数学八年级上册11.3.2 多边形的内角和第二课时教学设计

这是一份数学八年级上册11.3.2 多边形的内角和第二课时教学设计，共10页。教案主要包含了基础巩固，能力提升，素养发展等内容，欢迎下载使用。
11.3多边形及其内角和（第二课时）
内容和内容解析
内容
多边形的内角和与外角和.
内容解析
多边形内角和公式反映了多边形的要素之一——“角”之间的数量关系，是多边形的基本性质.多边形内角和公式是三角形内角和定理的应用、推广和深化，它源于三角形内角和定理又包含三角形内角和定理.多边形内角和公式为多边形外角和公式、四边形及正多边形的有关角的学习提供知识基础，对后续学习有统率作用.
多边形外角和公式，作为多边形性质的重要组成部分，揭示了多边形外部角的数量关系.多边形外角和的恒定性与多边形内角和随边数增加而变化的特性形成了鲜明对比，不仅为多边形的研究提供了便利，也为我们理解多边形的性质提供了新的视角.
从单元视角来看，学生已经学习了三角形的概念以及从要素出发研究它的性质.并且已经类比了三角形，得到了多边形的概念，本节课将类比探究多边形的有关性质，也是为后面学习特殊多边形和圆提供了研究方法.从素养内涵来看，本节课贯穿了类比、转化、特殊到一般以及猜想到证明的过程，发展学生的推理能力和几何直观.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：多边形内角和公式的探索与证明过程.
学情分析
之前，学生已经学习了三角形的概念及性质，并且在上一节课类比得到了多边形的概念，为本节课探索多边形内角和的定理做了一个铺垫.同时，经过整个七年级的学习，学生也具备了一定的观察、实验、探究和归纳的能力.但在探索多边形内角和的思路的形成，以及提出问题、解决问题和研究策略上还有欠缺.
所以本节课的教学难点为多边形转化为三角形来解决问题的思路及分割后三角形个数与边数的关系.
目标与目标解析
目标
通过多边形内角和及外角和的推理证明过程，体会类比和转化的思想方法，发展几何直观和推理能力.
经历从四边形的内角和到多边形的内角和、外角和性质的探索过程，感悟从特殊到一般的研究方法，发展抽象能力.
掌握多边形的内角和、外角和性质，会运用其解决简单的问题，发展应用意识.
目标解析
达成目标1的标志是：学生能用类比的方法规划多边形的学习路径，在参与四边形、五边形、六边形……n边形分割成若干个三角形的过程中，感悟转化思想.
达成目标2的标志是：学生能在教师的启发引导下，从四边形内角和研究出发，利用三角形内角和公式，逐步增加边数探索多边形的相关性质，体会从特殊到一般的研究过程和从具体到抽象的研究方法.
达成目标3的标志是：学生能将公式运用于简单的多边形内角和及外角和计算，能在多边形问题情境中灵活运用多边形内角和、外角和公式解决问题.
教学策略分析
学生在探究活动中经历了提出问题、规划思路、特例研究、提炼模型、解决问题、感悟思想的过程，采取自主探究、合作交流、归纳总结的学习方法，获取新知、提高能力.
教师在课堂组织过程中采用任务驱动法和问题探究法，通过引导学生观察、推理和证明，着重培养学生的抽象能力、几何直观和推理能力.
教学过程设计
回顾旧知 启迪新思
教师引入本节课内容：同学们，我们知道，三角形是最简单的多边形，也是认识其他图形的基础.
问题1 本章我们研究了三角形的哪些知识呢？
师生活动：学生举手回答，相互补充完善，教师总结并展示知识结构图.
追问1 我们研究多边形的话，你想了解多边形哪些知识呢？
师生活动：学生类比知识结构图，尝试提出研究方向.
设计意图：让学生类比三角形的研究路径理清多边形的研究路径，感悟类比方法的重要性.
深入探索 发现新知
问题1 要研究多边形的内角和，你准备从什么图形着手，然后再按照怎样的思路来研究呢？
师生活动：学生独立思考并回答：从简单到复杂.
设计意图：引导学生分析思考，规划研究策略，发展推理意识.
问题2 任意四边形的内角和是多少度呢？你能试着证明吗？
师生活动：学生独立思考并作答：
如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，四边形被分成△ABC和△ACD两个三角形，
则∠BAD+∠B+∠BCD+∠D
=∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D
=(∠1+∠B+∠3)+(∠2+∠4+∠D)
=180°+180°
=360°
追问1 把四边形分割成三角形，你还有其他分法吗?
师生活动：探究活动一： 请同学们尝试用不同的方法分割四边形，再次探究四边形的内角和，然后在四人小组交流汇总.小组代表汇报结果：
设计意图：学生很可能首先选择连接两条对角线的方式将多边形分成四个三角形，对于这种方法，教师要肯定其转化为三角形这一根本思路的正确性，然后引导学生识别这种方法的本质，进而改变点的位置，实现点在形内、形外、边上、顶点等多种方法将四边形分割成三角形，提炼转化思想这一本质思路.
追问2 有没有同学能概括一下这些方法的共同之处？
师生活动：学生独立思考，相互补充，概括出一般思路.
设计意图：让学生通过观察现象，提炼方法，提高抽象能力.
追问3 如果随着边数进一步增多，探究n边形的内角和的话，你认为哪种方法最简单快捷呢？请说明你的理由。
师生活动：学生独立思考并作答，教师给予肯定.
设计意图：让学生通过思考，优选出便捷的方法，合理即可，鼓励学生坚持自己的观点和看法.
问题3边数进一步增多，你会求五边形、六边形乃至n边形的内角和吗？
师生活动：探究活动二：学生结合表中图形，探究五边形、六边形直至多边形内角和并填表:
追问1：请同学介绍一下他的方法.
师生活动：小组代表利用几何画板展示探究五边形、六边形直至n边形的探究过程，发现分割后三角形个数与边数的关系.
设计意图：让学生通过广泛实验、分析概括、推理证明多边形内角和定理，借助图形进一步感受从特殊到一般的学习方法，体会研究几何问题的基本思路，发展他们的归纳概括能力.
追问2：有没有同学用其他方法得出多边形内角和公式呢？
师生活动：学生独立思考并相互补充：观察表格规律或者将新图形连一条对角线转化为前一个多边形内角和的问题求解.
设计意图：引导学生从表格中五边形、六边形内角和，从数的角度观察规律，归纳出n边形的内角和；如果有学生连一条对角线，将新问题转化为旧知识，予以充分肯定，这样更能体会转化思想的精髓，同时，这种方法也从另一个角度解释了多边形的边数每增加一，则其内角和增加180°.
典例讲解 应用新知
例题 例1如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系?
解:如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°
∵∠A+∠B+∠C+∠D =（4-2）×180°=360°
∴∠B+∠D= 360°-（∠A+∠C）= 360°-180°=180°
即如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.
师生活动：学生独立思考作答.
设计意图：结合图形写出符号语言，树立学生符号意识和应用意识.
实战演练 巩固应用
练习：1.十二边形的内角和是 .
2.如果一个多边形的内角和是1440°，那么这个多边形是 边形.
3.求出下列图形中x的值：
师生活动：学生独立完成，举手回答，教师总结思想方法.
设计意图：巩固公式的运用，提炼方程思想.
以旧驭新 发现奥秘
接下来我们研究多边形的外角和：多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做这个多边形的外角和.
问题1 三角形的外角和，你还记得是多少吗？怎么得到的呢？
师生活动：学生结合教师展示的图形回顾两种证明方法，口述证明思路，即根据外角与相邻内角互补或三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和.
设计意图：通过学生对两种方法的回顾，教师点拨提升，引导学生从内角的角度思考并解决外角问题，再次体会转化思想.
追问1：那六边形、n边形的外角和呢？
师生活动：学生演示讲解，教师以课件展示.
设计意图：利用代数推理，将多边形的外角和研究由六边形推广至n边形，再次体会由特殊到一般的思想方法.
追问2：我们还能以另个独特的视角来解释多边形的外角和，你知道吗？
一辆汽车沿一个五边形广场周围的道路按逆时针方向行驶.
汽车每从一条小路转到下一条小路时，车身转过的是什么角?
汽车每行驶完一圈,车身转过的角度之和是多少?
师生活动：学生发挥想象，教师展示动画.
设计意图：通过现实情境，帮助学生形象直观地进一步感知多边形外角和的恒定性.
检验成效 技能提升
反馈练习
1.一个多边形的各个内角都等于120°，它是 边形.
2.正五边形每个内角 度.
3.如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的三个外角，若∠1+∠2+∠3=225°，则∠C+∠D= °.
师生活动：独立完成，学生展示，教师点评，丰富一题多解的方法.
设计意图：引导学生养成多角度考虑问题的习惯，综合运用多边形内角和与外角和的知识解决问题.
总结归纳 畅谈收获
今天我们研究了什么问题？你得到了哪些结论？
我们是怎么研究的？
师生活动：学生独立思考，相互补充，教师梳理本节课知识结构及探究历程，并以课件动画演示的同时补充完整板书，然后从数学、生活两个层面进行提升转化思想的作用.
设计意图：梳理本节课的知识与方法，引导学生进一步明晰本节课按照类比的方法提出问题，运用转化的思想解决问题，遵循从特殊到一般的研究思路，进一步感知了三角形作为认识其他图形的基础，地位至关重要，并指明在之后特殊的四边形——平行四边形的研究过程中，三角形也起着不可或缺的作用，为之后的学习埋下伏笔，最后，教师从数学知识和育人的角度对本节课加以提升.
课后延伸 提升能力
布置作业
【基础巩固】
教科书习题11.3第2，6题
【能力提升】
科技馆为某机器人编制了一段程序，如果机器人在平地上按如图所示的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所行走的路程为 m.
【素养发展】
小明在本节课“再探四边形内角和”这一环节中，发现了点P的几个特殊的位置，你能选择这几个图形中的一种，证明四边形ABCD的内角和等于360°吗？
板书设计