中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）4.2.1 共面直线一等奖教案

这是一份中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）4.2.1 共面直线一等奖教案，共8页。
4.2 直线与直线的位置关系
选用教材
高等教育出版社《数学》
（拓展模块一上册）
授课
时长
3 课时
授课类型
新授课
本课通过引导学生观察熟悉的教室，来探究两条直线之间有哪些位置关
教学提示
系．观察可以发现，两直线位置除了共面的相交与平行之外，也存在既不相交也不平行的情况，由此引入异面直线概念，从而得到两直线有三种位置关系．教学
时要注意承前启后，注意强调平面内成立的某些结论，在空间中有些是成立，有
些是不成立的，要对空间中直线的位置关系与平面中直线的位置关系进行对比.
教学目标
知道空间直线的三种位置关系；知道异面直线画法；经历异面直线概念的形成过程，理解空间两直线的位置关系，能用异面直线判定定理判定两直线是否异面；会用平行线在空间的传递性证明两线平行问题，将平行线的传递性和等角定理由二维平面向三维空间的展，初步建立空间观念；知道异面直线所成角定义，能用相交直线所成角的概念定义异面直线所成角，探索精确定位空间图形位置关系的方法；知道等角定理，会求异面直线所成角，会判断异面直线是否垂直，培养将空间问题转化为平面问题解决的思想方法；逐步培养和提升直观想象、逻
辑推理和数学运算等核心素养.
教学
重点
两直线位置关系、平行线的传递性、异面直线定义及判定定理．
教学
难点
异面直线所成角的计算方法．
教学
环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
如图所示，在长方体教室中，观察并思考：直线 a、b、 c、d 有怎样的位置关系？
提出
思考
引导
问题
学生
分析
观察
引发
熟悉
情境导入
思考
回答
的教室探
究直
线的
位置
关系
新知探索
观察发现，直线 b、c、d 在同一平面内,其中直线 b、 c 平行，直线 d 与直线 b、c 分别相交；直线 a 与直线 d 既不平行也不相交，它们不同在任何一个平面内.
一般地，把不同在任何一个平面内的两条直线称为异
讲解
讲解
理解
思考
引入异面直线
概念
面直线；相交或平行的两条直线称为共面直线.
说明
领会
情境
4.2.1 共面直线
1.平行直线
上图所示长方体教室中，直线 a 与 b 是共面于黑板所
在平面内的平行直线，直线 b 与 c 是共面于地板所在平面内的平行直线，那么直线 a 与直线 c 是否平行呢？
提出问题
观察思考
引出异面
导入
引发
讨论
直线
思考
交流
概念
新知探索
我们知道,在同一平面内平行于同一条直线的两条直线互相平行.可以证明，在空间中这个结论仍然成立.如前面图所示，当 a∥b，b∥c 时，有 a∥c.
事实上，空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行，这称为平行线的传递性.
讲解
说明
理解
领会
平面平行实现空间转变
典型例题
例 1 如图所示，点 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 BC、 AD 的中点，点 C、H 分别是 MB、MA 的中点，M∉平面 BD.求证：GH // EF.
证明 因为点 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 BC、AD 的中点，所以 AF// BE，且 AF=BE.故四边形 ABEF 是平行四边形，EF // BA.
又因为点 G、H 分别是 ΔABM 的边 MB、MA 的中点，所以 GH// BA.
根据平行线的传递性可知， GH// EF.
提问引导
讲解强调
指导
思考分析
解决交流
主动求解
运用平行线在空间的传递性证明空间直线平行的问题
情境导入
2.相交直线
图中所示长方体教室中，直线 d 与直线 b 相交于一点，且互相垂直.空间中其他相交直线有怎样的位置关系呢？
提出问题
引发思考
观察思考
讨论交流
延续使用同样例子创设情境保持学习一致性
新知探索
我们知道，同一平面内有且只有一个公共点的两条直线成为相交直线，当 l 与 m 相交于点 A 时，可简记作 l∩m=A.
两条相交直线所形成的最小正角称为这两条相交直
线所成的角，如图所示.显然，θ∈  0  ，并且角 θ 及其
 ， 
2 
对顶角均为这两条相交直线所成的角.
规定：两条平行直线缩成的角为 0.因此，两条共面直
线所成角的范围是0   .
 ， 
2
讲解
说明
理解
领会
用集合语言描述相交直线，注意正确的写法和理解
典型例题
例 2 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1，如图.
(1)分别求 AB 与 D1C1、BD 所成的角的大小；
(2)直线 AB 与 BD 所成的角和直线 A1B1 与 D1B1 所成的角是否相等？
解 (1)因为 AB // D1C1，所以 AB 与 D1C1 所成的角为 0.
又正方体的各面都是正方形, BD 为正方形 ABCD 的对

角线, 所以ABD ，即 AB 与 DB 所成的角的大小是 .
44
(2)显然，直线 AB 与 BD 所成的角为∠ABD，直线 A1B1
与 D1B1 所成的角∠A1B1D1.
因为ABD   , A B D   ,所以∠ABD=∠A1B1D1,
41 1 14
即直线 AB 与 DB 所成的角和直线 A1B1 与 D1B1 所成的角相等.
提问引导
讲解强调
指导
思考分析
解决交流
主动求解
巩固直线所成角的定 义，引出 “等角定理”
新知探索
一般地，如果两条相交直线 l1 与 l2 分别平行于另外两条相交直线 l1'与 l2'，那么 l1 与 l2 所成的角和 l1'与 l2'所成的角相等.
这个 结论称为等角定理,常用来判定空间中的两个角
相等.
提示引导
总结发现
补充说明重要结论
巩固练习
练习 4.2.1
观察自己的教室，找出其中的平行直线、相交直线、共面直线.
如图所示，己知长方体 ABCD-A1B1C1D1，判断下列说法是否正确.
直线 A1B1 与 DD1 相交；
直线 AD 与 CC1 平行；
直线 AB 与 D1B1 相交；
直线 BD 与 B1D1 平行.
3.顶点不共面的四边形称为空间四边形.如图所示，点 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 中 AB、BC、CD、 DA 的中点.求证：四边形 EFGH 是平行四边形.
提问
巡视
指导
思考
动手求解
交流
及时掌握学生掌握情况查漏补缺
设 E 是长方体 ABCD-A1B1C1D1 的上底面 A1B1C1D1
内一点.如图所示，试过点 E 作直线 l、m，使得 l∥BC， m∥AC.
如图所示，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB  3 ，
BC=1，CC'=2.求：
直线 A'D'与直线 B'D'所成的角的大小；
直线 BC 与直线 B'C'之间的距离.
情境导入
4.2.2 异面直线
图中所示长方体教室中，可以直观地看出直线 a 与直线 d 不同在任何一平面内，是异面直线，能否有更准确的方法判断两条直线是异面直线呢？
提出问题引发思考
思考
分析回答
创设情 境，借助熟悉的例子体会异面直线的特征
探索新知
观察异面直线 a 与 d,直线 a 在黑板所在平面 α 内，直线 d 经过平面 α 外一点 D 和平面 α 内一点 B，但直线 a 不经过点 B.于是得到：
异面直线判断定理 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线.
已知：如图，M∈n 且 M∉α，P∈n 且 P∈α，m⊆α， P∉m.
求证：m 和 n 是异面直线.
讲解
说明
展示图像引发思考
理解
思考
观察图像分析问题
使用反证法锻炼学生逻辑思维，提升逻辑
证明 假设 n 和 m 共面，记它们所在的平面为 β，则由 M∈n 可知 M∈β.但是 M∉α，因此 α 和 β 是两个不同的平面.
由 P∈n 可知 P∈β，又 P∉m，因此，β 是经过直线 m 及其外一点 P 的平面，而这就是平面 α，与 α 和 β 是两个不同的平面相矛盾. 所以，m 和 n 是异面直线.
在画异面直线时，除图(1)画法外，我们还常把表示两条异面直线的线段分别画在不同的平面内，并且使它们既不相交也不平行，如图(2)和(3)中的异面直线 m 与 n.
分析讲解
讲解展示指导
理解体会
观察体验操作
推理核心素养
强调异面直线规范画法注意线面直接衬托
体现
典型例题
例 3写出三棱锥 D-ABC 中与直线 AB 异面的直线.
解 因为 AB⊆平面 ABC，C∈平面 ABC，C∉AB，D∉平面 ABC，所以 DC 与 AB 是异面直线.
提问引导
讲解强调
指导
思考分析
解决交流
主动求解
异面直线判断定理的应用，二维向三维的
过渡
情境导入
对于平面内的两条相交直线，可用夹角大小定量描述它们之间的位置关系；对于平面的两条平行直线，可用距离定量描述它们之问的位置关系，如图所示.对于两条异面直线，如何定量描述它们之间的位置关系呢？
提出问题引发思考
思考
分析回答
与平面知识进行类比学习
探索新知
己知两条异面直线 a 与 b，如图(1)所示.在空间上任取一点 P，过点 P 作 a'∥a， b'∥b，得到两条相交直线 a'和 b'，如图 (2)所示.
我们把相交直线 a'与 b'所成的角 θ 称为异面直线 a 与
b 所成的角.
在作异面直线 a 与 b 所成的角时，常在其中的一条
讲解
说明
展示图像帮助思考
理解
思考
观察图像理解要点
通过转化的思想，将异面直线所成的角转化为平面内直
线的
直线上取一点 O，过点 O 作另一条直线的平行线，如图所示.
由平面内两条直线所成角的范围可知,两条异面直线所成的角的取值范围是 0  .特别地，当两条异面直线 a
 ， 
2 

与 b 所成的角为 时，称这两条异面直线互相垂直，记作
2
a⊥b.
讲解强调
学习领会
角的问，克服教学难点
典型例题
例 4 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求下列异面直线所成
角的大小.
AB 与 DD1 ；(2)A1C1 与 BC.
解 (1)因为正方体的各个面都是正方形，所以 AA1∥DD1 .
又 AA1 与 AB 相交于点 A，故∠A1AB 就是异面直线 AB
与 DD1 所成的角.
因为∠A1AB 是直角，所以异面直线 AB 与 DD1 所成角

的大小为 .
2
因为 B1C1∥BC,且 A1C1 与 B1C1 相交于点 C1, 所以
∠A1C1B1 就是异面直线 A1C1 与 BC 所成的角.

在 RtΔA1B1C1 中, ∠A1B1C1=.因此异面直线 A1C1 与
4

BC 所成角的大小为 .
4
提问
引导
讲解强调
指导分析
思考
分析
解决交流
主动求解
基础
练习帮助学生深入理解异面直线所成角概念，掌握解题一般过程进一步认识正方体结构特征
新知探索
观察正方体可以发现，正方体中与异面直线 AB、DD1都垂直的棱有 AD、A1D1、B1C1、BC，其中只有 AD 与异面直线 AB 和 DD1 同时垂直且相交.
讲解
说明
展示图像
理解
思考
观察分析
借助正方体学习学习异面直线垂直时的相
像这样，与两条异面直线同时垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线有且只有一条.
两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的部分，称为这两条异面直线的公垂线段，公垂线段的长度称为两条异面直线的距离.
温馨提示
因为两条直线垂直可以是相交垂直，也可以是异面垂直，所以经过一点 P 与己知直线 l 垂直的直线有无数条.
讲解强调
说明
理解要点
领会
关知识
典型例题
例 5 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，C1C=1，求异面直线
A1B1 与 BC 之间的距离.
解 因为长方体 ABCD-A1B1C1D1 的六个面都是矩形，所以
B1B⊥A1B1， B1B⊥BC.
又B1B∩A1B1=B1， B1B ∩ BC=B，
所以线段 B1B 是异面直线 A1B1 与 BC 的公垂线段.
因为 B1B=C1C=1，所以 A1B1 与 BC 之间的距离等于 1.
综上，我们从两条异面直线所成的角和两条异面直线的距离两个方面定量描述了两条异面直线的位置关系.
提问引导
讲解强调
指导分析
思考分析
解决交流
主动求解
加深理解异面直线距离的概念
巩固练习
练习 4.2.2
关于两条直线的位置关系,以下描述正确的是()
没有交点的两条直线平行
不平行的两条直线相交
不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线
两平行直线 a、b 分别在平面 α、β 内,则 a、b 是异面直线
2.两条异面直线的公垂线指的是() A.与两条异面直线都垂直的直线
B. 与两条异面直线都垂直的相交直线
C. 与两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段
D.与两条异面直线都相交的所有直线
3.在图中，分别给出异面直线 m 与 n 所成的角的一种画法.
提问
巡视
指导
思考
动手求解
交流
及时掌握学生掌握情况查漏补缺
在长方体 ABCD-A1B1C1D1 各棱所在的直线中,分别指出与直线 AA1 平行、相交、异面的直线.
在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，直线 BC 与 CD1 所成的角的大小是；直线 A1D1 与 BD 所成的角的大小是；直线 AD1 与 BC 所成的角的大小是.
已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,求：
直线 AB 与 CD 之间的距离；
直线 A1D1 与 CD 之间的距离.
归纳总结
引导提问
回忆反思
培养学生总结学习过程能力
布置作业
书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；
查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;
拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
说明
记录
继续探究延伸
学习