中职数学4.4.1 两平面平行公开课教案设计

这是一份中职数学4.4.1 两平面平行公开课教案设计，共9页。
4.4 平面与平面的位置关系
选用教材
高等教育出版社《数学》
（拓展模块一上册）
授课
时长
4 课时
授课类型
新授课
教学提示
本课通过引导学生观察教室中墙面之间的位置关系，归纳出平面之间的位置关系，并通过平面性质 3 从理论角度进行说明，然后用图形语言与符号语言表示，然后引导学生用“线线关系”和“线面关系”理解“面面关系”，对空间不同维度的问题加以综合认识，提升空间想象能力. 二面角的平面角的概念是本课一个难点，建议尽量以图形直观或操作演示的方式使学生理解．关于两个相交平面所成角的概念非本课重点，主要与前面线线、线面所成角相呼应，使学生知识
结构完善．
教学目标
能结合实例说明两个平面之间的位置关系，能画出两个相交平面、两个平行平面的图形；知道两个平面平行的定义，能用两个平面平行的判定定理证明两个平面平行，能用两个平面平行的性质定理证明两条直线平行；知道二面角及其平面角的定义；能解决求二面角大小的简单问题；知道直二面角定义，知道两个相交平面所成角的概念；知道两个平面垂直的定义；能用两个平面垂直的判定定理证明两个平面垂直，能用两个平面垂直的性质定理证明直线与平面垂直；逐步
培养和提升直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养.
教学
重点
两个平面平行的判定与性质定理、两个平面垂直的判定与性质定理、二面
角概念及二面角的平面角的求法．
教学
难点
对二面角及其平面角概念的理解及求法．
教学
环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
情境导入
观察你所在教室的六个面,想一想,任两个平面之间有几种位置关系？
引发思考
分析回答
创设情境
新知探索
观察发现,两个平面之间的位置关系有两种:相交和平行.事实上,根据公理 3 可知,当两个平面有一个公共点时,这两个平面相交于一条直线.
一般地,当两个平面有一条公共直线时,称两个平面相交；当两个平面没有公共点时,称两个平面平行.
如图(1)所示，平面 α 与平面 β 相交于直线 l，记作 α∩β=l.如图(2)所示，平面 α 与平面 β 平行，记作 α∥β，此时 α∩β=∅.
画两个平面平行时,要使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.
讲解
讲解说明
展示图形
分析要点
理解
思考领会
观察图形
体会理解
通过平面性质
3 从理论角度说明平面位置关系更易学生理解
情境导入
4.4.1 两平面平行
观察教室,可以直观感受到教室的天花板和地面所在平面是平行的.考虑到平面的无限展性,直接判断这两个
提出问题
观察思考
引发学生
平面是否有公共点是很难实现的.那么,如何判断两个平
面是平行的呢？
引发
思考
讨论
交流
思考
可以设想,如果一个平面内的所有直线都与另一个平面平行.那么这两个平面平行,但要判定所有直线都与平面平行也是比较困难的,考虑到两条相交直线可以确定一个平面,是否可以通过平面内的两条相交直线与另一个平面平行来判定两个平面平行呢？
如图(1)所示，如果 m⊆β，n⊆β，且 m∩n=P，m∥α， n∥α，是否有 β∥α 呢？
如图(2)所示，假设平面 β 与 α 不平行，设 α∩β=AB，则由 m∥α 可知 m∥AB.同理可得，n//AB.根据直线平行的传递性,得 m∥n,这与已知条件 m∩m=P 矛盾，所以 β∥α.
于是有以下结论：
两个平面平行的判定定理如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面互相平行.
讲解
理解
直接
用相
交直
说明
领会
线引
入判
定定
理，
新知探索
未提及平
行直
线，
是给
学生
留下
思考
的空
间
例 1证明: 如果一个平面内有两条相交直线分别平行与
另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面互相平行.
提问
引导
思考
分析
利用
“线
已知：m∩n =P,m⊆α,n⊆α,m' ⊆β,n' ⊆β,且 m∥m',
n∥n',如图所示.
讲解
解决
线平
行”
典型例题

求证: α∥β.
证明 因为 m∥m', m' ⊆β, m⊈β,所以 m∥β.同理可证,
n ∥β. 又 m⊆α,n⊆α,m∩m=P,根据两个平面平行的判定定理可知 α∥β.
强调指导
交流
主动求解
证明 “线面平行”
探究与发现
锻炼
情境
既然可以用直线与平面平行、直线与直线平行判定平
面与平面平行,那么能否利用平面与平面的平行来判定直线与平面平行、直线与直线平行呢？
引发
讨论
学生
导入
思考
交流
逆向
思维
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线必平
讲解
理解
利用
行于另一个平面.也就是说，如果 α∥β，l⊆α，那么 l∥β.
“面
两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时
面”
和第三个平面相交，那么两条交线互相平行.
平行
新知探索
已知: α∥β，γ∩α=m，γ∩β=n，如图所示.
说明
领会
来证明
求证: m∥n.
证明 因为 m⊆γ，n⊆γ，所以 m、n 共面.
指导
证明
“线
线”平行
又因为 α∥β，m⊆α，n⊆β，所以 m、n 没有公共点，
因此 m∥n.
例 2证明：如果一条直线与两个平行平面中的一个平面垂直，那么它也与另一个平面垂直.
已知: α //β，l⊥α，如图所示.
求证: l⊥β.
提问引导
讲解
思考分析
解决
结论也是证明
“线
典型例题
强调指导
交流
主动求解
面垂直”的一种方法，
结论
证明 过直线 l 分别作平面 γ、φ，使 γ∩α=m，γ∩β=m'， φ∩α=n，φ∩β=n'.
由 α //β，得 m//m'，n//n'.
因为 l⊥α，所以 l⊥m，l⊥n，则 l⊥m'，l⊥ n'.
显然，m'与 n'是 β 内的相交直线.故 l⊥β.
可以
作为定理使用
练习 4.4.1
在底面为矩形的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，平面 AD1 与平面 A1C1 的位置关系是,平面 AB1 与平面 DC1 的位置关系是.
判断下列命题的真假.
如果平面 α 与 β 没有公共点，那么 α∥β ；
在图中所示的三棱锥中，若 A'C'∥AC，则平面 A'B'C'∥平面 ABC；
如果 m⊆α，n⊆α，且 m∥β，n∥β，那么 α∥β；
如果 m⊆α，n⊆ β，且 α∥β，那么 m∥n；
如果 α∥β，β∥γ，那么 α∥γ.
在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F、G、H 分别是 A1B1、AB、AD、A1D1 的中点，求证：平面 EFGH∥平面 BB1D1D.
已知平面 α∥β，ΔABC 在 β内，AB、AC 分别与平面 α 相交于 D、E 两点，如图所示，求证：
AD  AE .
ABAC
工程人员具有一丝不苟、精益求精的工匠精神是工程质量的基本保障.为检验所铺设的地板是否达到水平要
提问
思考
及时
掌握
学生
巡视
动手
掌握
求解
情况
查漏
补缺
指导
交流
巩固
练习
求,工程人员将水平仪(如图)分两次交叉放置在地板上,如果气泡两次都在正中间,则说明地板与水平面平行,达到要求.你知道其中的原理吗？
情境导入
4.4.2 二面角
打开笔记本计算机时,显示屏的开合程度不同,键盘与屏幕所在平面的相对位置就不同,如图所示.怎样来描述这种不同呢？
提出问题引发思考
思考
分析回答
通过熟悉物体创设情 境，引入二面角
观察可知,显示屏的开合程度可以用角度来描述.
平面内的一条直线把这个平面分成两部分,其中的每一部分都称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面.
根据二面角的不同摆放位置,常常把二面角画成图所示图形.
当二面角的棱为 l，两个面分别为 α、β 时，二面角记为 α-l-β.图(4)所示的二面角也可记为 A-BD-C.
如图所示,在二面角 α-l-β 的棱 l 上任取一点 O，分别在两个面内作垂直于校的射线 OA、OB，射线 OA、OB 所成的最小正角称为这个二面角的平面角.
可以用二面角的平面角的大小度量二面角的大小.
如图，平面角∠AOB 的大小就是二面角 α-l-β 的大小.
规定,当二面角的两个半平面重合时,二面角为零角；当二面角的两个半平面构成一个面时,二面角为平角.于是,二面角的取值范围是[0,π].当二面角的平面角为直角
时,称为直二面角.
讲解
理解
借助
图形
直观
说明
思考
或操
作演
示的
方式
展示
观察
帮助
图像
图像
学生
引发
分析
理解
思考
问题
探索
分析
理解
新知
讲解
体会
讲解
观察
展示
体验
指导
操作
典型例题
例 3 已知二面角 α-l-β 是锐角，其面 α 内一点 A 到棱 l
的距离为 2，到面的距离为 l，求这个二面角的大小.
解 如图所示，过点 A 作 AB⊥l，垂足为 B；再作 AC⊥β，垂足为 C,连接. 由题意可知 AB=2，AC=1.
因为 AC⊥β，l⊆β，所以 AC⊥l ,又因为 AB⊥l,AB 交
AC 于点 A，所以 l⊥平面 ABC.
又因为 BC⊆平面 ABC，所以 l⊥BC，从而∠ABC 是二面角 α-l-β 的一个平面角.
因为 AB=2，AC=1，ΔACB 是直角三角形，所以
ABC   .
6

因此，二面角 α-l-β 的大小是 .
6
例 4 求证:如果一个平面 γ 垂直于二面角 α-l-β 的棱 l，O为垂足且与两半平面的交线分别为 OA、OB，如图所示.那么∠AOB 是二面角 α-l-β 的平面角.
证明 因为 γ∩α=OA，γ∩α=OB，所以 OA ⊆ γ，OB ⊆ γ.
又因为 l⊥γ，所以 l⊥OA，l⊥ OB. 因此，∠AOB 是二面角 α-l-β 的一个平面角.
例4 中,垂直于棱l 的平面,与二面角α-l-β 的交线 OA、
OB 构成了二面角的平面角∠AOB,这又为我们提供了一种寻找二面角的平面角的方法.
提问引导
讲解强调
指导
思考分析
解决交流
主动求解
例 3是已知线面所成角来求二面角的平面角的例子
例 4利用面面相交的交线来求二面角的平面角
情境导入
探究与发现
引发思考
分析交流
类比直线
成角
我们己经知道了两条直线所成的角和直线与平面所成的角的定义,那么,两个平面所成的角怎样定义呢？
探索新知
在两个相交平面形成的四个二面角中,至少有一个不

大于 ，这个二面角称为两个相交平面所成的角.于是，两
2
个相交平面所成角的范围是 0  ，这样的角有两个.
 ， 
2 
讲解
说明
理解
思考
分析相交平面所成角及
范围
典型例题
例 5 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求平面 AB1C1D 与平面 ABCD 所成的角的大小.
证明 因为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的各个面均是正方形,所以 AD⊥A A1，AD⊥AB.
又因为 A A1 与 AB 相交，所以 AD⊥平面 A A1B1B.
提问引导
思考分析
巩固学生对相交平
面所
因为 AB1⊆平面 AA1B1B，所以 AD⊥AB1，从而∠B1AB
是二面角 B1-AD-B 的一个平面角.

因为AB1 是正方形AA1B1B 的对角线,所以∠B1AB=.
4

因此,平面 AB1C1D 与平面 ABCD 所成的角的大小是 .
4
成角
讲解
解决
的定
强调
交流
义
指导
分析
主动
求解
练习 4.4.2
己知二面角 α-l-β，C∈α，D∈β，AC⊥AB，AD⊥ AB，垂足均为 A，则二面角 α-AB-β 的平面角是.
已知正方体 ABCD-A1B1C1D1，试找出二面角
A1-BD-A 与二面角 A1-BD-C 的一个平面角，并分析二者之间的大小关系.
判断下列说法是否正确.
两个相交平面所成的角的取值范围是 0  ，而
 ， 
2 
二面角的取值范围是[0,π]；
在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，D1A B1 是二面角
D1-A A1-B1 的平面角；
分别在二面角的两个面内取一条直线，使两条直线相交，则相交直线所成的角是二面角的平面角.
4. 己知等腰 ΔABC 的腰长为 5cm，底边长为 8cm. 现
沿着底边上的高 AD 对折，折后 BC  4 2cm ，求二面角
D-C 的大小.
在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB 3 ，BC=AA1=1，
求二面角 B1-CD-A 的大小.
我国水利建设具有悠久的历史,尤其中华人民共和国成立后,修建了许多水车,在防洪、用水、供电、灌溉等方面发挥了巨大作用.如图所示,某水库大坝高 85m,斜坡面与水平面成 45°角,则斜坡面有多长？
提问
思考
及时
掌握
学生
巡视
动手
掌握
求解
情况
查漏
补缺
指导
交流
巩固
练习
4.4.3 两平面垂直
观察教室，可以直观感受到教室的墙面和底面是相互垂直的.如何检验这一结论的正确性呢？
感受
情境
引发
分析
平面
导入
思考
交流
位置
关系
新知探索

当两个平面所成的角是 时，称这两个平面互相垂直.
2

此时两个平面相交形成的四个二面角都是 .平面 α 与平
2
面 β 垂直，记作 α⊥β.
要检验墙面和地面所成的二面角是否为直二面角,可以作出它们构成的二面角的平面角,并测量其大小是否为除此之外,还有什么方法呢？
我们知道,利用直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直.类似地,也可以利用直线与平面垂直来判定平面与平面垂直.
如图所示,直线 AB⊥平面 β, 垂足为 B, AB⊆平面 α.设 α∩β=CD, 则 B∈CD.在 β 内过点 B 作 BE⊥CD.由 AB⊥β 可知 AB ⊥ CD, AB⊥BE.
于是,∠ABE 是二面角 α-CD-β 的平面角, 且∠ABE是直角.

因此, α 与 β 所成的角是 , 即 α⊥β .
2
于是，有下面的结论：
两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的条垂线, 那么这两个平面互相垂直.
讲解
说明
展示图像
讲解强调
说明
理解
思考
观察分析
理解要点
领会
利用直二面角来定义两个平面垂直，也可以用相交平面所成二面角是直角来定义
典型例题
例 6如图所示,己知∠ACB= 90°,P 是平面 ABC 外一点，且 PA⊥平面 ABC,求证: 平面 PAC⊥平面 PBC.
证明 因为∠ACB= 90°，所以 AC⊥BC.
因为 PA⊥平面 ABC，BC⊆平面 ABC，所以 PA⊥BC.
因为 PA∩AC=A，所以 BC⊥平面 PAC.
因为 BC⊆平面 PBC，所以平面 PAC⊥平面 PBC.
利用直线与平面的垂直可以判定平面与平面垂直.反过来,也可以借助于两个平面的垂直来判定直线与平面垂
直.
提问引导
讲解强调
指导分析
思考分析
解决交流
主动求解
可利用身边的实物模型演 示，通过直观感 知，启发学生发现
新知探索
两平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直,
那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 .
已知: α⊥β，α∩β=CD，AB⊆α，AB⊥CD，垂足为 B，如图所示 .
求证: AB⊥ β.
证明 在平面 β 内过点 B 作 BE⊥CD，则由 AB⊥CD
可知∠ABE 是二面角 α-CD-β 的平面角.
因为 α⊥β，所以∠ABE=90°，即 AB⊥BE.
则 AB 与两条相交直线 BE、CD 都垂直，故 AB⊥ β.
讲解内容
演示证明
领会要点
演算思考
引导学生领会的思想方法，提高空间观念和空间想象力
典型例题
例 7己知平面 α⊥平面 β，点 A∈α，且 AB⊥β，垂足是
B. 求证: AB ⊆ α.
证明 如图所示设 α∩β =l，假设 AB⊈α.
在平面 α 内过点 A 作 AC⊥l，垂足为 C.则 AB 与 AC
相交.因为 α⊥β，所以且 AC⊥β.
又因为 AB⊥β，所以 AB//AC，这与 AB、AC 相交矛盾，故假设不成立，所以 AB ⊆ α.
提问引导
讲解强调
指导分析
思考分析
解决交流
主动求解
加深对反证法的理解，帮助学生对两个定理和反证法更深入
认识
巩固练习
练习 4.4.3
1.判断下列命题的真假.
如果 m⊥β，m⊆α，那么 α⊥β；
如果 m⊆α，n ⊆β，且 m⊥n，那么 α⊥β；
如果 m⊆α，α⊥β，那么 m⊥β；
如果 α⊥β，α∩β=l，m⊥l，那么 m⊥β. 2.按要求画出满足条件的一个图形.
(1)直二面角； (2)两个互相垂直的平面.
己知 AB 为一个圆的直径, 点 C 为圆上不同于 A、B的点,PA 垂直于圆所在平面,如图所示,求证：平面 PAC⊥平面 PBC.
已知 α ⊥ β,α∩β=l,AB⊆α,AB ⊥ l, 垂足为 B,
提问
巡视
指导
思考
动手求解
交流
及时掌握学生掌握情况查漏补缺
AB=5cm,C∈B,线段 AC 在B 上的射影 BC 的长度为12cm,
如图所示.求 AC 的长.
5. 在墙上挂一个镜框,为了使镜框下沿与地面平行,可先拿两根等长的木棍紧靠壁放在地上,并让木棍与墙角线垂直,再把镜框下沿放到木棍上.试说明这一方法据的
数学原理是什么.
归纳总结
引导提问
回忆反思
培养学生总结学习过程能力
布置作业
书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；
查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;
拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
说明
记录
继续探究延伸
学习