中考数学专题训练：猜想与证明（含简单答案）

这是一份中考数学专题训练：猜想与证明（含简单答案），共16页。试卷主要包含了在中，，平分，为上一点，通过以前的学习，我们知道，已知等内容，欢迎下载使用。

(1)求证：；
(2)连接并延长交直线于点．若，
①试猜想和的数量关系，并证明；
②若，求的长.
2．如图1，已知和均为等腰直角三角形，点D、E分别在线段上，．
(1)观察猜想：如图2，将绕点A逆时针旋转，连接，的延长线交于点F．当的延长线恰好经过点E时，点E与点F重合，此时，
①的值为 ；
②的度数为 度；
(2)类比探究：如图3，继续旋转，点F与点E不重合时，上述结论是否仍然成立，请说明理由．
(3)拓展延伸：若，，当所在的直线垂直于时，请直接写出线段的长．
3．在中，，平分，为上一点．
(1)如图1，过D作交于点，若，，求的长；
(2)如图2，若，过作交的延长线于点，为延长线上一点，连接，过作交于点，交于点，且，猜想线段与之间的数量关系并证明你的猜想；
(3)如图3，将（2）中沿翻折得到，为上一点，连接，过作交于点，，，再将沿翻折得到，交、分别于点S、R，请直接写出的值．
4．如图1，在中，把绕点顺时针旋转（）得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”．

(1)在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．
①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为______；
②如图3，当，时，则长为_______．
(2)在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．
(3)如图4，在四边形，，，，，，在四边形内部是否存在点，使是的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．
5．通过以前的学习，我们知道：“如图1，在正方形中，，则”． 某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：
(1)【问题探究】如图2，在正方形中，点，，，分别在线段，，，上，且，试猜想______；
(2)【知识迁移】如图3，在矩形中，，，点，，，分别在线段，，，上，且，试猜想的值，并证明你的猜想；
(3)【拓展应用】如图4，在四边形中，，，，点，分别在线段，上，且，求的值．
6．（1）如图①，在正方形中，点E、F分别为，边上的点，且满足，连接．将绕点A顺时针旋转得到，易证，从而得到结论：，根据这个结论，若正方形的边长为2，则的周长为______．
（2）如图②，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，试猜想，，之间有何数量关系，证明你的结论．
（3）如图③，四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，且，试探究线段，，之间的数量关系，请直接写出你的猜想（不必说明提由）．
7．在和中，，，，用这两个直角三角形研究图形的变换．
【翻折】
(1)如图1，将沿线段翻折，连接，下列对所得四边形的说法正确的是______．
①平分、，②、互相平分，③，④、、、四点共圆．
【平移】
(2)如图2，将沿线段向右平移，使点移到的中点，连接、、，请猜想四边形的形状，并说明理由．
【旋转】
(3)如图3，将绕点逆时针方向旋转，使，连接、，则旋转角为______°，______cm．
8．在中，，在中，，，连接，，垂足为N，，垂足为M．
(1)观察猜想
图①中，点D，E分别在，上时，的值为___________；的值为___________．
(2)探究证明
如图②，将绕点A顺时针旋转，旋转角为，连接，，判断问题（1）中的数量关系是否仍然存在，并证明；
(3)拓展延伸
在旋转的过程中，设直线与相交于点F，若，，请直接写出线段的长．
9．已知：在中，，，，交线段于点E．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)当时，
①如图2，猜想线段、之间的数量关系并证明你的猜想；
②如图3，点F是边的中点，连接，与交于G，求的值．
10．【问题背景】如图1，在中，，点E在上，，．四边形是正方形，求图中阴影部分的面积．
(1)【问题发现】如图2，小芳发现，只要将绕点E逆时针旋转一定的角度到达，就能将阴影部分转化到一个三角形里，从而轻松解答．根据小芳的发现，可求出图1中阴影部分的面积为 ；（直接写出答案）
(2)【类比探究】如图3，在四边形中，于点E，若的长为6，试求出四边形的面积．
(3)如图4，在正方形中，点E，F分别在正方形的边上，，连接，猜想之间满足的数量关系，并说明理由．
(4)【拓展应用】如图5，在矩形中，，点E、F分别在边上，，连接，则的长为 （直接写出答案）．
11．已知点O是线段的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．
(1)[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”和的数量关系是_________．
(2)[探究证明]如图2，当点P是线段上的任意一点时，“足中距”和的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由．
(3)[拓展延伸]如图3，
①当点P是线段延长线上的任意一点时，“足中距”和的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由；
②若，求证：．
12．综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为E，F为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明．
(1)独立思考：请解答老师提出的问题；
(2)实践探究：希望小组受此问题的启发，将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为，连接并延长交于点G，请判断与的数量关系，并加以证明．
(3)问题解决：智慧小组突发奇想，将沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为，使于点H，折痕交于点M，连接，交于点N．该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．
13．如图，在矩形中，．将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形，交于点H，连接交于点O，连接．
(1)与之间的位置关系为__________．
(2)猜想与之间的数量关系，并说明理由．
(3)若，，求的长．
14．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题．
(1) ； ； ．
(2)观察上述等式，猜想：在中，，都有 ；
(3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；
(4)若，且，求的值．
15．问题情景：已知在中，，，过点作于点，点为直线上一点不与点、重合，过点作于点，于点．
(1)观察猜想
如图1，若，在线段上时，线段、、的数量关系是 ．
(2)类比探究
如图2，若，在线段上时，判断线段、、数量关系，并说明理由．
(3)问题解决
若，点在线段两端点的外端，且，请直接写出的值．
16．在等腰直角中，，，外有一点D满足，与相交于点E，连接．
(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，点F为上一点，连接，点G为的中点，连接，若，猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，在（2）问条件下，当F为的中点时，将沿直线翻折至所在平面内，得，连接、，，请直接写出的比值．
17．（1）如图①，在正方形中，E，F分别是，边上的动点，且，将绕点D逆时针旋转90°，得到，可以证明，进一步推出，，之间的数量关系为______________；
（2）在图①中，连接分别交和于P，Q两点， 求证：；
（3）如图②，在菱形中，，点E，F分别是边，上的动点（不与端点重合），且，连接分别与边，交于M，N．当时，猜想，，之间存在什么样的数量关系，并证明你的结论．
18．如图，在等腰中，，，点D在点C的右侧，点A、E关于直线对称．交于点F，交的延长线于点G．
(1)【猜想】若，如图①，则______度；
(2)【探究】在【猜想】的条件下，若，，求的长；
(3)【应用】当时，如图②，若，，请直接写出的长．
参考答案：
1．(2)①，②
2．(1)，45
(2)成立，
(3)的长为或．
3．(1)
(2)，
(3)
4．(1)①；②4
(2)，
(3)存在，
5．(1)
(2)，
(3)
6．（1）4；（2），（3）．
7．(1)①③④
(2)四边形是菱形，
(3)，
8．(1)1，
(2)仍然存在；
(3)或
9．(2)①②6
10．(1)30
(2)36
(3)，
(4)
11．(1)
(2)成立，
(3)①成立，
12．(1)，
(2)，
(3)
13．(1)，
(2)，
(3)6
14．(1)1，1，1
(2)1
(4)
15．(1)
(2)，
(3)的值为
16．(1)；
(2)，
(3)．
17．（1）（2）见解析；（3），
18．(1)45
(2)
(3)