中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）5.1.1 复数的概念优质教学设计及反思

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5.1 复数的概念和意义
选用教材
高等教育出版社《数学》
（拓展模块一上册）
授课
时长
3 课时
授课类型
新授课
教学提示
本课复数的概念是整个复数内容的基础，从解方程的需要出发，从实数系扩充到了复数系，介绍了复数的概念及其代数形式和几何表示，然后围绕复数的代数形式展开的复数的有关概念，虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的充要条件，以及虚数、纯虚数等概念的理解，再促进对复数实质的理解，即复数实际
上是一有序实数对．
教学目标
能结合求解方程 x2+1=0 的需要体会引入复数的必要性；能举例说明复数，复数的实部、虚部等概念，能区分复数、实数、虚数、纯虚数；知道复数相等的充要条件，能建立复数与有序实数对、平面内的点、以原点为起点的向量之间的一一对应关系，知道复平面内复数的几何意义；会求复数的模和复数的共轭复数；能用平面内的点或以原点为起点的向量表示复数，能在圆、不等式等关联情
境中解决相关的数学问题；培养和提升数学运算和逻辑推理等核心素养.
教学
重点
复数的概念及代数表示，复数相等的充要条件．
教学
难点
复数的概念及几何意义，虚数单位i的理解．
教学
环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
很久以前,人们认为一元二次方程 x²+1=0 是无解的.
但是,随着对数系的深人研究,人们逐渐意识到应该存在
提出
问题
思考
从解
方程
情境导入
一个数,它就是该方程的解.
5.1.1 复数的概念
依照引入负数,使方程 x+1=0 有解的方法,是否可以引入一个数使方程 x²+1=0 有解呢？
引发思考
分析回答
出发对数系进
行扩
充
新知探索
假设有一个数是方程 x²+1=0 的解,那么这个数的平方应该等于-1. 这个数不在实数集内. 为此,人们引人了一个新的数,记作 i，称为虚数单位.
既然 i 是一个数，那么它与实数就可以进行运算.实数
b 与 i 的乘积写成 bi，实数 a 与 bi 的和写成 a+bi.
把形如 a+bi (a、b∈R)的数称为复数，其中 a 称为复数的实部，b 称为复数的虚部.
当 b=0 时，复数 a+bi 就是实数;当 b≠0 时，复数 a+bi 称为虚数;
当 a=0 且 b≠0 时，复数称为纯虚数.
复数通常用小写英文字母 z、w……表示，如 z=a+bi.全体复数构成的集合称为复数集，用 C 表示，即 C={z|z= a+bi,a,b∈R}.
讲解
讲解说明
理解
思考领会
复数的代数形式展开复数的有关概念的学习
探究与发现
全体虚数构成的集合称为虚数集,全体纯虚数构成的
集合称为纯虚数集,它们与实数集、复数集之间具有怎样的关系？
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系可以用下图表示.
利用
图示
帮助
学生
理解
数集
之间
的关
系
典型例题
例1指出下列复数的实部和虚部,并判断这些复数是实数还是虚数.若是虚数,判断其是否为纯虚数.
(1)2；(2)3-i；(3)5i；
解 (1)复数 2 的实部是 2，虚部是 0，它是实数；
(2)复数 3-i 的实部是 3，虚部是-1，它是虚数，不是纯虚数；
讲解强调
指导学习
解决交流
主动求解
应用和巩固复数有
关概
(3)复数 5i 的实部是 0，虚部是 5，它是虚数，而且是纯虚数.
念
如果两个复数 a+bi 与 c+di 的实部与虚部分别相等，
讲解
新知探索
就称这两个复数相等，记作
a+bi=c+di.
即，如果 a、b、c、d 都是实数，那么
a+bi=c+di⇔ a=c 且 b=d.
特别地， a+bi=0 ⇔ a=0 且 b=0.
讲解说明
学习领会
重要概念说明特殊
情况
探究与发现
从两个复数相等的定义可知，复数 a+bi 与有序实数对
(a,b)之间是一一对应的.
例 2求满足下列条件的实数 a 和 b.
(1) (a+2b)-i=6a+(a-b)i；
(2) (a+b+1)+(a-b+2)i=0.
解 (1)根据复数相等的定义，可得方程组
a  2b  6a,
 1  a  b.

a  2 ,
3
解得5
b .
3
(2)根据复数相等的定义，可得方程组
 a  b+1  0,
a  b  2  0.

a3
  ,
解得2
 b  1 .
2
巩固
讲解
解决
复数
强调
交流
相等
的定
指导
主动
义
学习
求解
典型
例题
巩固练习
练习 5.1.1
写出下列复数的实部和虚部.
下列复数哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？
求满足下列条件的实数 x 和 y.
提问
巡视
指导
思考
动手求解
交流
及时掌握学生情况查漏补缺
情境导入
5.1.2 复数的几何意义
我们知道,任意一个实数都可以用数轴上的点来表示,那么复数可否用点来表示呢？
引发思考
分析回答
与实数类
比
探索新知
由复数相等的定义,复数 z=a+bi 与有序实数对(a,b)之间是一一对应的.而有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点也是 一一对应的．因此,复数集里的复数与平面直角坐标系中的点可以建立一一对应关系,即复数可以用平面直角坐标系中的点来表示.
如图所示,复数 z=a+bi 可以用平面直角坐标系中的点 Z(a,b)来表示.用来表示复数的平面称为复平面,直角坐标系中的 x 轴称为实轴,y 轴(除去原点)称为虚轴.显然,实轴上的点都表示实数;虚轴上的点都表示纯虚数.
例如，复平面内的原点 O(0,0)表示实数 O，点 A(1,0)表示实数点 B(0,-1)表示纯虚数-i，点 D(1,-1)表示复数 1-i.
由于复数 z=a+bi 与点 Z(a,b)是一一对应的,点 Z(a,b)与向量OZ 也是一一对应的,如图所示.因此,复数 z=a+bi 既
可以用点 Z(a,b)表示,也可以用向量OZ 表示,这就是复数的几何意义.
讲解
说明
展示图像引发思考
结合图像讲解要点
理解
领会
观察图像分析问题
观察图像学习领会
引导学生结合复数相等的定义认识到复数的实质是一有序实数 对，再运用学习代数、解析几何的经验，领会到 “复数的几何
一般地,向量OZ 的长度称为复数 z=a+bi 的模,记作
|z|或|a+bi|，即
显然,复数的模就是它在复平面中所对应的点到原点
的距离.如果 b=0,那么复数 z=a+bi 是一个实数,它的模等于实数 a 的绝对值|a|.
意义是平面上的 点”
典型例题
例 3在复平面内，画出表示复数 3-i、4、2i 的点和向量.解 如图所示表示复数 3-i 的点为 A(3,-1)，向量为OA ；
表示复数 4 的点为 B(4,0)，向量为OB ；表示复数 2i 的点为 C(0,2)，向量为OC .
例 4已知复数 z1=4+3i，z2=4-3i.
(1)在复平面内画出复数 z1、z2 对应的点和向量；
(2)求复数 z1、z2 的模，并比较模的大小.
解 (1)如图所示，复数 z1、z2 对应的点分别为 Z1、Z2，对应的向量分别为OZ1 和OZ2 ；
(2) |z1|=|4+3i|= 42 +32 =5 ,
|z2|=|4-3i|= 42 +(3)2 =5 .所以|z1|=|z2|.
一般地,如果两个复数的实部相等,虚部互为相反数,那么这两个复数互为共轭复数.
共轭复数用 z 表示，即如果 z=a+b，那么 z =a-bi.
例 4 可知,两个共轮复数 z 和 z 的模相等,表示两个共
轭复数 z 和 z 的点关于实轴对称.特别地,实数 a 的共轭复数仍是 a 本身.
例 5 设复数 z 在复平面内对应的点为 Z，问满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形？
(1) |z|=3；
(2) 2≤|z|≤3.
解 (1)由|z|=3 知，向量OZ 的模等于 3，所以满足条件
|z|=3 的点 Z 的集合是以原点为圆心、以 3 为半径的圆.
提问引导
讲解强调
指导示范
提问引导
讲解强调
指导示范
思考分析
解决交流
主动求解
思考分析
解决交流
主动求解
例 3
例 4是在理解复平面概念的基础上，训练如何用复平面内的点表示复数，如何在复平面内表示向量，体会复 数、点、向量间的一一对应关系
例 5巩固复数几何意
 z ≥ 2
(2)不等式 2≤|z|≤3 可化为 z ≤3.

满足条件|z|≥2 的点 Z 在以原点 O 为圆心、以 2 为半径的圆上或其外部，满足条件|z|≤3 的点 Z 在以原点 O 为圆心、以 3 为半径的圆上或其内部.因此，满足条件 2≤|z|≤3 的点的集合是以原点 O 为圆心、分别以 2 和 3为半径的两个圆所围成的圆环.
探究与发现
两个实数可以比较大小,试问两个复数可以比较大小吗？
提问引导
讲解强调
指导示范
思考分析
解决交流
主动求解
义，提升学生直观想象核心素养
巩固练习
练习 5.1.2
1.在复平面内画出表示下列复数的点和向量.
(1) 3+2i；(2) -3+i；
(3) -3i；(4) 3.
2.求下列复数的模.
(1) 4-3i；(2) 2；
(3) -2i；(4) -5+5i.
写出下列复数的共轭复数，并求它们的模.
(1) 5+12i；(2) -1+ 2 i.
指出满足下列条件的复数 z 所对应的点 Z 的集合是什么图形.
(1) |z|=1；(2) 2≤|z|