人教版数学七年级上册同步讲练3.1 从算式到方程（单元教学设计）

这是一份人教版数学七年级上册同步讲练3.1 从算式到方程（单元教学设计），共18页。
3.1 从算式到方程（单元教学设计）一、【单元目标】通过给出两个情境引入，引出方程和等式的概念，让学生理解如何列方程，并掌握方程的概念，同时利用跷跷板的原理使学生理解等式的基本性质；（1）通过行程问题和跷跷板问题，提出不同的问题，让学生可以由浅入深的理解方程与等式的概念，更加形象生动，丰富学生的思维，增加学生对概念的具体把握，同时形成记忆；（2）通过小组合作探究，让学生参与教学过程，加深对基础概念的理解，提升了学生的数学抽象素养，进一步发展了学生的类比推理素养；（3）通过典型例题的训练，加强学生的做题技巧，训练做题的方法，提升学生的逻辑推理素养；（4）在师生共同思考与合作下，学生通过概括与抽象、类比的方法，体会了归因与转化的数学思想，同时提升了学生的数学抽象素养，并发展了学生的逻辑推理素养； （5）通过观察图片，提高学生的观察事物的能力，同时激发学生的学习兴趣，提升学生的人文素养；二、【单元知识结构框架】1．方程的定义2．一元一次方程：只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1的整式方程叫做一元一次方程．3．列方程解决实际问题的步骤：①设未知数(用字母)②找等量关系(表示出相关的量)③列出方程4.等式的性质1：等式的两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式． 即如果a＝b，那么a±c＝b±c． 5.等式的性质2 ：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍是等式.即如果a=b，那么ac=bc；如果a=b（c≠0），那么.6. 利用等式的基本性质解一元一次方程三、【学情分析】1．认知基础本节内容是方程这一版本知识点的基础，也是我们学好方程相关知识的关键；等式的性质1、2是这一章内容用来解方程的关键，掌握等式的性质有助于帮助我们解方程；本节内容并不难，关键在于基础知识的掌握，同时有相关的知识框架；2.认知障碍方程的概念主要会考查一种含参的题型，这时候注意要按照题目的要求，列出相关的式子并计算即可；等式的性质1、2主要考查学生的理解，有些学生在运用时会出现遗忘，或者无从下手的情况；四、【教学设计思路/过程】课时安排： 约2课时教学重点： 方程的概念，一元一次方程的辨别；方程的解，等式的概念；教学难点： 初步学会找实际问题中的等量关系，设出未知数，列出方程；会用等式的性质解简单的一元 一次方程；五、【教学问题诊断分析】 【情景引入1】问题：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同一方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1h经过B地，A，B两地间的路程是多少？1．若用算术方法解决应怎样列算式？2．如果设A，B两地相距xkm，那么客车从A地到B地的行驶时间为________，货车从A地到B地的行驶时间为________．3．客车与货车行驶时间的关系是____________．4．根据上述关系，可列方程为____________．5．对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？如果能，你依据的是哪个相等关系？【情景引入2】同学们，你们玩过跷跷板吗?它有什么特征?翘翘板的两边增加的量之间到底满足什么关系时，翘翘板才能保持平衡?3.1.1 一元一次方程问题1：（方程的概念）判断下列各式是不是方程；若不是，请说明理由．(1)4×5＝3×7－1；　(2)2x＋5y＝3；(3)9－4x＞0；　(4)eq \f(x－3,2)＝eq \f(1,3)；　(5)2x＋3.【破解方法】本题考查的是方程的概念，方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．【解析】(1)不是，因为不含有未知数；(2)是方程；(3)不是，因为不是等式；(4)是方程；(5)不是，因为不是等式．问题2：（一元一次方程的辨别）下列方程中是一元一次方程的有(　　)A．x＋3＝y＋2B．1－3(1－2x)＝－2(5－3x)C．x－1＝eq \f(1,x)D.eq \f(y,3)－2＝2y－7【破解方法】判断一元一次方程需满足三个条件：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数是1；(3)是整式方程．【解析】A.含有两个未知数，不是一元一次方程，错误；B.化简后含有未知数项可以消去，不是方程，错误；C.分母中含有字母，不是一元一次方程，错误；D.符合一元一次方程的定义，正确．故选D.问题3：（利用一元一次方程的概念求字母次数的值）方程(m＋1)x|m|＋1＝0是关于x的一元一次方程，则(　　)A．m＝±1　　　　B．m＝1C．m＝－1 D．m≠－1【破解方法】解决此类问题要明确：若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1且系数不为0，则这个方程是一元一次方程．据此可求方程中相关字母的值．【解析】由一元一次方程的概念，一元一次方程必须满足未知数的次数为1且系数不等于0，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|m|＝1,m＋1≠0))，解得m＝1.故选B.问题4：（方程的解）下列方程中，解为x＝2的方程是(　　)A．3x－2＝3 　　B．－x＋6＝2xC．4－2(x－1)＝1 　　D.eq \f(1,2)x＋1＝0【破解方法】检验一个数是否是方程的解，就是要看它能不能使方程的左、右两边相等．【解析】：A.当x＝2时，左边＝3×2－2＝4≠右边，错误；B.当x＝2时，左边＝－2＋6＝4，右边＝2×2＝4，左边＝右边，即x＝2是该方程的解，正确；C.当x＝2时，左边＝4－2×(2－1)＝2≠右边，错误；D.当x＝2时，左边＝eq \f(1,2)×2＋1＝2≠右边，错误．故选B.问题5：（列方程）某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“6·1”儿童节举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设铅笔卖出x支，则依题意可列得的一元一次方程为(　　)A．1.2×0.8x＋2×0.9(60＋x)＝87B．1.2×0.8x＋2×0.9(60－x)＝87C．2×0.9x＋1.2×0.8(60＋x)＝87D．2×0.9x＋1.2×0.8(60－x)＝87【破解方法】解题的关键是正确理解题意，设出未知数，找到题目当中的等量关系，列方程．【解析】设铅笔卖出x支，根据“铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元”，得出等量关系：x支铅笔的售价＋(60－x)支圆珠笔的售价＝87，据此列出方程为1.2×0.8x＋2×0.9(60－x)＝87.故选B.3.1.2等式的性质问题6：（应用等式的性质对等式进行变形）用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式．（1）如果2x+7=10，那么2x=10-_______；（2）如果-3x=8，那么x=________；（3）如果x−＝y−，那么x=_____；（4）如果＝2，那么a=_______．【破解方法】运用等式的性质，可以将等式进行变形，变形时等式两边必须同时进行完全相同的四则运算，否则就会破坏原来的相等关系。【解析】（1）根据等式的基本性质（1），在等式两边同时减去7可得2x=10-7；（2）根据等式的基本性质（2），在等式两边同时除以-3可得x=；（3）根据等式的基本性质（1），在等式两边同时加上可得x=y；（4）根据等式的基本性质（2），在等式两边同时乘以4可得a=8．故答案为：7，-8 3 ，y，8．问题7：（利用等式的性质解方程）用等式的性质解下列方程：（1）4x+7=3； （2）x-x=4．【破解方法】解方程时，一般先将方程变形为ax=b的形式，然后再变形为x=c的形式。【解析】（1）在等式的两边都加或都减7，再在等式的两边都除以4，可得答案；（2）在等式的两边都乘以6，在合并同类项，可得答案． 解：（1）方程两边都减7，得4x=-4．方程两边都除以4，得x=-1．（2）方程两边都乘以6，得3x-2x=24，x=24．六、【教学成果自我检测】1．课前预习设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）下列方程中，是一元一次方程的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．根据一元一次方程的定义逐项判断，即可得到答案．【详解】解：A、该方程中未知数的最高次数数2，不是一元一次方程，不符合题意；B、该方程符合一元一次方程的定义，符合题意；C、该方程中含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；D、该方程中分母含有未知数．不属于整式方程，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题关键．2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）下列方程中，方程的解是的是（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】将代入各方程即可进行判断．【详解】解：A、，不符合题意；B、，不符合题意；C、，符合题意；D、，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查方程的解．将解代入方程，等式两边成立则为方程的解．3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）若关于的方程是一元一次方程，则的值是（    ）A．0 B．3 C． D．1【答案】B【分析】一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式 ．【详解】解：由题意得：∴故选：B【点睛】本题考查了一元一次方程的定义．熟记相关结论即可．　4．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）关于x的方程是一元一次方程，则有理数a的值为 ．【答案】2或/或2【分析】一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．【详解】解：由题意得：解得：2或经检验，当2或时，原方程均为一元一次方程故答案为；2或【点睛】本题考查一元一次方程的定义．熟记相关结论即可．5．（2023春·湖南郴州·七年级校考期末）已知方程，用含x的代数式表示y的形式为 ．【答案】【分析】运用等式的性质，将含字母y的项放左边，其它项移到右边，将y的系数化为1．【详解】解：∴故答案为：【点睛】本题考查等式变形，掌握等式的性质是解题的关键．6．（2023秋·全国·七年级课堂例题）在横线上填上适当的数或式子，并在括号内填上变形的依据．（1）若，则 ( )；（2）若，则 ( )．【答案】 5 等式的性质1 等式的性质2【分析】根据等式的性质即可解答．【详解】解：（1）若，则（等式的性质1）；故答案为：5，等式的性质1；（2）若，则（等式的性质2）．故答案为：，等式的性质2．【点睛】此题主要考查了等式的性质：（1）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或式，所得结果仍是等式；（2）等式的两边同时乘（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式；熟练掌握等式的性质是关键．7．（2023秋·全国·七年级课堂例题）利用等式的性质解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】结合各方程的特点，根据等式的性质逐一进行变形计算即可．【详解】（1）解：方程两边同时减去8，得，所以；（2）解：方程两边同时乘以，得，所以；（3）解：方程两边同时减去7，得，化简，得，方程两边同时乘以，得；（4）解：方程两边同时加，得，化简，得，方程两边都乘12，得，整理得，方程两边都除以5，得．【点睛】本题运用了等式的基本性质．等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．8．（2023秋·七年级课时练习）若是关于的方程的解，求的值．【答案】【分析】将代入方程得到代入代求式子即可；【详解】解：∵是关于的方程的解，∴，∴ ．【点睛】本题主要考查一元一次方程的解，代数式求值，掌握方程的解的概念是解题的关键．9．（2023春·七年级课时练习）关于的方程有一个解是，求的值．【答案】0【分析】把代入方程，得到关于的方程，解方程即可．【详解】解：是方程的一个根，，解得，∴．【点睛】本题考查了方程的解的概念，解题时注意：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解．2．课堂检测设计意图：例题变式练. 1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）下列方程中是一元一次方程的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一元一次方程的定义逐一判断即可．【详解】A．是一元一次方程，故本选项符合题意；B．不是一元一次方程，故本选项不符合题意；C．不是一元一次方程，故本选项不符合题意；D．不是一元一次方程，故本选项不符合题意．故选：A．【点睛】考查了一元一次方程的定义，关键是掌握一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）若关于的一元一次方程的解为，则的值是（    ）A． B．1 C．2 D．【答案】D【分析】将代入一元一次方程即可．【详解】解：∵的解为，∴，解得：，故答案选：D．【点睛】本题考查了一元一次方程的根，将根代入一元一次方程是解题的关键．3．（2023秋·山东东营·六年级校考期末）设是有理数，则下列结论正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】根据等式的性质一一判断即可．【详解】解：∵，∴或，故A不符合题意；∵，∴，故B符合题意；∵，，∴，故C不符合题意；∵，∴，故D不符合题意；故选B【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．4．（2023秋·河南驻马店·八年级校考开学考试）请写出一个解为的一元一次方程： ．【答案】（答案不唯一）【分析】方程的解就是能使方程成立的未知数的值，据此即可求解．【详解】解：解为的一元一次方程为：（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键．5．（2023春·四川遂宁·七年级射洪中学校考阶段练习）若关于x的方程是一元一次方程，则方程的解为__________．【答案】【分析】根据一元一次方程的定义以及解一元一次方程的法则进行作答即可．【详解】解：因为方程是一元一次方程，所以，则，则，解得．故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义以及解一元一次方程的法则，正确掌握一元一次方程的定义是解题的关键．6．（2023秋·七年级课时练习）将方程的两边同时 ，得 ；再将方程的两边同时 ，得 ．【答案】 加5 12 除以4 3【分析】根据等式的性质即可求解．【详解】解：将方程的两边同时加5，得，再将方程的两边同时除以4，得，故答案为：加5；12；除以4；3．【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．7．（2023·全国·七年级假期作业）利用等式的性质解下列方程，并写出检验过程：(1)；(2)．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，可得答案；（2）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案．【详解】解：(1)两边同加得：．检验：当时，左边，右边，左=右，∴是方程的解；(2)两边都减去1，得，两边都除以2，得．检验：当时，左边右边，是方程的解．【点睛】本题考查等式的性质，熟知等式的基本性质是解题的关键．8．（2023秋·六年级课时练习）已知是关于x的一元一次方程，试求代数式的值．【答案】1【分析】先根据一元一次方程的定义求出m的值，再把m的值代入所求代数式即可求解．【详解】解：是关于x的一元一次方程，，解得．．【点睛】本题考查一元一次方程的定义，列出关于m的方程是解题的关键．9．（2023秋·七年级课时练习）已知等式成立，试利用等式的基本性质比较，的大小．【答案】【分析】利用等式的性质即可求解．【详解】解：根据等式性质1：的两边都加上，得，即，根据等式性质2：的两边都除以3，得，所以．【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．3．课后作业设计意图：巩固提升. 1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）下列运用等式变形错误的是（　　）A．由，得 B．由，得C．由，得 D．由，得【答案】D【分析】直接利用等式的基本性质分别分析得出答案．【详解】解：A、若，则，正确，不合题意；B、若，得，正确，不合题意；C、若，则，正确，不合题意；D、若，则，故此选项错误，符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查了等式的基本性质，正确掌握等式的基本性质是解题关键．2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）如图，第一个天平的两侧分别放2个球体和5个圆柱体，第二个天平的两侧分别放2个正方体和3个圆柱体，两个天平都平衡，则6个球体的质量等于（　　）个正方体的质量  A．4 B．6 C．8 D．10【答案】D【分析】设一个球体的质量为x，一个圆柱体的质量为y，一个正方体的质量为m，根据天平的意义，列出等式，利用等式的性质，计算6x即可．【详解】设一个球体的质量为x，一个圆柱体的质量为y，一个正方体的质量为m，根据天平的意义，得，，∴，∴6个球体的质量等于10个正方体的质量，故选D．【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．3．（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）已知方程，把它变形为用含x的代数式表示y，正确的是（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等式的性质变形即可．【详解】解：故选：B．【点睛】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的基本性质，是解题的关键．4．（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）若是方程的解，则代数式的值为 ．【答案】【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：是方程的解，，即，．故答案为：．【点睛】本题考查了求代数式的值，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，整体思想的运用是解题的关键．5．（2023秋·湖南长沙·八年级统考开学考试）已知是关于的方程的解，则式子的值为 ．【答案】【分析】将代入得出，代入代数式，即可求解．【详解】解：将代入得即∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义，代数式求值，得出是解题的关键．6．（2023秋·全国·七年级课堂例题）已知式子：①；②；③；④；⑤．其中的等式是 ，其中含有未知数的等式是 ，所以其中的方程是 ．（填序号）【答案】 ①③④⑤ ③④⑤ ③④⑤【分析】根据等式的特点：用等号连接的式子，方程的特点：①含有未知数，②是等式进行判断即可．【详解】解：由题意可得，含有未知数的等式是方程，①是等式；②是多项式，既不是等式也不是方程；③既是等式也是方程；④既是等式也是方程；⑤既是等式也是方程，故答案为：①③④⑤；③④⑤；③④⑤．【点睛】本题考查等式和方程的定义，熟练掌握方程的定义是解题的关键．7．（2023秋·全国·七年级课堂例题）完成下列解方程的过程．解：根据________________，两边________________，得________________．于是________________．根据________________，两边________________，得________________．【答案】等式的性质1， 同时减去3，，1，等式的性质2，乘以（或除以），【分析】根据等式的性质解方程【详解】解：根据等式性质1，两边同时减去3，得．于是．根据等式的性质2，两边乘以（或除以），得．【点睛】本题考查等式的性质，熟知等式的基本性质是解答此题的关键．8．（2023秋·全国·七年级课堂例题）检验下列各题括号内的值是否为相应方程的解．(1)；(2)；【答案】(1)不是方程的解，是方程的解(2)不是方程的解，是方程的解【分析】（1）分别把和代入方程两边，判断两边是否相等，即可解答；（2）分别把和代入方程两边，判断两边是否相等，即可解答．【详解】（1）解：把代入方程，左边，右边，左边≠右边，所以不是方程的解．把代入方程，左边，右边，左边＝右边，所以是方程的解．（2）解：把代入方程，左边，右边，左边≠右边，所以不是方程的解；把代入方程，左边，右边，左边＝右边，所以是方程的解．【点睛】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．9．（2023春·广东广州·七年级统考期末）已知代数式.(1)化简M；(2)如果是关于x的一元一次方程，求M的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据去括号，合并同类项进行化简即可求解；（2）根据一元一次方程的定义求得，代入（1）的结果进行计算即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：∵是关于x的一元一次方程，∴，解得：，∴．【点睛】本题考查了整式的加减与化简求值，一元一次方程的定义，正确的去括号与合并同类项，一元一次方程的定义是解题的关键．七、【教学反思】