中考数学专题训练：二次函数综合压轴题（相似三角形问题）（含简单答案）

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(1)求抛物线的解析式．
(2)P为抛物线上位于点A，C之间的一点，连接，若恰好平分的面积，求点P的坐标．
(3)Q为抛物线上位于点A，C之间的一点，连接OQ，作轴于点E，是否存在点Q使得与相似．若存在，请直接写出点Q的横坐标的值；若不存在，请说明理由．
2．如图，在直角坐标平面中，对称轴为直线的抛物线经过点、点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线顶点的坐标；
(2)联结，求；
(3)过作轴的垂线与交于点是直线上一点，当与相似时，求点的坐标．
3．如图，抛物线经过点，点，D为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点Q，使，求点Q的坐标；
(3)在坐标平面内找一点P，使与相似，且，求出所有点P的坐标．
4．如图，抛物线与x轴交于点、B两点，顶点，过点A的直线与抛物线相交于点C，与抛物线对称轴DF交于点E，．
(1)求该抛物线解析式；
(2)在对称轴上是否存在一点M，使以点A、E、M为顶点的三角形与相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P是线段上一动点，过点P作直线轴交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求P点坐标与的最大值．
5．如图，二次函数与轴交于，两点，顶点为，连接、，若点是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，且点与、点不重合．
(1)求二次函数的表达式；
(2)①求证：；
②求的最小值；
6．已知抛物线与轴交于，两点，（在的左侧），与轴交于，若，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；
(3)在抛物线上是否存在一点，过作轴于，以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出所有符合条件的点坐标，若不存在，请说明理由．
7．如图，已知过坐标原点的抛物线经过，，，两点，且、是方程两根，抛物线顶点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标；
(3)是抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，是否存在点使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，B两点坐标分别是，，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将沿所在直线折叠，得到，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；
(3)若点P是抛物线位于第二象限图象上的一动点，连接交于点Q，连接BP，的面积记为，的面积记为，求的值最大时点P的坐标．
9．已知抛物线经过点，，与x轴交于另一点C，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，P是第一象限内抛物线上一点，且，求直线的表达式；
(3)在抛物线上是否存在点D，直线交x轴于点E，使与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
(1)求的面积；
(2)如图2，点是抛物线上第一象限的一点，且，求点的坐标；
(3)若点是直线上一点，请在图3中探究：抛物线在轴上方的部分上是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．已知抛物线．
(1)如图1，抛物线与直线交于A、B两点（点A在点B左侧）．
①求A、B的坐标；
②点E在直线上，且在第四象限，过E点作ED⊥x轴交抛物线于D点，交AB于C点，连接BD，过E点作交AB于F，求CF的长．
(2)如图2，直线交抛物线于P、F两点，轴，连接PE，求证：直线PE过定点．
12．如图，抛物线的图像过点A(3，0)，对称轴为直线，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为B． 若点P(0，m)，在轴正半轴上运动，点Q为抛物线一动点，且在第四象限，连接PQ交x轴于点E，连接BE．
(1)求抛物线的解析式
(2)当m=1.5时，且满足以P、O、E三点构成三角形与BCP相似，求PBE的面积．
(3)当以点B、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形时，写出点P的坐标 ，点Q坐标 ．
13．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
14．如图1，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于A(−3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接AD、CD、AC、BC．
(1)请直接写出抛物线的表达式及顶点D的坐标；
(2)求证：△ACD是直角三角形；
(3)判断∠ACB和∠OAD的数量关系，并说明理由；
(4)如图2，点F是线段AD上一个动点，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，请直接写出点F的坐标；若不相似，请说明理由．
15．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)连接，在该二次函数图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
(3)如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线，分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
16．如图1，抛物线与轴交于，（点在点左侧），与轴负半轴交于，且满足．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，为轴负半轴上一点，过作直线垂直于直线，直线交抛物线于，两点（点在点右侧），若，求点坐标；
(3)如图3，点为抛物线第二象限部分上一点，点，关于轴对称，连接，为线段上一点（不与、重合），过点作直线（为常数）交轴于，交直线于，求的值（用含的代数式表示）．
17．综合与探究
如图，抛物线y=−x2+x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．
(1)求A，B，C三点及抛物线顶点的坐标；
(2)点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标为m(0