专题15 圆锥曲线的标准方程与几何性质（题型 易错）讲练-备考2025年高考数学一轮复习高频考点 方法总结（新高考通用）

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【考点1 利用定义求椭圆轨迹方程】
【考点2 椭圆的"焦点三角形"问题】
【考点3 椭圆中的距离和差最值问题】
【考点4 椭圆标准方程形式与求解】
【考点5 求椭圆的离心率或范围】
【考点6 利用定义求双曲线轨迹方程】
【考点7 双曲线的"焦点三角形"问题】
【考点8 双曲线中的距离和差最值问题】
【考点9 双曲线的标准方程形式与求解】
【考点10抛物线的定义及应用】
【考点11求抛物线的标准方程】
【考点12抛物线中的距离和差最值问题】
【考点13 抛物线的几何性质及应用】
知识点1 椭圆
1、椭圆的定义
（1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
（2）集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；
②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；
③当2a0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a0，c>0.
①当2a|F1F2|时，M点不存在．
2、双曲线的标准方程和几何性质
3、双曲线中的几个常用结论
（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
（2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
（3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为eq \f(2b2,a)，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.
（4）设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为eq \f(b2,a2).
（5）P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F1PF2.
（6）等轴双曲线
①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
②性质：a＝b;e＝eq \r(2)；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．
（7）共轭双曲线
①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．
②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1.
知识点3 抛物线
1、抛物线的定义：满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
（1）在平面内；（2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；（3）定点不在定直线上．
2、抛物线的标准方程与几何性质
3、抛物线中的几何常用结论
（1）设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦．
①以弦AB为直径的圆与准线相切．
②以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
③通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．
（2）过x2＝2py的准线上任意一点D作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2))).
【考点1 利用定义求椭圆轨迹方程】
【典例1】设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为
A．6B．2C．D．
【变式1-1】设F1,F2为椭圆C:x25+y2=1的两个焦点，点P在C上，若PF1⋅PF2=0，则PF1⋅PF2=（ ）
A．1B．2C．4D．5
【变式1-2】已知F1−1,0,F21,0是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A、B两点，且AB=3，则C的方程为（ ）
A．x22+y2=1B．x23+y22=1C．x24+y23=1D．x25+y24=1
【变式1-3】已知A−12,0，B是圆F:x−122+y2=4（F为圆心）上一动点.线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 .
【考点2 椭圆的"焦点三角形"问题】
【典例2】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则△ADE的周长是 ．
【变式2-1】已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则= .
【考点3 椭圆中的距离和差最值问题】
【典例3】已知F是椭圆C:x22+y2=1的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q4,4，则PQ+PF的最大值为（ ）
A．5+22B．5−22C．3+22D．3−22
【变式3-1】已知点M在椭圆x24+y23=1上，点A0,−34,B1,0，则MA+MB的最大值为（ ）
A．114B．4C．214D．5
【变式3-2】设P为椭圆x225+y29=1上一动点，F1,F2分别为椭圆的左､右焦点，Q−1,0，则|PF2|+|PQ|的最小值为（ ）
A．8B．7C．6D．4
【变式3-3】已知椭圆C:x29+y25=1的右焦点为F,P是椭圆上任意一点，点A0,23，则△APF的周长的最大值为（ ）
A．9+21B．14C．7+23+5D．15+3
【考点4 椭圆标准方程形式与求解】
【典例4】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1(−2,0),F2(2,0)，P为椭圆上一点且△PF1F2的周长为4+42.
(1)求椭圆C的方程.
(2)若直线l过点F2交椭圆C于A,B两点，且线段AB的垂直平分线与x轴的交点M12,0
（i）求直线l的方程；
（ii）已知点Q−4,0，求△ABQ的面积.
【变式4-1】若方程x2m+3−y2m−1=1表示椭圆，则实数m的取值范围为（ ）
A．−1,3B．−3,1
C．−3,−1∪−1,1D．−∞,−3∪1,+∞
【变式4-2】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(−3,0)，F2(3,0)，且椭圆C经过点D(3,12).过点T(t,0)(t>2)且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点，过点A和M(1,0)的直线AM与椭圆C的另一个交点为N.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线BN的倾斜角为90°，求t的值.
【考点5 求椭圆的离心率或范围】
【典例5】设椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=π3，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R=4r时，椭圆的离心率为（ ）
A．45B．23C．12D．25
【变式5-1】多选题已知圆锥曲线x22+y2m=1的离心率为方程2x2−5x+2=0的根，则实数m的值可能是（ ）
A．32B．83C．6D．−6
【考点6 利用定义求双曲线轨迹方程】
【典例6】在平面直角坐标系xOy中，点F的坐标为2,0，以线段FP为直径的圆与圆O:x2+y2=3相切，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．x24−y23=1B．x23−y2=1C．x212−y29=1D．x216−y33=1
【变式6-1】已知A(−2,0)，B(2,0)，设点P是圆x2+y2=1上的点，若动点Q满足：QP⋅PB=0，QP=λQA|QA|+QB|QB|，则Q的轨迹方程为（ ）
A．x2−y23=1B．x23−y2=1C．x25+y2=1D．x26+y22=1
【考点7 双曲线的"焦点三角形"问题】
【典例7】设F1，F2是双曲线C: x24−y28=1的左，右焦点，过F1的直线与y轴和C的右支分别交于点P，Q，若△PQF2是正三角形，则|PF1|=（ ）
A．2B．4C．8D．16
【变式7-1】设F1，F2是双曲线C：x24−y28=1的左，右焦点，过F1的直线与y轴和C的右支分别交于点P，Q，若△PQF2是正三角形，则QF1=（ ）
A．2B．4C．8D．16
【变式7-2】已知F是双曲线C:x2−y28=1的右焦点，P是C左支上一点，A0,66，当△APF周长最小时，该三角形的面积为（ ）
A．366B．246C．186D．126
【变式7-3】已知点P在双曲线C:x264−y236=1上，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为45，则PF1+PF2= ．
【考点8 双曲线中的距离和差最值问题】
【典例8】在平面直角坐标系中，已知点A坐标为0,−6，若动点P位于y轴右侧，且到两定点F1−3,0，F23,0的距离之差为定值4，则△APF1周长的最小值为（ ）
A．3+45B．3+65C．4+45D．4+65
【变式8-1】已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，渐近线方程为y=±x，焦距为8，点A的坐标为1,3，点P为C的右支上的一点，则PF+PA的最小值为（ ）
A．42+25B．62C．72D．42+10
【考点9 双曲线的标准方程形式与求解】
【典例9】在平面直角坐标系xOy中，已知点F1−2,0，F22,0，点D到F2的距离比到F1的距离大2，点D的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)过点F1且斜率不为0的直线l与C交于P,Q两点，M1,0与点N关于原点对称，求直线MP与NQ斜率的比值.
【变式9-1】已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的实轴长为22，点P(2,6)在双曲线C上.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点P且斜率为26的直线与双曲线C的另一个交点为Q，求PQ.
【变式9-2】已知双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F5,0，过点F的直线交双曲线E于A、B两点.若AB的中点坐标为6,−2，则E的方程为（ ）
A．x25−y220=1B．x216−y29=1
C．x29−y216=1D．x215−y210=1
【考点10抛物线的定义及应用】
【典例10】下列拋物线中，焦点坐标为0,18的是（ ）
A．y2=12xB．y2=14x
C．x2=12yD．x2=14y
【变式10-1】已知点F为抛物线C：y2=2pxp>0的焦点，点M3,m在抛物线C上，且MF=4，则抛物线C的方程为（ ）
A．y2=xB．y2=2xC．y2=4xD．y2=6x
【变式10-2】平面上动点M到定点F(3,0)的距离比M到y轴的距离大3，则动点M满足的方程为 .
【考点11求抛物线的标准方程】
【典例11】已知抛物线C:y2=2px(p>0)，过抛物线上点A2,3且斜率为k的直线l与抛物线C仅有一个交点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求k的值．
【变式11-1】已知点T(2,−2)在抛物线C:y2=2px上，也在斜率为1的直线l上.
(1)求抛物线C和直线l的方程；
(2)若点M,N在抛物线C上，且关于直线l对称，求直线MN的方程.
【考点12抛物线中的距离和差最值问题】
【典例12】设点A(2,3)，动点P在抛物线C:y2=4x上，记P到直线x=−2的距离为d，则AP+d的最小值为（ ）
A．1B．3C．10−1D．10+1
【变式12-1】已知M,N是抛物线y=ax2a>0上的两个动点，MN=5，MN的中点P到x轴距离的最小值为32，则a=（ ）
A．18B．14C．12D．1
【变式12-2】已知抛物线方程为:y2=16x，焦点为F.圆的方程为x−52+y−12=1，设P为抛物线上的点， Q为圆上的一点，则PF+PQ的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【变式12-3】已知过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为π4的直线交C于A,B两点，M是AB的中点，点P是C上一点，若点M的纵坐标为1，直线l:3x+2y+3=0，则P到C的准线的距离与P到l的距离之和的最小值为（ ）
A．31326B．51326C．31313D．91326
【考点13 抛物线的几何性质及应用】
【典例13】在平面直角坐标系内，已知M0,2，N1,0，Px,yx>0为动点，△POM的面积为PN−1，记动点P的轨迹为W．
(1)求W的方程；
(2)经过Q−1,1的直线与W交于点A，B，过点A作斜率为2的直线与W的另一个交点为C，求证：直线BC恒过定点．
【变式13-1】在平面直角坐标系中，动点C到点F1,0的距离与到直线x=−1的距离相等.
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)若直线l:y=x+m与动点C的轨迹交于P，Q两点，当△PQF的面积为2时，求直线l的方程.
【变式13-2】在平面直角坐标系xOy中，顶点在原点O的抛物线E经过点A9,6.
(1)求抛物线E的方程；
(2)若抛物线E不经过第二象限，且经过点B0,3的直线l交抛物线E于M，N，两点（BM0)的准线过点(−2,3)，
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若角α为锐角，以角α为倾斜角的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点，作线段AB的垂直平分线l交x轴于点P，证明:|FP|−|FP|cs2α为定值，并求此定值.
1．已知椭圆C:x2m+y2=1，则“m=2”是“椭圆C的离心率为22”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
2．已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，过原点斜率不为0的直线交E于A，B两点，过A作x轴的垂线，垂足为M，直线BM交椭圆E于另一点D，记直线AB，AD的斜率分别为k1，k2，若k1⋅k2=−12，则E的离心率为（ ）
A．13B．12C．22D．32
3．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13，则ab＝（ ）
A．89B．322
C．43D．324
4．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0，过左焦点F作直线l与圆M：x2+y2=c24相切于点E，与椭圆C在第一象限的交点为P，且PE=3EF，则椭圆离心率为 .
5．已知椭圆C：x29+y24=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则AN+BN= .
6．在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，−3)，(0，3)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．
（Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A，B两点．k为何值时OA ⊥ OB？此时|AB|的值是多少？
7．已知F是双曲线x24−y212=1的左焦点，A1,4，P是双曲线右支上的动点，则PF+PA的最小值为 ．
8．已知抛物线C：y=x24，直线l1：y=−2，l2：3x−4y−6=0，M为C上的动点，则点M到l1与l2的距离之和的最小值为 .
9．抛物线x2=16y的焦点为F，点P(x,y)为该抛物线上的动点，点A(2,0)，则|PF|−|PA|的最大值是 ．
10．若点A在焦点为F的抛物线y2=−8x上，且AF=4，点P为直线x=2上的动点，则PA+PF的最小值为 .
11．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12，点A1,32在C上．
(1)求椭圆C的方程：
(2)过点T4,0的直线l交椭圆C于P，Q两点（异于点A），过点P作x轴的垂线与直线AQ交于点M，设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2．证明：
（i）k1+k2为定值：
（ii）直线AT过线段PM的中点．
12．已知圆A：（x+2）2+y2=9，圆B：（x−2）2+y2=1，圆C与圆A、圆B外切，
(1)求圆心C的轨迹方程E;
(2)若过点B且斜率k的直线与E交与M、N两点，线段MN的垂直平分线交x轴与点P，证明|MN||PB|的值是定值.
13．已知P为双曲线C：x2−y2a2=1上一点，O为坐标原点，线段OP的垂直平分线与双曲线C相切．
(1)若点P是直线x=3y与圆x2+y2=2的交点，求a；
(2)求OP的取值范围．
14．设A，B为曲线C:y2=4x上两点，A与B的横坐标之和为4.
(1)若A与B的纵坐标之和为4，求直线AB的方程.
(2)证明：线段AB的垂直平分线过定点.
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
性
质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
e＝eq \f(c,a)，且e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)
实、虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦半径
(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝－x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝y0＋eq \f(p,2)
|PF|＝－y0＋eq \f(p,2)