导数(切线放缩)讲义--2025届高三数学一轮复习

这是一份导数(切线放缩)讲义--2025届高三数学一轮复习，共10页。

高三数学专题篇：导数6
切线放缩1
(2024年11月份第四周)
题目：
已知fx=ex−xex，设fx1=fx2=t，x1≠x2，证明：x1+x2＜2t−te−1.
这次我们来学习切线放缩
何为切线放缩呢？是利用函数的凹凸性得出的恒成立不等式
我们用常用的ex与lnx来举例

y=ex
y=lnx
如图：像y=ex这类下凹的函数，我们任意作一条切线，该切线都会在该函数下方；
像y=lnx这类上凸的函数，我们任意作一条切线，该切线都会在该函数上方.
函数y=ex过(0,1)的切线可算得y=x+1，因此可得：ex≥x+1（当x=0时取等）
函数y=lnx过(1,0)的切线可算得y=x-1，因此可得：lnx≤x−1（当x=1时取等）
函数y=ex过原点的切线可算得y=ex，因此可得：ex≥ex（当x=1时取等）
函数y=lnx过原点的切线可算得y=1ex，因此可得：lnx≤xe（当x=e时取等）
函数的切线有无数条，因此产生的恒成立的不等式也有无数个，至于用哪一个取决于题目的需求了。但并不是所有的问题都可以用切线放缩解决，因为并不是所有的切线我们都能解得出来。
凹凸性在答题过程中是不能写的，我们还是要将需要用到的不等式进行证明
例题一：(1)证明：ex≥x+1恒成立
证明：设fx=ex−x−1
∴f’x=ex−1 单调递增
当x=0时f’x=0
∴fxmin=f0=1−0−1=0
∴fx≥0
∴ex≥x+1
(2)证明：lnx≤x−1恒成立
证明：由(1)得：ex≥x+1
∴ex−1≥x
∴x−1≥lnx

(3)证明：ex≥ex恒成立
证明：由(2)得：ex−1≥x
∴e·ex−1≥ex
∴ex≥ex
(4)证明：lnx≤xe恒成立
证明：设fx=xe−lnx
∴f’x=1e−1x 单调递增
当x=e时f’x=0
∴fxmin=fe=1−1=0
∴fx≥0
∴lnx≤xe
(该不等式继续可证：ex≥xe，因此可作比大小题：eπ≥πe)
例题二：ex≥x+a恒成立，求a的取值范围.
解析：该题是比较简单的，分参求极值点就能做，我们用这简单的题来理解切线放缩的几何含义及其用法：
我们将不等式两侧分别看成两个函数：
y=ex
y=x+1
y=x+a
要使ex≥x+a恒成立，就是y=ex恒在y=x+a上方。
临界状态为y=x+a与y=ex相切时，因此我们可在曲线上找到与该直线斜率相同时的切线，只要满足该切线在该直线上方或重合即可。
y=ex斜率为1时的切线为y=x+1
∴x+1≥x+a即可
∴a≤1
大题还是用原来方法写过程
例题三：ex≥2x+a恒成立，求a的取值范围.
y=ex
y=2x+a
解析：此时直线变成了y=2x+a
方法一：在曲线上找到斜率为2的切线
设fx=ex，f’x=ex
当f’x=2时，x=ln2
切点为(ln2,2)，所以该切线为：y=2(x-ln2)+2
∴2(x-ln2)+2≥2x+a
∴2x-2ln2+2≥2x+a
∴a≤2-2ln2
方法二：令斜率相同
∵ex≥2x+a
∴ex2≥x+a2
∴ex−ln2≥x+a2
∵ex−ln2≥x−ln2+1（当x=ln2时取等）
∴x−ln2+1≥x+a2
∴−ln2+1≥a2
∴a≤2-2ln2
例题四：ex≥ax恒成立，求a的取值范围.
方法一：
当a＜0时，y=ex与y=ax有交点，不成立，舍去
当a=0时，不等式恒成立
当a＞0时，我们要在曲线上找到斜率为a的切线
设fx=ex，f’x=ex
当f’x=a时，x=lna
切点为(lna,a)，所以该切线为：y=a(x-lna)+a
∴a(x-lna)+a≥ax
∴ax-alna+a≥ax
∴a≥alna
∴1≥lna
∴a≤e
∴a的取值范围为[0,e]

方法二：
∵ex≥ax （a≥0）
∴exa≥x （a＞0时）
∴ex−lna≥x
∵ex−lna≥x−lna+1
∴x−lna+1≥x
∴lna≤1
∴a≤e
∴0≤a≤e
例题五：ex+a≥x−a恒成立，求a的取值范围.
解析：根据ex≥x+1，我们可以很快得到ex+a斜率为1时的切线：y=x+a+1
即ex+a≥x+a+1
∴x+a+1≥x-a
∴a≥−12
对该不等式继续推广：ekx+a≥kx+a+1
ekx+lnx≥kx+lnx+1
xekx≥kx+lnx+1 我们上次讲到的朗博同构
总结：
这些东西也不用硬记，最原始的两个切线放缩记住就可以，后续按照需要的斜率求切线或者进行同构即可。
一定要观察，指数部分，整式部分，对数部分，x前面的系数相不相同，相同是可以直接用切线放缩的，若不相同需要找到斜率相同的切线或要通过同构将其化成斜率相同的形式。
但并不是所有切线都能求出来(斜率为参数且该参数满足的方程为超越方程)，求不出来的时候还是回到最原始的方法做。
切线放缩的注意事项跟基本不等式的一样：
对一个不等式最好只用一次基本不等式得出定值，若用两次基本不等式，我们要注意取等条件是否一致。
所以对一个不等式我们也最好只用一次切线放缩得出定值，若用两次切线放缩，我们要注意两次的取等条件可否一致。

举个例子：
例题六：
(1) ex+1≥ln(x+a)+1，求a的取值范围。
ex+1≥x+1+1 （当x+1=0时取等）
ln(x+a)+1≤x+a−1+1 （当x+a=1时取等）
∴x+2≥x+a
∴a≤2 （当a取等时与x取等条件一致）
(2) ex+1≥ln(x+a)，求a的取值范围。
ex+1≥x+1+1 （当x+1=0时取等）
ln(x+a)≤x+a−1 （当x+a=1时取等）
∴x+2≥x+a−1
∴a≤3 （当a取等时与x取等条件不一致）
①
②
③
④
对比我们发现（1）是可以的，（2）是不行的，所以不能盲目使用。如果对（2）只用一次切线放缩，就变成x+2≥ln(x+a)并不能直接解出a，取等情况变得更复杂，当然此题也是解不出精确值的。
如上图，①≥切线②，④≤切线②，所以①＞④（无取等情况）
所以指数≥对数情况应是①③的相切状态。第（1）题中，两曲线与切线切点刚好重合。因此当指对同时出现时一定要检查。
例题七：已知不等式ex−1a+1−2ax≥b对任意的实数x恒成立，则ba的最大值为 .
解析：∵ex−1a+1−2ax≥b
∴ex−1a+1≥2ax+b （a＜0不成立，∴a＞0）
除以2a：
ex−1a+12a≥x+b2a
∴ex−1a+1−ln2a≥x+b2a
∵ex−1a+1−ln2a≥x−1a+1−ln2a+1 （当x=ln2a+1a−1时取等）
∴x−ln2a−1a+2≥x+b2a
∴−ln2a−1a+2≥b2a
∴ba≤−2ln2a−2a+4
bamax=−2ln2a−2a+4
设fa=−2ln2a−2a+4
f’a=−2a+2a2=2−2aa2
当0＜a＜1时，f’a＞0；当a＞1时，f’a＜0
∴famax=f1=2−2ln2
∴ba≤−2ln2a−2a+4≤2−2ln2 （当a=1，x=ln2，b=2-2ln2时取等）
备注：此题a，b作为双变量，取等条件比较宽泛，ba能取到的最大值即是−2ln2a−2a+4能取到的最大值。