦值的最大值.