专题16 圆锥曲线的综合应用（题型 易错）讲练-备考2025年高考数学一轮复习高频考点 方法总结（新高考通用）

这是一份专题16 圆锥曲线的综合应用（题型 易错）讲练-备考2025年高考数学一轮复习高频考点 方法总结（新高考通用），文件包含专题16圆锥曲线的综合应用题型易错-备考2025年高考数学一轮复习高频考点方法总结新高考通用原卷版docx、专题16圆锥曲线的综合应用题型易错-备考2025年高考数学一轮复习高频考点方法总结新高考通用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共68页， 欢迎下载使用。
【考点1直线与椭圆的位置关系判断】
【考点2 根据直线与椭圆位置关系求参】
【考点3直线与椭圆相切的应用】
【考点4 直线与椭圆相交弦长问题】
【考点5 直线与双曲线的位置关系判断】
【考点6 根据直线与双曲线位置关系求参】
【考点7 直线与双曲线相交弦长问题】】
【考点8 直线与抛物线的位置关系】
【考点9 抛物线的焦点弦及应用】
【考点10直线与抛物线的相交弦长问题】
知识点1 直线与椭圆的位置关系
1、直线与椭圆的位置判断
设直线方程为，椭圆方程为
联立消去y得一个关于x的一元二次方程
①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
2、直线与椭圆相交的弦长公式
（1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
（2）求弦长的方法
= 1 \* GB3 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
= 2 \* GB3 ②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则弦长公式为：
知识点2 直线与双曲线的位置关系
1、直线与双曲线的位置关系判断
将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程
，
（1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点；
（2）当，即，设该一元二次方程的判别式为，
若，直线与双曲线相交，有两个公共点；
若，直线与双曲线相切，有一个公共点；
若，直线与双曲线相离，没有公共点；
注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切.
2、直线与双曲线弦长求法
若直线与双曲线（，）交于，两点，
则或（）．（具体同椭圆相同）
知识点3 直线与抛物线的位置关系
1、直线与抛物线的位置关系有三种情况
相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）.
2、以抛物线与直线的位置关系为例：
（1）直线的斜率不存在，设直线方程为，
若，直线与抛物线有两个交点；
若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；
若，直线与抛物线没有交点.
（2）直线的斜率存在.
设直线，抛物线，
直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数，
即二次方程（或）解的个数.
①若，
则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点；
当时，直线与抛物线相切，有个公共点；
当时，直线与抛物线相离，无公共点.
②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点.
3、直线与抛物线相交弦长问题
（1）一般弦长
设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为.
= 1 \* GB3 ①弦长公式：（为直线的斜率，且）.
= 2 \* GB3 ②,
推导：由题意，知，① ②
由①-②，得，故，即.
= 3 \* GB3 ③直线的方程为.
（2）焦点弦长
如图，是抛物线过焦点的一条弦，
设，，的中点，
过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，，
根据抛物线的定义有，，
故.
又因为是梯形的中位线，所以，
从而有下列结论；
= 1 \* GB3 ①以为直径的圆必与准线相切.
= 2 \* GB3 ②(焦点弦长与中点关系)
= 3 \* GB3 ③.
= 4 \* GB3 ④若直线的倾斜角为，则.
= 5 \* GB3 ⑤，两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，.
= 6 \* GB3 ⑥为定值.
【考点1直线与椭圆的位置关系判断】
【典例1】已知两定点M−1,0，N1,0，直线l：y=−2x+3，在l上满足PM+PN=4的点P有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【变式1-1】直线xa+yb=1与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
【变式1-2】若直线ax+by−1=0与圆O:x2+y2=1相离，则过点Pa,b的直线与椭圆y26+x25=1的交点个数是（ ）
A．0或1B．0C．1D．2
【变式1-3】直线y=kx+1−k与椭圆x29+y23=1的公共点个数为 ．
【考点2 根据直线与椭圆位置关系求参】
【典例2】设椭圆Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0的弦AB与x轴，y轴分别交于C，D两点，AC:CD:DB=1:2:2，若直线AB的斜率k>0，则k的取值范围是（ ）
A．0,33B．33,1C．0,22D．22,1
【变式2-1】已知椭圆C:x2+y22=1，直线l:y=x+m，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是（ ）
A．−23,23B．−24,24C．−33,33D．−34,34
【变式2-2】直线y=kx+1与椭圆x25+y2m=1总有公共点，则m的取值范围是（ ）
A．m>1B．m>0
C．m≥1且m≠5D．0b>0)的离心率为12，上､下顶点与其中一个焦点围成的三角形面积为3，过点P−4,−3作椭圆C的两条切线，切点为A,B.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求AB所在直线的方程；
(3)过点P作直线l交椭圆C于M,N两点，交直线AB于点Q，求PQPM+PQPN的值.
【变式3-2】已知椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F，C在点Px0,y0y0≠0处的切线l分别交直线x=1和直线x=2于M,N两点．
(1)求证：直线x0x+2y0y−2=0与C相切；
(2)探究：MFNF是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【变式3-3】已知直线y=ax(a>0)与椭圆C:x24+y23=1相交于点P,Q，点P在第一象限内，F1,F2分别为椭圆的左、右焦点．
(1)设点Q到直线PF1,PF2的距离分别为d1,d2，求d1d2的取值范围；
(2)已知椭圆C在点Px0,y0处的切线为l．
（i）求证：切线l的方程为x0x4+y0y3=1；
（ii）设射线QF1交l于点R，求证：△F1RP为等腰三角形．
【考点4 直线与椭圆相交弦长问题】
【典例4】已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为55，焦距为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的左焦点F1，且斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，求△OAB的面积．
【变式4-1】已知O为坐标原点，椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率e=22，短轴长为23．若直线l与C在第一象限交于A,B两点，l与x轴、y轴分别相交于M,N两点，MA=NB，且S△MNO=22，则AB= ．
【变式4-2】已知椭圆C:x24+y2=1的左焦点为F，直线l与圆M:x2+y2=1相切于点P，且与C交于A，B两点，其中A在第一象限，B在第四象限．
(1)求AB的最小值；
(2)设O为坐标原点，若∠ABF=2∠AOP，求l的方程．
【变式4-3】已知椭圆C:x28+y24=1，点N0,1，斜率不为0的直线l与椭圆C交于点A,B，与圆N相切且切点为M,M为AB中点.
(1)求圆N的半径r的取值范围；
(2)求AB的取值范围.
【考点5 直线与双曲线的位置关系判断】
【典例5】已知双曲线E:x24−y25=1，则过点2,5与E有且只有一个公共点的直线共有（ ）
A．4条B．3条C．2条D．1条
【变式5-1】已知点P1,2和双曲线C:x2−y24=1，过点P且与双曲线C只有一个公共点的直线有（ ）
A．2条B．3条C．4条D．无数条
【变式5-2】多选题若直线l与双曲线x23−y215=1的左、右两支各有一个交点，则l的方程可以是（ ）
A．y=5x+1B．y=x+1C．y=3xD．y=2x+2−1
【考点6 根据直线与双曲线位置关系求参】
【典例6】已知双曲线的中心在原点，右焦点为2,0，过点3,1.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线y=kx−1与双曲线有且只有一个公共点，求实数k的值.
【变式6-1】若直线y=kx+2与双曲线x2−y2=1的左、右两支各有一个交点，则实数k的取值范围是 .
【变式6-2】直线y=kx+1与双曲线4x2−y2=16只有一个交点，则实数k的值为 ．
【考点7 直线与双曲线相交弦长问题】
【典例7】已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)过点P2,3，右焦点F到渐近线的距离为3．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线C交于A,B两点，满足AB=6，求直线l的方程．
【变式7-1】已知中心在原点的双曲线C的两焦点之间的距离为4，离心率为2，直线l经过双曲线C在x轴上的右焦点，且与双曲线C相交于A,B两点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求线段AB的长度．
【变式7-2】已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0与圆O:x2+y2=1相切，且C的渐近线方程为y=±3x.
(1)求C的方程；
(2)若C的右顶点为P，过C的右焦点的直线l交C于A,B两点，且PA⋅PB=4，求AB.
【变式7-3】过双曲线x2－y23=1的左焦点F1，作倾斜角为π6的直线与双曲线交于A，B两点，则AB＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
【考点8 直线与抛物线的位置关系】
【典例8】已知抛物线C:y2=mx(m>0)的焦点为F，以F和C的准线上的两点为顶点可以构成边长为433的等边三角形．
(1)求C的方程；
(2)讨论过点−2,1的直线l与C的交点个数．
【变式8-1】过点1,4且与抛物线y2=4x恰有一个公共点的直线的条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式8-2】对于抛物线C:y2=4x，若点x0,y0满足y020,b>0的左、右焦点，P为C上一点，PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于8，则b=（ ）
A．2B．2C．22D．4
2．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆C的左､右焦点分别为F1,F2，P是C上一点且位于y轴右侧，直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为4的直角三角形，则C的标准方程是（ ）
A．y29+x24=1B．x29+y24=1C．x216+y24=1.D．x216+y29=1
3．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知P是双曲线x216a2−y29a2=1a>0上的点，F1,F2是其左､右焦点，且PF1⋅PF2=0.若△PF1F2的面积为18，则a=（ ）
A．2B．22C．2D．3
4．（24-25高二上·湖北·阶段练习）如图所示，P是双曲线x24−y25=1右支在第一象限内一点，F1,F2分别为其左､右焦点，A为右顶点，圆C是△PF1F2的内切圆，设圆与PF1,PF2分别切于点D,E，当圆C的面积为3π时，直线PF2的斜率为（ ）
A．5311B．32C．233D．3
5．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）若方程x2k−1+y2k−4=1表示双曲线，则实数k的取值范围是（ ）
A．k4
C．10的左､右焦点分别是F1和F2，若在其渐近线上存在一点P，满足PF1−PF2=2b，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．1,2B．2,2C．2,3D．2,3
8．（24-25高二上·福建泉州·阶段练习）已知F1，F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足F1F2=PF1=2c，F2P=a，线段F2P与双曲线C交于点Q，若F2P=5F2Q，则双曲线C的离心率为（ ）
A．3B．233C．52D．102
9．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）公元前 300 年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值， 则这个比值即为“黄金分割比”， 把离心率为 “黄金分割比” 倒数的双曲线叫做 “黄金双曲线”． 黄金双曲线 E:x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的一个顶点为A，与A不在y轴同侧的焦点为F，E的一个虚轴端点为B，PQ为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦， M为PQ中点． 设双曲线E的离心率为e， 则下列说法中，错误的有（ ）
A．e=5+12B．|OA||OF|=|OB|2
C．kOM⋅kPQ=eD．若OP⊥OQ， 则1|OP|2+1|OQ|2=e恒成立
10．（11-12高二上·浙江衢州·期末）已知双曲线x2a2−y2b2=1的焦点为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点为M，且有tan∠MF1F2=12，则双曲线的离心率（ ）
A．2B．3C．2D．5
二、填空题
11．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知双曲线C：y2a2−x2b2=1与动直线x=mm∈R相交于点M，N，若存在m，使得△OMN（O为坐标原点）为等边三角形，则双曲线C的离心率的取值范围为 .
12．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，A1,y1，B4,y2 y1>0,y20,b>0的左、右两个焦点分别为F1,F2,P是C上任意一点且满足P点到F1的距离与P点到直线x=a2c的距离之比为2，则双曲线C的渐近线方程为 .
14．（21-22高二下·四川遂宁·阶段练习）已知P是双曲线x2a2−y2b2=1a,b>0上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF1⋅PF2=0，若△PF1F2的面积为9，则a+b的值为 .
15．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线l与双曲线x24−y23=1交于A、B两点，且弦AB的中点为M3,32，则直线l的方程为 .
三、解答题
16．（2025高二·全国·专题练习）已知F为椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点，椭圆C过点P2,2，且直线PF的斜率为24.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点Mx1,y1，Nx2,y2在椭圆C上，且∠MFN=90°，过M，N分别作椭圆C的切线l1，l2，l1与l2相交于点Q.求点Q的轨迹方程；
17．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为32，点A3,52在C上，F是C的右焦点.
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)不过点A的直线l与C交于两个不同的点M,N，若直线AM和AN的斜率之和为3.
（i）求证：l经过定点B；
（ii）若线段BF的中点为D，直线MD交直线AF于点E，求证：NE⊥y轴.
18．（24-25高三上·重庆·期末）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F2,0，渐近线方程为y=±3x.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设直线l与双曲线C、圆O:x2+y2=r2相切，切点分别为A,B，与渐近线相交于M,N.两点.
（i）证明：OM⋅ON为定值；
（ii）若AB=2r，求直线l的方程.
19．（24-25高二·全国·假期作业）已知焦点为F的抛物线Γ:y2=4x上存在不同的两点Ax1,y1，Bx2,y2（异于原点O）．
(1)若x1+x2=2且y1+y2=−2，求直线AB的方程；
(2)若OA⊥OB，求线段AB的最小值；
(3)若点A，B，F三点共线，求cs∠AOB的取值范围．