数学拓展模块一（下册）7.1 数列的概念优秀教学设计

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7.1 数列的概念
选用教材
高等教育出版社《数学》
（拓展模块一下册）
授课
时长
2 课时
授课类型
新授课
教学提示
本课通过国内生产总值及其增长速度统计分析图引入数列和数列的项的概念，引导学生感受数列是刻画自然规律的数学模型．紧接着围绕统计分析图中的数据引出 3 个数列，分析归纳出数列的定义并根据具体数列讲解数列的分类、通
项公式等相关概念.
教学目标
了解数列及有关概念，理解数列的通项公式；了解数列的通项公式的含义，能够根据通项公式写出数列的任意一项，对于有通项公式的数列，会根据该数列的前几项写出它的一个通项公式；结合《易经》、《庄子》等历史文化，创设改革开放史等思政情境，体验中国速度，增强家国情怀；通过学习，逐步提升数学运
算、逻辑推理、数学抽象和数学建模等核心素养.
教学
重点
数列的通项公式及其应用．
教学
难点
根据数列的前几项写出该数列的一个通项公式.
教学
环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
引入
数列是刻画客观事物规律性的一种数学模型，在生产实践和科学研究中有着广泛的应用.
引发思考
感受体验
引出课题
情境导入
7.1 数列的概念角和与差的余弦公式
1978 年底，中国共产党召开了具有转折意义的十一届三中全会，吹响了改革开放的号角. 至今，改革开放 40 多年，中国成功走完了西方发达国家几百年才完成的工业化道路，经济持续 快速增长，综合国力位于世界前列，人民生活水平不断提高. 2020 年 2 月，国家统计局在其官网给
出了 2015—2019 年国内生产总值及其增长速度统计图.从这张统计图中你能获得哪些数据信息？
提出问题
引发思考
观察思考
讨论交流
结合实例落实课程思 政，提升学生社会责任感
根据图中的数据，把这五年的国内生产总值依次排成一列
688858，746395，832036，919281，990865；(1)
相应的年份可以排成一列
2015，2016，2017，2018，2019；(2)
讲解
展示图形
理解
观察特征
围绕统计分析图中
的数
新知探索
每一年的增长率也可以排成一列
7.0%，6.8%，6.9 % ，6.7 % ，6.1 % ；(3)
像(1)(2)(3)这样按照一定次序排成的一列数称为数列.数列中的每一个数为这个数列的项.
数列的一般形式为 a1,a2,a3,…,an,…,简记作an ．其中,a1 称为数列的首项,an 称为数列的第 n 项,n 称
为项数.
例如，某种细菌每经过时间 t 分裂一次，每次分裂都是 1 个细菌分裂成 2 个 . 这样，每次分裂之后的细菌总数可以构成一个数列
2，4，8，16，32，…，(4)
其中 a1=2，a2=4，a3=8，….
无穷多个 3 排成的数列
3，3，3，3，3，…(5)
其中 a1=3，a2=3，a3=3，….
项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列．例如，数列(1)、(2)、(3)是有穷数列，数列(4)、 (5)是无穷数列．像数列(5)这样所有项均为同一个数的数列
叫做常数列．
提示说明
说明强调
分析讲解
交流讨论
领会要点
理解体会
据引出 3个数列以及数列的有关概念
情境
导入
数列(5)的第 n 项可以表示为；数列(4)和数列(2)的第 n
项如何表示呢？
引发
思考
思考
问题
逐层
深入
新知探索
分析发现，数列(4)的每一项都可以写成以 2 为底的指数幂，其第 1 项 a1 = 21，第 2 项 a2 = 22 ， …，第 n 项为 an
= 2n.
同样，数列(2)也有一定的规律，其第 1 项为 a1 = 2014+1,第 2 项 a2 = 2014+2 ，… ，第 n 项.
一般地，当一个数列的第 n 项 an 与项数 n 之间的关系可以用一个式子来表示时，这个式子就称为这个数列的通项公式.
例如，数列(2)的通项公式是 an = 2014+n；数列(4)的通项公式是 an = 2n.
温馨提示
不是所有的数列都有通项公式.如数列(1)、(2)、(3)就没有通项公式.
讲解说明
思考领会
应使学生注意并不是所有的数列都能写出它的通项公式
典型例题
例 1 根据通项公式，写出下列数列an 的前 5 项.
(1) an = 1 ;(2) an = (－1) n +1．
n＋1
解 (1) 在通项公式中依次取 n＝1，2，3，4，5，得到数列的前 5 项，分别为
提问引导
思考分析
例 1是用通项公式求数列的任意
一项
(2)在通项公式中依次取 n＝1，2，3，4，5，得到数列的前 5 项，分别为
例 2 写出数列{an}的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数.
(1) 2，4，6，8；
(2) 1111
3，5，7，9；
1 1 1 (3)- 1 ，，-，.
1×22×33×44×5
解 (1)因为数列的前 4 项 2，4，6，8 都等于相应项数的
2 倍，所以它的一个通项公式是
an＝2n；
因为数列前 4 项的分母都等于相应的项数的 2 倍加
1，所以它的一个通项公式是
1
an=2n+1 ；
因为数列前 4 项的绝对值的分母都等于相应的项数乘以该项数加 1，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是
an＝(-1)n 1 ．
n (n＋1)
例 3 设数列an 的通项公式是 an=3n+1，问 13 是否为该数列的项？若是，它数列的是第几项？
解 设 13 是数列{an}的第 n 项，将 13 代入数列的通项公式 an=3n+1 中，得 13=3n+1，解得 n=4.因此，13 是数列{an}中的项，并且它是数列的第 4 项．
例 4 已知数列an的首项 a1=3，n≥2 时，an＝an-1+2 ，试写出这个数列的前 5 项．
解 由题意可知，a1=3，an=an-1+2(n≥2，n*)。当 n=2 时，a2= a1+2=3+2=5；
当 n=3 时，a3=a2+2=5+2=7；当 n=4 时，a4=a3+2=7+2=9；当 n=5 时，a5=a4+2=9+2=11．
温馨提示
若数列有通项公式，则可以利用这个通项公式求出数
列的各项．对于有些没有通项公式的数列，有时可以借助数列中相邻项的关系来确定数列的各项．
讲解强调
指导学习
提问引导
讲解强调
提问引导
讲解强调
解决交流
主动求解
思考分析
解决交流
思考分析
解决交流
例 2是对本节难点内容的练习，要求对比较简单的数 列，会根据前几项的特征写出它的一个通项公式 例 3是借助通项公式判断某数是否是数列中的项 例 4让学生了解数列的递推公式
巩固练习
练习 7.1
1．判断下列命题是否正确(正确的打“√”错误的打 “×”).
数列 3，2，1 与数列 1，2，3 是相同的数列；（ ）
数列 1，3，5 与数列 1，3，5，…是相同的数列．（ ）
2.填空题.
数列 101，102，103，， 105，… 的一个通项公式为 an＝.
数列 1，4，9，，25，36，… 的一个通项公式为 an＝．
根据下列通项公式，写出数列的前 5 项.
(1)an=n2；(2)an=n (n+1) ．
设数列的一个通项公式是 an=2n-3，试写出这个数列的前 5 项，并求出其相邻两项中后一项与前一项的
差．
提问
巡视
指导
思考
动手求解
交流
及时掌握学生情况查漏补缺
归纳总结
引导提问
回忆反思
培养学生总结学习过程
能力
布置作业
书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；
查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;
拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
说明
记录
继续探究延伸
学习