河南省漯河市高二（上）期末数学试卷

这是一份河南省漯河市高二（上）期末数学试卷，共63页。
2．（5分）已知椭圆C：的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣5，﹣1）
C．（﹣5，3）D．（﹣5，﹣1）∪（﹣1，3）
3．（5分）双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝x，则其离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）等差数列{an}中，a2+a3+a4＝18，a5＝10，则其前100项和为（ ）
A．5050B．10010C．10100D．11000
5．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，点D是棱AB的中点，则平面ABC与平面B1CD夹角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．1
6．（5分）已知等比数列{an}的首项为1，则“a2023＜a2025”是“a2021＜a2024”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（5分）在△ABC中，已知BC＝8，AB＝2AC，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．16B．32C．D．
8．（5分）已知椭圆C：（a＞b＞0），点F1，F2是椭圆的左、右焦点，点A是椭圆上一点，△AF1F2的内切圆的圆心为M，若3+2+2＝，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）已知空间单位向量，，两两互相垂直，设，，，则下列说法正确的有（ ）
A．与的夹角为
B．（2+）∥
C．，所成角的余弦值为
D．，，其中任意两个都可以作为基底来表示另外一个向量
（多选）10．（5分）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为侧面BB1C1C内一点（包括边界），则以下说法正确的是（ ）
A．若点F为下底面ABCD内一点（包括边界），则EF的最大值为
B．若，则C1E的最小值为
C．若E、F分别为CC1、BB1的中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值为
D．若点E到直线BB1的距离是它到直线C1D1距离的2倍，则点E的轨迹是双曲线的一部分
（多选）11．（5分）斐波那契数列指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以递推的方法定义如下：F（0）＝0，F（1）＝1，F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2）（n≥2，n∈N*）．在现代物理、准晶体结构、化学等领域斐波那契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波那契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果，根据以上描述，以下说法正确的是（ ）
A．该数列是一个递增数列
B．89是该数列的一项
C．从前10项可以看出，设第n项为an，则
D．设第n项为an，随着n的增大，逐渐趋近于一个常数k，则k＝
（多选）12．（5分）已知曲线C：（x﹣1）2+（|y|﹣1）2＝2，则（ ）
A．曲线C上两点间的最大距离为
B．点P（m，m）在曲线C上，则m＝2
C．直线x+y﹣m＝0与曲线C有公共点，则﹣2≤m≤5
D．曲线C所围成的封闭图形的面积为3π+2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）若双曲线的实轴长与虚轴长相等，则m＝ ．
14．（5分）首项为1的等比数列{an}中，4a1，2a2，a3成等差数列，则公比q＝ ．
15．（5分）已知点（3，m）在圆x2+y2﹣4x+2my+2m2﹣2m+1＝0外，则实数m的取值范围为 ．
16．（5分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1、F2，M是它们的一个交点，且cs∠F1MF2＝，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，
17．（10分）求符合下列条件的曲线方程：
（1）已知点A（﹣2，0），B（4，0），C（3，5），D（4，4）四点，你只需任意选择其中三个点作圆，求所作圆的标准方程．
（2）以x轴，y轴为对称轴，且同时过M（﹣1，1），N（2，﹣3）两点的圆锥曲线的标准方程．
18．（12分）已知数列{an}满足：a1＝1，an+1＝．
（1）若bn＝，求证：{bn}为等差数列．
（2）求数列{anan+1}的前n项和Sn．
19．（12分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝1，BB1＝2．
（1）求异面直线A1C与AB1所成的角的余弦值；
（2）求三棱锥C﹣AB1D1的体积．
20．（12分）2022年12月底，某厂的废水池已储存废水750吨，以后每月新产生的4吨度水也存入废水池．该厂2023年开始对废水处理后进行排放，1月底排放10吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加2吨．
（1）若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？
（2）该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用，该厂从2023年7月开始对该月计划排放的处理后废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力．试问：哪一年的几月份开始，当月排放的处理后废水能被全部净化？（参考数据：1.23＝1.728，1.24≈2.074，1.212≈8.916，1.213≈10.699）
21．（12分）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝，AB＝2BC＝2CD＝4，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点（如图1）．将△ACD沿AC折起到△ACD′位置，使得D′B＝2（如图2）．
（1）求证：平面D′AC⊥平面ACB；
（2）线段PD上是否存在点Q，使得CQ与平面BCD′所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
22．（12分）动点M在y轴的右侧，M到y轴的距离比它到点（1，0）的距离小1．
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）已知点P（2，0），过（1，0）的直线与E交于A、B两点，AP，BP分别与E交于点C，D．
①求证：直线CD过定点；
②求△PAB与△PCD面积之和的最小值．
2023-2024学年河南省漯河市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）直线1：3x﹣4y+12＝0在y轴上的截距为（ ）
A．4B．﹣4C．3D．﹣3
【考点】直线的截距式方程；直线的一般式方程与直线的性质．
【答案】C
【分析】在直线方程中，令x＝0，可得y的值，即求出直线在y轴上的截距．
【解答】解：直线1：3x﹣4y+12＝0中，令x＝0，可得y＝3，
所以直线l在y轴上的截距为3．
故选：C．
【点评】本题考查直线的截距的求法，属于基础题．
2．（5分）已知椭圆C：的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣5，﹣1）
C．（﹣5，3）D．（﹣5，﹣1）∪（﹣1，3）
【考点】椭圆的几何特征．
【答案】A
【分析】由题意可得5+k＞3﹣k＞0，从而可求出实数k的取值范围．
【解答】解：因为椭圆C：的焦点在y轴上，
所以5+k＞3﹣k＞0，
解得﹣1＜k＜3．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查运算求解能力，属于基础题．
3．（5分）双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝x，则其离心率为（ ）
A．B．C．D．
【考点】求双曲线的离心率；由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数．
【答案】B
【分析】根据离心率公式，结合渐近线方程求解即可．
【解答】解：（a＞0，b＞0）渐近线方程为，则．
离心率．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的性质，属于基础题．
4．（5分）等差数列{an}中，a2+a3+a4＝18，a5＝10，则其前100项和为（ ）
A．5050B．10010C．10100D．11000
【考点】求等差数列的前n项和；等差中项及其性质．
【答案】C
【分析】利用等差数列性质得a1，d，再利用求和公式求解得答案
【解答】解：∵等差数列{an}中，a2+a3+a4＝18，a5＝10，
∴，解得，
所以＝100×2+100×99＝10100．
故选：C．
【点评】本题主要考查等差数列的前n项和，属于基础题．
5．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，点D是棱AB的中点，则平面ABC与平面B1CD夹角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．1
【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算即可求解．
【解答】解：如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，令AC＝2，
则A（2，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），D（1，1，0），B1（0，2，2），
设平面B1CD的法向量，
∵，，
则，则，
令x＝1，则y＝﹣1，z＝1，
∴，
又平面ABC的法向量，
故，
设平面ABC与平面B1CD所成角为θ，，
则，
故平面ABC与平面B1CD夹角的正弦值为．
故选：C．
【点评】本题考查向量法的应用，属于中档题．
6．（5分）已知等比数列{an}的首项为1，则“a2023＜a2025”是“a2021＜a2024”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】充分不必要条件的判断；等比数列的性质．
【答案】B
【分析】由等比数列通项公式将相应条件化简，即可得答案．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，由题可知q≠0，1．
则；
．
注意到q2＞1不能推出q＞1，但q＞1能推出q2＞1．
故“a2023＜a2025”是“a2021＜a2024”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查等比数列的性质、充分条件、必要条件、充要条件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．（5分）在△ABC中，已知BC＝8，AB＝2AC，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．16B．32C．D．
【考点】利用正弦定理解三角形；余弦定理．
【答案】C
【分析】设AC＝x，AB＝2x（x＞0），利用面积公式和余弦定理表示出三角形的面积为，根据x的范围即可讨论最大面积．
【解答】解：由题知，AB＝2AC，设AC＝x，AB＝2x（x＞0），
∴，
根据余弦定理得，
∴，
由三角形的三边关系可得，解得，
∴当，即时，△ABC面积有最大值为．
故选：C．
【点评】本题考查了余弦定理，属于基础题．
8．（5分）已知椭圆C：（a＞b＞0），点F1，F2是椭圆的左、右焦点，点A是椭圆上一点，△AF1F2的内切圆的圆心为M，若3+2+2＝，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【考点】求椭圆的离心率．
【答案】D
【分析】取线段AF2的中点为N，结合条件可得，再根据△F1FM∽△F1NA及椭圆的定义，即可得到结果．
【解答】解：椭圆C：（a＞b＞0），点F1，F2是椭圆的左、右焦点，点A是椭圆上一点，△AF1F2的内切圆的圆心为M，若3+2+2＝，
取线段AF2的中点为N，点E，F分别为边F1F2，F1A上的切点，如图所示：
则，∵，
∴，
∴F1，M，N三点共线，，，则点N为边AF2上的切点，
∴|AF1|＝|F1F2|＝2c．
∴，
∵△F1FM∽△F1NA，则，
∴，
∴，又|AF1|+|AF2|＝2a，则，
∴，则．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的离心率，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
二、选择题：本题共4小题，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）已知空间单位向量，，两两互相垂直，设，，，则下列说法正确的有（ ）
A．与的夹角为
B．（2+）∥
C．，所成角的余弦值为
D．，，其中任意两个都可以作为基底来表示另外一个向量
【考点】空间向量的数量积运算；空间向量及其线性运算．
【答案】CD
【分析】在为基底的坐标系中，由向量数量积、平行、夹角的坐标运算判断A、B、C；通过判断，，共面可确定D正误．
【解答】解：由题设，若分别代表空间直角坐标系中x，y，z轴正方向，
在为基底的坐标系中，
对于A，因为，所以与的夹角为，故A错误；
对于B，因为，显然，所以不成立，故B错误；
对于C，因为，故C正确；
低于D，设，则，＝，
，解得，所以，即，，共面，所以，，其中任意两个都可以作为基底来表示另外一个向量，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查空间向量的坐标运算和共面向量定理，基底的概念等，属于中档题．
（多选）10．（5分）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为侧面BB1C1C内一点（包括边界），则以下说法正确的是（ ）
A．若点F为下底面ABCD内一点（包括边界），则EF的最大值为
B．若，则C1E的最小值为
C．若E、F分别为CC1、BB1的中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值为
D．若点E到直线BB1的距离是它到直线C1D1距离的2倍，则点E的轨迹是双曲线的一部分
【考点】点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角．
【答案】BC
【分析】当点F在D点，E在B1点时判断A；
求出E的轨迹，即可判断B；
建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断C；
设E（x，2，z）（x，z∈[0，2]），求出轨迹方程，即可判断D．
【解答】解：对于选项A：当点F在D点，E在B1点时，EF取得最大值，最大值为，故选项A错误；
对于选项B：∵AB⊥平面BB1C1C，又BE⊂平面BB1C1C，∴AB⊥BE，
又，AB＝2，∴，
∴E在以B为圆心，1为半径的四分之一圆上，
∴C1E的最小值为，当且仅当点E在线段BC1与圆的交点时取得，故选项B正确；
对于选项C：如图建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），F（2，2，1），E（0，2，1），
∴，，
∴，
∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为，故选项C正确；
对于选项D：∵点E为侧面BB1C1C内一点（包括边界），设E（x，2，z）（x，z∈[0，2]），
则点E到直线BB1的距离为2﹣x，
∵C1D1⊥平面BB1C1C，C1E⊂平面BB1C1C，∴C1D1⊥C1E，
∴点E到直线C1D1距离为，
∴，∴，
∴点E的轨迹是椭圆的一部分，故选项D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查向量法在立体几何中的应用，属于中档题．
（多选）11．（5分）斐波那契数列指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以递推的方法定义如下：F（0）＝0，F（1）＝1，F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2）（n≥2，n∈N*）．在现代物理、准晶体结构、化学等领域斐波那契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波那契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果，根据以上描述，以下说法正确的是（ ）
A．该数列是一个递增数列
B．89是该数列的一项
C．从前10项可以看出，设第n项为an，则
D．设第n项为an，随着n的增大，逐渐趋近于一个常数k，则k＝
【考点】数列的应用；数列的单调性．
【答案】BCD
【分析】根据斐波那契数列的定义列出前几项，即可判断A、B，根据递推关系判断C，依题意可得，即可得到，解得即可判断D．
【解答】解：“斐波那契数列”为0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，
∵a2＝a3，∴该数列不是一个递增数列，故A错误；
∵a12＝89，即89是该数列的一项，故B正确；
∵a1＝0，a2＝a3＝1，an+2＝an+1+an（n≥1），
∴，，
，…，
，
∴，故C正确；
∵an+2＝an+1+an（n≥1），∴，
又随着n的增大，逐渐趋近于一个常数k，∴，解得（负值已舍去），故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查数列的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）已知曲线C：（x﹣1）2+（|y|﹣1）2＝2，则（ ）
A．曲线C上两点间的最大距离为
B．点P（m，m）在曲线C上，则m＝2
C．直线x+y﹣m＝0与曲线C有公共点，则﹣2≤m≤5
D．曲线C所围成的封闭图形的面积为3π+2
【考点】曲线与方程．
【答案】AD
【分析】根据题意，对y分类讨论，画出图形，找出最大值，运用两点间距离公式即可判断选项A；对m分类讨论，解方程可判断选项B；作出临界状态的切线，求出切线方程即可判断选项C；找出封闭图形，借助扇形和三角形面积公式即可判断选项D．
【解答】解：当y≥0，曲线C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，
当y＜0，曲线C的方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝2，
此时曲线C可以看作是以点（1，1）和（1，﹣1）为圆心，半径为的两段优弧组成，构成“8”字形，不含圆的虚线部分，
易知，
对于选项A：曲线C上两点间的最大距离为，故选项A正确；
对于选项B：因为点P（m，m）在曲线C上，
所以（m﹣1）2+（|m|﹣1）2＝2，
当m≥0时，（m﹣1）2+（m﹣1）2＝2，
解得m＝2或m＝0，
当m＜0时，（m﹣1）2+（﹣m﹣1）2＝2，
解得m＝0，该方程无解，
所以m＝0或m＝2，故选项B错误；
对于选项C：要使直线x+y﹣m＝0与曲线C有公共点，
此时需在切线a，b之间，
当直线与上圆切时，
可得，
解得m＝4，m＝0，
所以a：x+y﹣4＝0，
同理得，当直线与下圆切时，解得m＝﹣2，m＝2，
所以b：x+y﹣2＝0．
则﹣2≤m≤4，故选项C错误；
对于选项D：在△OO1A中，，OA＝2，
可得，
所以扇形OO1A的面积为，
直角三角形OO1A的面积为，
则弓形OA面积为，
圆O2的面积为S＝πR2＝2π，
要求曲线C所围成的封闭图形的面积，
即求两个圆的面积减去两个弓形面积，
此时，故选项D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查曲线与方程，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）若双曲线的实轴长与虚轴长相等，则m＝ 1 ．
【考点】双曲线的实轴和虚轴．
【答案】1．
【分析】根据双曲线的几何性质建立方程，即可求解．
【解答】解：由题可知（m+1）+（m2﹣m﹣2）＝0，
解得m＝1或m＝﹣1（舍去），
∴m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，方程思想，属基础题．
14．（5分）首项为1的等比数列{an}中，4a1，2a2，a3成等差数列，则公比q＝ 2 ．
【考点】等差数列与等比数列的综合；等比数列的通项公式．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意得4a2＝4a1+a3，利用等比数列的通项公式可得4q＝4+q2，求解即可得出答案．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，且a1＝1，
∵4a1，2a2，a3成等差数列，
∴4a2＝4a1+a3，即4q＝4+q2，
∴（q﹣2）2＝0，解得q＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的综合，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
15．（5分）已知点（3，m）在圆x2+y2﹣4x+2my+2m2﹣2m+1＝0外，则实数m的取值范围为 （﹣1，）∪（，3） ．
【考点】点与圆的位置关系．
【答案】（﹣1，）∪（，3）．
【分析】由点和圆的位置关系，圆的一般方程可表示圆的条件，列出两个不等式进行求解即可．
【解答】解：由x2+y2﹣4x+2my+2m2﹣2m+1＝0表示圆，
标准方程是（x﹣2）2+（y+m）2＝﹣m2+2m+3，
由题意可得，
解得，解得﹣1＜m＜或＜m＜3，
即实数m的范围为（﹣1，）∪（，3）．
故答案为：（﹣1，）∪（，3）．
【点评】本题考查圆的性质的应用及点与圆的位置关系的判断，属于基础题．
16．（5分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1、F2，M是它们的一个交点，且cs∠F1MF2＝，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的最小值为 ．
【考点】圆锥曲线的综合；求椭圆的离心率；双曲线的定义．
【答案】．
【分析】利用椭圆和双曲线的定义，在焦点三角形利用余弦定理得到，再用基本不等式求解．
【解答】解：椭圆和双曲线有共同的焦点F1、F2，M是它们的一个交点，
不妨设M为第一象限的点，F1为左焦点，
设椭圆的长半轴长为a1＝2，双曲线的实半轴长为a2，
则根据椭圆及双曲线的定义可得|MF1|+|MF2|＝2a1，
|MF1|﹣|MF2|＝2a2，∴|MF1|＝a1+a2，|MF2|＝a1﹣a2，
|F1F2|＝2c，在△MF1F2中，，
由余弦定理得，
化简得，即．
∴，从而，
当且仅当，且，即，时等号成立．
故答案为：．
【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，离心率的求法，是中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，
17．（10分）求符合下列条件的曲线方程：
（1）已知点A（﹣2，0），B（4，0），C（3，5），D（4，4）四点，你只需任意选择其中三个点作圆，求所作圆的标准方程．
（2）以x轴，y轴为对称轴，且同时过M（﹣1，1），N（2，﹣3）两点的圆锥曲线的标准方程．
【考点】与直线有关的动点轨迹方程；圆的标准方程．
【答案】（1）（x﹣1）2+（x﹣3）2＝13；
（2）．
【分析】（1）根据题意，证出且，可知四边形ABDC为圆内接四边形，然后求出外接圆的圆心与半径，可得所求圆的标准方程；
（2）由题意可知该圆锥曲线不可能为抛物线，从而设其方程为mx2+ny2＝1（mn≠0），代入点的坐标得到关于m、n方程组，解之即可得到本题的答案．
【解答】解：（1）由A（﹣2，0），B（4，0），D（4，4），可得，，
因为＝﹣6×0+0×4＝0，所以，
由A（﹣2，0），C（3，5），D（4，4），可得＝（﹣5，﹣5），＝（1，﹣1），
因为•＝﹣5×1+（﹣5）×（﹣1）＝0，所以⊥．
在四边形ABDC中，∠ABD+∠ACD＝180°，所以A、B、C、D四点共圆．
从A、B、C、D中任意选择其中三个点作圆，可得到同一个圆，
结合∠ABD＝90°，可知AD是该圆的一条直径．
因为AD的中点为M（1，2），|AM|＝＝．
圆的圆心为（1，2），半径r＝，圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝13；
（2）根据题意，该圆锥曲线不可能为抛物线，
设其方程为mx2+ny2＝1（mn≠0），由，解得，
所以该圆锥曲线的方程为x2﹣y2＝1，化成标准方程得．
【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、圆锥曲线的标准方程等知识，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题．
18．（12分）已知数列{an}满足：a1＝1，an+1＝．
（1）若bn＝，求证：{bn}为等差数列．
（2）求数列{anan+1}的前n项和Sn．
【考点】数列的求和；数列递推式；等差数列的概念与判定．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）将两边取倒数，即可得到bn+1﹣bn＝2，从而得证；
（2）由（1）可得，从而得到，利用裂项相消法计算可得．
【解答】解：（1）证明：数列{an}满足：a1＝1，an+1＝，
可得，
即，
由bn＝，可得bn+1﹣bn＝2，又，
所以{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列；
（2）由（1）可得，则，
所以，
所以Sn＝．
【点评】本题考查数列的递推式和等差数列的定义、通项公式和数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
19．（12分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝1，BB1＝2．
（1）求异面直线A1C与AB1所成的角的余弦值；
（2）求三棱锥C﹣AB1D1的体积．
【考点】棱锥的体积；异面直线及其所成的角．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）建立空间坐标系，通过求向量与向量的夹角，转化为异面直线A1C与直线AB1所成的角的大小；（2）先求出面AB1D1的一个法向量，再用点到面的距离公式算出高，再求底面积和体积即可．
【解答】解：（1）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，BB1＝2．
以A1为原点，A1B1，A1D，A1A所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
设A1（0，0，0），C（1，1，2），A（0，0，2），D1（0，1，0），B1（1，0，0），
∴，，
∴，
∴异面直线A1C与直线AB1所成的角的余弦值为．
（2）∵，，
设是面AB1D1的一个法向量，
∴，令x＝1，，故，
又，
∴点C到平面AB1D1的距离为．
对于平面AB1D1，取B1D1中点O，连结AO，
则，
，则，．
底面AB1D1面积为．
∴三棱锥C﹣AB1D1的体积为．
【点评】本题考查异面直线所成角的定义与求法、利用空间向量研究三棱锥的体积等知识，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题．
20．（12分）2022年12月底，某厂的废水池已储存废水750吨，以后每月新产生的4吨度水也存入废水池．该厂2023年开始对废水处理后进行排放，1月底排放10吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加2吨．
（1）若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？
（2）该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用，该厂从2023年7月开始对该月计划排放的处理后废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力．试问：哪一年的几月份开始，当月排放的处理后废水能被全部净化？（参考数据：1.23＝1.728，1.24≈2.074，1.212≈8.916，1.213≈10.699）
【考点】等差数列的前n项和．
【答案】（1）2025年1月底；
（2）2024年8月份．
【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式得到不等式，解出即可；
（2）设从2023年1月起第n个月深度净化的废水量为bn，写出，再分析其单调性即可．
【解答】解：（1）设从2023年1月起第n个月处理后的废水排放量为an吨，
则题知，数列{an}是首项为10，公差为2的等差数列，
所以an＝10+2（n﹣1）＝2n+8．
令，即n2+5n﹣750≥0，解得n≥25或n≤﹣30；
因为n是正整数，所以n≥25．
所以该厂在2025年1月底第一次将废水池中的废水排放完毕；
（2）设从2023年1月起第n个月深度净化的废水量为bn吨．
由已知条件知，b1＝b2＝⋯＝b6＝0，
当n≥7时，数列{bn}是首项为5，公比为1.2的等比数列，
所以，（n为正整数）．
显然，当1≤n≤6时，an＞bn．
当n≥7时，由an≤bn，得2n+8≤5×1.2n﹣7，
设，
则，（n≥8），
因为2﹣1.23＝0.272＞0，2﹣1.24＝﹣0.074＜0，
所以当n≥12时，cn﹣cn﹣1＜0，即数列{cn}单调递减；
当7≤n≤11时，cn﹣cn﹣1＞0，即数列{cn}单调递增，且cn＞0；
因为c19≈1.42＞0，c20≈﹣5.50＜0，所以不等式2n+8≤5×1.2n﹣7的解为n≥20（n为正整数）．
故该厂在2024年8月开始计划排放的废水能被全部净化．
【点评】本题考查等差与等比数列的通项公式，等比数列的前n项和的求法，属于中档题．
21．（12分）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝，AB＝2BC＝2CD＝4，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点（如图1）．将△ACD沿AC折起到△ACD′位置，使得D′B＝2（如图2）．
（1）求证：平面D′AC⊥平面ACB；
（2）线段PD上是否存在点Q，使得CQ与平面BCD′所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角；平面与平面垂直．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，．
【分析】（1）连接CP、OB，由平面几何的知识得到AC⊥DP，即OD＝1，，即可得到D′O⊥OB，从而得到D′O⊥平面ABC，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法得到方程，求出λ，即可得解．
【解答】解：（1）证明：因为AB∥CD，，
所以，，
所以，则，
则，
又P为AB的中点，连接CP，则AP＝CD且AP∥CD，AD＝CD，所以APCD为菱形，
同理可得PBCD为菱形，所以，
所以AC⊥DP，连接OB，则，
又，所以D′O2+OB2＝D′B2，即D′O⊥OB，
又D′O⊥AC，AC∩OB＝O，AC，OB⊂平面ABC，
所以D′O⊥平面ABC，
又D′O⊂平面D′AC，
所以平面D′AC⊥平面ACB；
（2）线段PD′上存在点Q，使得CQ与平面BCD′所成角的正弦值为．
因为D′O⊥平面BAC，所以OA，OP，OD′两两互相垂直，
如图，以点O为坐标原点，OA，OP，OD′分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，D′（0，0，1），P（0，1，0），
则，，
设平面CBD′的一个法向量为，
则，则，即，令x2＝1，则y2＝0，，
∴，
设，因为，，
所以，
设CQ与平面BCD′所成角为θ，则，
即6λ2﹣13λ+5＝0，
∵0≤λ≤1，解得或（舍去），
所以线段PD′上存在点Q，且，使得CQ与平面BCD′所成角的正弦值为．
【点评】本题考查面面垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题．
22．（12分）动点M在y轴的右侧，M到y轴的距离比它到点（1，0）的距离小1．
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）已知点P（2，0），过（1，0）的直线与E交于A、B两点，AP，BP分别与E交于点C，D．
①求证：直线CD过定点；
②求△PAB与△PCD面积之和的最小值．
【考点】轨迹方程；恒过定点的直线．
【答案】（1）y2＝4x；
（2）证明见解析，10．
【分析】（1）根据抛物线的定义，即可求解；
（2）①利用直线过x轴上的已知点，与抛物线联立方程组的两个交点纵坐标之积为定值，再假设直线CD方程，再利用两交点纵坐标之积为定值，得到定点坐标；
②求这两个三角形的面积时，都只需要用到它们的纵坐标，然后都转化到A、B两点的纵坐标上来，再利用韦达定理把面积转化到关于系数m的函数上来求解最值即可．
【解答】解：（1）因为动点M在y轴的右侧，M到y轴的距离比它到点（1，0）的距离小1，
所以动点M到x＝﹣1的距离等于它到点（1，0）的距离，
所以M为以（1，0）为焦点，x＝﹣1为准线的抛物线，
∴，
∴动点M的轨迹E的方程为y2＝4x；
（2）
①证明：设过点F（1，0）的直线为x＝my+1，
联立，可得y2﹣4my﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1y2＝﹣4，
设过点P（2，0）的直线AP为x＝ty+2，
联立，可得y2﹣4ty﹣8＝0，设A（x1，y1），C（x3，y3），
则y1y3＝﹣8，
设过点P（2，0）的直线BP为x＝sy+2，
联立，可得y2﹣4sy﹣8＝0，设B（x2，y2），D（x4，y4），
则y2y4＝﹣8，
设直线CD为x＝ay+b，
联立，可得y2﹣4ay﹣4b＝0，设C（x3，y3），D（x4，y4），
则y3y4＝﹣4b，
而，即﹣4b＝﹣16，解得b＝4，
所以直线CD为ay＝x﹣4，即直线CD过定点（4，0）；
②△PAB与△PCD面积之和为
＝，
当m＝0时，即AB垂直于x轴时，面积之和取到最小值10．
【点评】本题考查动点轨迹问题的求解，直线与抛物线的位置关系，属中档题．
考点卡片
1．充分不必要条件的判断
【知识点的认识】
充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P⇒Q，但 Q⇏P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件．
【解题方法点拨】
要判断一个条件是否为充分不必要条件，可以先验证P⇒Q，然后找反例验证Q成立但P不成立．举反例是关键步骤，找到一个Q成立但P不成立的例子即可证明P不是Q的必要条件．例如，可以通过几何图形性质验证某些充分不必要条件．
【命题方向】
充分不必要条件的命题方向包括几何图形的特殊性质、函数的特定性质等．
已知命题p：x2﹣4x+3＜0，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．x≤1
B．1＜x＜2
C．x≥3
D．2＜x＜3
解：由x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜3，
则1＜x＜2和2＜x＜3都是1＜x＜3的充分不必要条件．
故选：BD．
2．数列的单调性
【知识点的认识】
数列的单调性是指数列是递增还是递减的性质．
由于数列{an}中的每一项an与它的序号n是一一对应的，所以数列{an}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f（n）．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一系列函数值f（1），f（2），…，f（n），…就是数列{an}．
【解题方法点拨】
﹣定义判断：根据数列的定义或通项公式判断其单调性．
﹣递推关系：利用数列的递推关系分析其单调性．
﹣数列差：分析数列相邻两项的差an+1﹣an的符号判断单调性．
【命题方向】
常见题型包括利用定义、递推关系、数列差判断数列的单调性，结合具体数列进行分析．
下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（ ）
A．an＝1﹣n
B.
C．an＝2n2﹣5n+1
D.
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，an＝1﹣n，有an+1﹣an＝1﹣（n+1）﹣1+n＝﹣1，是递减数列，不符合题意，
对于B，an＝，有an+1﹣an＝﹣＝＜0，是递减数列，不符合题意，
对于C，an＝2n2﹣5n+1，有an+1﹣an＝2（n+1）2﹣5（n+1）+1﹣2n2+5n﹣1＝4n﹣3，由于n≥1，则an+1﹣an＝4n﹣3＞0，是递增数列，符合题意，
对于D，，则a2＝5，a3＝4，不是递增数列，不符合题意，
故选：C．
3．等差数列的概念与判定
【知识点的认识】
等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1+n（n﹣1）或Sn＝ （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）
【解题方法点拨】
﹣定义：等差数列满足an+1﹣an＝d．
﹣判定：根据相邻两项的差是否为定值判定数列是否为等差数列．
【命题方向】
常见题型包括利用定义和相邻两项的差判断数列是否为等差数列，结合具体数列进行分析．
下列数列不是等差数列的是（ ）
A．6，6，6，⋯，6，⋯
B．﹣2，﹣1，0，⋯，n﹣3，⋯
C．5，8，11，⋯，3n+2，⋯
D.0，1，3，⋯，，⋯
解：数列6，6，6，⋯，6，⋯是公差为0的等差数列；
数列﹣2，﹣1，0，⋯，n﹣3，⋯是公差为1的等差数列；
∵3n+2﹣[3（n﹣1）+2]＝3为常数，故数列5，8，11，⋯，3n+2，⋯是等差数列；
∵1﹣0≠3﹣1，故数列0，1，3，⋯，，⋯不是等差数列．
故选：D．
4．等差中项及其性质
【知识点的认识】
等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1+n（n﹣1）或Sn＝ （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）
等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
【解题方法点拨】
﹣定义：等差数列中的任意三项an﹣1，an，an+1满足．
﹣性质：利用等差中项的性质求解数列相关问题．
【命题方向】
常见题型包括利用等差中项的定义和性质求解数列中的项，结合具体数列进行分析．
设a＞0，b＞0，若1是4a与2b的等差中项，则+的最小值为_____．
解：a＞0，b＞0，1是4a与2b的等差中项，
∴4a+2b＝2，∴2a+b＝1，
∴+＝（+）（2a+b）＝4+++1＝≥5+2＝9．
当且仅当时，取等号，
则+的最小值为9．
故答案为：9．
5．等差数列的前n项和
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝
【解题方法点拨】
eg1：设等差数列的前n项和为Sn，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝
解：∵d＝1，S5＝15，
∴5a1+d＝5a1+10＝15，即a1＝1，
则S10＝10a1+d＝10+45＝55．
故答案为：55
点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可．
eg2：等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．求数列{|an|}的前n项的和Tn．
解：∵等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．
∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，
该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．
∴n≤3时，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，
n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，
∴．
点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值．
【命题方向】
等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．
6．求等差数列的前n项和
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝
【解题方法点拨】
﹣代入计算：将具体问题中的n值代入前n项和公式，计算数列的前n项和．
﹣推导公式：根据实际问题推导出数列的前n项和公式．
﹣综合应用：将前n项和公式与其他数列性质结合，解决复杂问题．
【命题方向】
常见题型包括利用等差数列的前n项和公式计算具体项，推导数列和公式，解决实际问题．
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝a3，a4＝5，则Sn＝_____．
解：设等差数列{an}的公差为d，
∵S3＝a3，
∴a1+a2＝a1+a1+d＝0，
又∵a4＝5，∴a1+3d＝5，
解得，a1＝﹣1，d＝2，
故Sn＝n•a1+•2＝n2﹣2n，
故答案为：n2﹣2n．
7．等比数列的性质
【知识点的认识】
等比数列
（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1 时，an为常数列．
等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，an＝a1qn﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，Sn＝，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有am•an＝ap•aq．
等比数列的性质
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．
【解题方法点拨】
例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝ ．
解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，
则18＝2q4，解得q2＝3，
∴y＝2q2＝2×3＝6．
故答案为：6．
本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．
8．等比数列的通项公式
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1•qn﹣1
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． G2＝a•b （ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．
9．数列的应用
【知识点的认识】
1、数列与函数的综合
2、等差数列与等比数列的综合
3、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．
10．数列的求和
【知识点的认识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即＝（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【解题方法点拨】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
＝
＝．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Sn＝＝n2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn＝＝＝＝，
∴Tn＝＝＝，
即数列{bn}的前n项和Tn＝．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【命题方向】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
11．数列递推式
【知识点的认识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an＝．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
【解题方法点拨】
数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an＝的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
12．等差数列与等比数列的综合
【知识点的认识】
1、等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
2、等比数列的性质．
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣ m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．
13．利用正弦定理解三角形
【知识点的认识】
1．正弦定理
﹣
【解题方法点拨】
﹣应用正弦定理：用正弦定理解决三角形中的边长和角度问题，特别是在已知部分角和边的情况下．
﹣三角形的解法：在已知两个角和一个边，或两个边和一个角的情况下，利用正弦定理求解其他边和角．
【命题方向】
﹣正弦定理的应用：考查如何应用正弦定理解决涉及三角形的几何问题．
﹣三角形解的存在性：如何使用正弦定理判断三角形的解的存在性和唯一性．
△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝60°，则b＝_____．
解：∵△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝60°，
∴由正弦定理得，，
∴，
解得b＝3．
14．余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
15．棱锥的体积
【知识点的认识】
棱锥的体积可以通过底面面积B和高度h计算，顶点到底面的垂直距离即为高度．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为．
﹣底面面积计算：底面面积B可以根据底面多边形的性质计算．
【命题方向】
﹣棱锥的体积计算：考查如何根据底面面积和高度计算棱锥的体积．
﹣实际应用：如何在实际问题中应用棱锥体积计算．
16．异面直线及其所成的角
【知识点的认识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
17．平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
18．空间向量及其线性运算
【知识点的认识】
1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．
2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，||
特别地：
①规定长度为0的向量为零向量，记作；
②模为1的向量叫做单位向量；
3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．
4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为﹣．
5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．
6．注意：
①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行；
②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；
③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；
④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；
⑤一般来说，向量不能比较大小．
1．加减法的定义：
空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．
空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．
2．加法运算律：
空间向量的加法满足交换律及结合律．
（1）交换律：
（2）结合律：．
3．推广：
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：
（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量
．
1．空间向量的数乘运算
实数λ与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
①当λ＞0时，与的方向相同；
②当λ＜0时，与的方向相反；
③当λ＝0时，＝．
④|λ|＝|λ|•||
的长度是的长度的|λ|倍．
2．运算律
空间向量的数乘满足分配律及结合律．
（1）分配律：①
②（λ+μ）＝+
（2）结合律：
注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法计算．
19．空间向量的数量积运算
【知识点的认识】
1．空间向量的夹角
已知两个非零向量、，在空间中任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作＜，＞．
2．空间向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量、，则||||cs＜，＞叫做向量与的数量积，记作•，即•＝||||cs＜，＞
（2）几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||csθ的乘积，或的长度||与在的方向上的投影||csθ的乘积．
3．空间向量的数量积运算律
空间向量的数量积满足交换律和分配律．
（1）交换律：＝λ（）＝•（）
（2）分配律：．
4．数量积的理解
（1）书写向量的数量积时，只能用符号，而不能用符号，也不能用
（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）当时，由＝0不能推出一定是零向量，这是因为任一个与垂直的非零向量，都有
【解题方法点拨】
利用数量积求直线夹角或余弦值的方法：
利用数量积求两点间的距离：
利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式||＝求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小．
利用数量积证明垂直关系：
（1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断时，须指明，；
（2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量，，的线性形式，然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直．
【命题方向】
求直线夹角或余弦值、两点间的距离、证明垂直关系等问题最基本的是掌握数量积运算法则的应用，任何有关数量积计算问题都离不开运算律的运用．
例：已知2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），则•＝ ﹣7
分析：通过2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），求出向量的坐标，然后进行向量的数量积的坐标运算．
解答：∵2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），
∴＝（1，﹣3，1），
∴•＝1×0+2×（﹣3）+1×（﹣1）＝﹣7；
故答案为：﹣7．
点评：本题考查了空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题．
20．空间向量法求解直线与平面所成的角
【知识点的认识】
直线与平面所成角的求法：
向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cs φ|＝．
【解题方法点拨】
﹣点积和模：计算向量的数量积和模，求得角度的余弦值，然后使用反余弦函数计算角度．
【命题方向】
﹣向量法计算：考查如何使用空间向量法计算直线与平面之间的夹角．
21．空间向量法求解二面角及两平面的夹角
【知识点的认识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，
此时csθ＝cs＜，＞＝．
（2）当＜＜，＞＜π时，θ＝π﹣＜，＞，
csθ＝﹣cs＜，＞＝﹣．
【解题方法点拨】
﹣数量积和模：使用向量数量积和模计算夹角，应用反余弦函数得到结果．
【命题方向】
﹣向量法计算：考查如何使用空间向量法计算两平面之间的夹角．
22．点、线、面间的距离计算
【知识点的认识】
23．直线的截距式方程
【知识点的认识】
直线的截距式方程：
若直线l与x轴交点为（a，0），与y轴交点为（0，b），其中a≠0，b≠0，a为直线l在x轴上的截距，b为直线l在y轴上的截距，由两点式：可推得直线的斜截距方程为：．
#注意：斜截式适用于与两坐标轴不垂直且不过原点的直线．
24．直线的一般式方程与直线的性质
【知识点的认识】
直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的一般方程的表达式是ay+bx+c＝0．
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：
（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．
2、直线的一般式方程：
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率为﹣，y轴上截距为﹣的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．
（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；
②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；
③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；
④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．
如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．
25．恒过定点的直线
【知识点的认识】
﹣定点：直线总是通过一个固定的点（x1，y1）的方程形式为：
a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0
其中a和b是直线的方向向量分量．
【解题方法点拨】
﹣求方程：
1．已知定点：将定点（x1，y1）代入直线方程．
2．确定直线：确定直线方向向量，代入标准方程形式．
3．标准方程：得到直线方程如：
a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0
【命题方向】
﹣定点直线：考查如何找到所有恒过一个定点的直线方程，通常涉及固定点和直线方程的转换．
26．与直线有关的动点轨迹方程
【知识点的认识】
﹣动点轨迹：动点P（x，y）满足一定条件（如到定点距离等于常数）的轨迹方程．常见轨迹包括直线、圆等．
【解题方法点拨】
﹣求轨迹方程：
1．分析条件：将动点的条件转化为方程．
2．转换方程：将几何条件转化为坐标方程，如点到直线的距离或点到点的距离等于常数．
3．求解方程：通过代数方法或几何方法得到轨迹方程．
【命题方向】
﹣动点轨迹：考查如何从动点条件推导出轨迹方程，常涉及几何图形的方程构建．
27．圆的标准方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的标准方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
其中圆心C（a，b），半径为r．
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：
x2+y2＝r2．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
【解题方法点拨】
已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下：
（1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；
（2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组；
（3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可．
另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程．
【命题方向】
可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r值的求解可能和直线与圆的位置关系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度．在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a，b，r的值或解得圆的一般方程再进行转化．
例1：圆心为（3，﹣2），且经过点（1，﹣3）的圆的标准方程是 （x﹣3）2+（y+2）2＝5
分析：设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．
解答：设圆的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝R2，
由圆M经过点（1，﹣3）得R2＝5，从而所求方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝5，
故答案为（x﹣3）2+（y+2）2＝5
点评：本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径．
例2：若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1
B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1
C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1
D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1
分析：要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为（a，b），由已知圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于a与b的关系式，又圆与x轴相切，可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即|b|等于半径1，由圆心在第一象限可知b等于圆的半径，确定出b的值，把b的值代入求出的a与b的关系式中，求出a的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可．
解答：设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），
由圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d＝＝r＝1，
化简得：|4a﹣3b|＝5①，
又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝﹣1（舍去），
把b＝1代入①得：4a﹣3＝5或4a﹣3＝﹣5，解得a＝2或a＝﹣（舍去），
∴圆心坐标为（2，1），
则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．
故选：A
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．
例3：圆x2+y2+2y＝1的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
分析：把圆的方程化为标准形式，即可求出圆的半径．
解答：圆x2+y2+2y＝1化为标准方程为 x2+（y+1）2＝2，
故半径等于，
故选B．
点评：本题考查圆的标准方程的形式及各量的几何意义，把圆的方程化为标准形式，是解题的关键．
28．点与圆的位置关系
【知识点的认识】
点与圆的位置关系分为在园内，在圆上和在圆外，判断的方法就是该点到圆心的距离和圆半径的大小之间的比较．
①当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；
②当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；
③当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外．
29．椭圆的几何特征
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
30．求椭圆的离心率
【知识点的认识】
椭圆的离心率e由公式计算，其中．
【解题方法点拨】
1．计算离心率：使用公式计算离心率．
【命题方向】
﹣给定a和b，求椭圆的离心率．
﹣计算椭圆的离心率，并分析其含义．
31．双曲线的定义
【知识点的认识】
双曲线（Hyperbla）是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹．双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面的交截线．双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点（fcus），定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率．
标准方程
①（a，b＞0），表示焦点在x轴上的双曲线；
②（a，b＞0），表示焦点在y轴上的双曲线．
性质
这里的性质以（a，b＞0）为例讲解：
①焦点为（±c，0），其中c2＝a2+b2；②准线方程为：x＝±；③离心率e＝＞1；④渐近线：y＝±x；⑤焦半径公式：左焦半径：r＝|ex+a|，右焦半径：r＝|ex﹣a|．
【解题方法点拨】
例1：双曲线﹣＝1的渐近线方程为
解：由﹣＝0可得y＝±2x，即双曲线﹣＝1的渐近线方程是y＝±2x．
故答案为：y＝±2x．
这个小题主要考察了对渐近线的理解，如果实在记不住，可以把那个等号后面的1看成是0，然后因式分解得到的两个式子就是它的渐近线．
例2：已知双曲线的一条渐近线方程是x﹣2y＝0，且过点P（4，3），求双曲线的标准方程
解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，
设双曲线方程为﹣y2＝λ（λ≠0），
∵双曲线过点P（4，3），
∴﹣32＝λ，即λ＝﹣5．
∴所求双曲线方程为﹣y2＝﹣5，
即：﹣＝1．
一般来说，这是解答题的第一问，常常是根据一些性质求出函数的表达式来，关键是找到a、b、c三者中的两者，最后还要判断它的焦点在x轴还是y轴，知道这些参数后用待定系数法就可以直接写出函数的表达式了．
【命题方向】
这里面的两个例题是最基本的，必须要掌握，由于双曲线一般是在倒数第二个解答题出现，难度一般也是相当大的，在这里可以有所取舍，对于基础一般的同学来说，尽量的把这些基础的分拿到才是最重要的，对于还剩下的部分，尽量多写．
32．由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数
【知识点的认识】
已知双曲线的渐近线方程可以确定a和b，从而得到双曲线的标准方程．
【解题方法点拨】
1．计算a和b：由渐近线方程的斜率计算．
2．代入标准方程：得到双曲线的标准方程．
【命题方向】
﹣给定渐近线方程，求解双曲线的标准方程或参数．
﹣利用渐近线方程计算标准方程．
33．双曲线的实轴和虚轴
【知识点的认识】
双曲线的实轴是通过两个顶点的线段，虚轴是与双曲线相交的渐近线的距离．对于双曲线，实轴长度为2a，虚轴长度为2b．
【解题方法点拨】
1．计算实轴长度：由a计算实轴长度．
2．计算虚轴长度：由b计算虚轴长度．
【命题方向】
﹣给定双曲线方程，求实轴和虚轴的长度．
﹣利用参数计算实轴和虚轴的长度．
34．求双曲线的离心率
【知识点的认识】
双曲线的离心率e是，其中是焦距的一半．
【解题方法点拨】
1．计算离心率：利用公式计算离心率．
2．求解参数：从双曲线方程中提取参数．
【命题方向】
﹣给定双曲线的参数，求离心率．
﹣根据离心率计算双曲线的标准方程．
35．曲线与方程
【知识点的认识】
在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．求解曲线方程关键是要找到各变量的等量关系．
【解题方法点拨】
例：：定义点M到曲线C上每一点的距离的最小值称为点M到曲线C的距离．那么平面内到定圆A的距离与它到定点B的距离相等的点的轨迹不可能是（ ）
A：直线 B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支．
解：对定点B分类讨论：
①若点B在圆A内（不与圆心A重合），如图所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，则|AM|+|BM|＝|AP|＝R＞|AB|．
由椭圆的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的椭圆．
②若点B在圆A外，如图2所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，则|BM|﹣|AM|＝|AP|＝R＜|AB|．
由双曲线的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的双曲线的一支．
③若定点B与圆心A重合，如图3所示：
设点P是圆A上的任意一点，取线段AP的中点M，则点M满足条件，
因此点M的轨迹是以点A为圆心，以为半径的圆．
④若点B在圆A上，则满足条件的点是一个点B．
综上可知：可以看到满足条件的点M的轨迹可以是：椭圆、双曲线的一支，圆，一个点，而不可能是一条直线．
故选A．
这是一个非常好的题，一个题把几个很重要的曲线都包含了，我认为这个题值得每一个学生去好好研究一下．这个题的关键是找等量关系，而这个等量关系是靠自己去建立的，其中还要注意到圆半径是相等的和中垂线到两端点的距离相等这个特点，最后还需结合曲线的第二定义等来判断，是个非常有价值的题．
【命题方向】
这个考点非常重要，但也比较难，我们在学习这个考点的时候，先要认真掌握各曲线的定义，特别是椭圆、抛物线、双曲线的第二定义，然后学会去找等量关系，最后建系求解即可．
36．圆锥曲线的综合
【知识点的认识】
1、抛物线的简单性质：
2、双曲线的标准方程及几何性质
37．轨迹方程
【知识点的认识】
1．曲线的方程和方程的曲线
在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；
（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；
（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；
（4）化简：化方程f（x，y）＝0为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点
【解题方法点拨】
（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．
（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x0，y0），即得到x0＝f（x，y），y0＝g（x，y），再将x0，y0代入M满足的条件F（x0，y0）＝0中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．
（4）待定系数法
（5）参数法
（6）交轨法．
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题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
C
C
B
C
D
定理
正弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccs A，
b2＝a2+c2﹣2accs_B，
c2＝a2+b2﹣2abcs_C
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A＝，
cs B＝，
cs C＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性
质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±＝1
±＝1