中考数学专题训练：开放探究压轴题（含简单答案）

这是一份中考数学专题训练：开放探究压轴题（含简单答案），共11页。试卷主要包含了问题发现，问题背景，阅读理解，探索并解决问题，【教材呈现】，【问题情境】，在中，等内容，欢迎下载使用。
①的度数为______；
②线段之间的数量关系为______；
（2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数．
2．问题背景：
（1）如图1：在四边形中，，，．E，F分别是上的点．且．探究图中线段之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点G．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ．
探索延伸：
（2）如图2，若在四边形中，，．E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
3．（1）阅读理解：
如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______；
（2）问题解决：
如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由．
4．某校数学活动小组探究了如下数学问题：
(1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰，且，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______；
(2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为，，求正方形ABCD的边长．
5．探索并解决问题
(1)【证明体验】如图1，AD为△ABC的角平分线，∠ADC＝60°，点E在线段AB上，AE＝AC，求证：DE平分∠ADB；
(2)【思考探究】如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连接FC交AD于点G．若FB＝FC，求证：DE2＝BD·DG；
(3)【拓展延伸】如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC上，∠EDC＝∠ABC，若BC＝5，，AD＝2AE，求AC的长．
6．点E是矩形ABCD边AB延长线上一动点（不与点B重合），在矩形ABCD外作Rt△ECF其中∠ECF＝90°，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G，连接 DF交CG于点H．
(1)发现
如图1，若AB＝AD，CE＝CF，猜想线段DH与HF的数量关系是______
(2)探究
如图2，若AB＝nAD，CF＝nCE，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
(3)拓展
在（2）的基础上，若FC的延长线经过AD的三等分点，且AD＝3，AB＝4，请直接写出线段EF的值
7．【教材呈现】
（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠G＝90°，BC＝6，若△ABC固定不动，将△AFG绕点A旋转，边AF、AG与边BC分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）
①求证：AE2＝DE•BE；
②求BE•CD的值；
【拓展探究】
（2）如图2，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E在边BC上，∠B＝∠DAE＝30°，且，请直接写出的值．
8．【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
【探究展示】
（1）请你判断AM，AD，MC三条线段的数量关系，并说明理由；
（2）AM = DE + BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否仍然成立？请分别作出判断，不需要证明．
9．【背景】如图1，在△ABC中，AB＝AC，过点A的直线MN∥BC，点D是直线MN上的一动点，将射线DB绕着点D逆时针旋转，交线段AC于点P，使∠BDP＝∠BAC，试说明：DB＝DP．
小丽提出了自己的想法：如图2在线段AB上取一点F，使DA＝DF，通过证明△BDF≌△PDA可以解决问题．
【尝试】①请你帮助小丽完成说理过程．
②若AC＝6，BC＝4，AD＝3，求AP的长．
【拓展】如图3，过点A的直线MN∥BC， AB＝3 cm，AC＝4cm，点D是直线MN上一点，点P是线段AC上的一点，连接DP，使得∠BDP＝∠BAC，求的值．
10．在中，．
（1）如图1、求证：：
（2）如图2，D为AB上一点，连接CD，E为CD中点，过点E作于点E，连接，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点F作于点H，连接AF，若AF∥BC，FH=4，CH=20，BD=10，求的面积
11．如图1，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠EAF＝90°，连接BE、DF．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）如图2，延长DF交AB于点G，交BE于点H，连结AH．
①求∠EHA的度数；
②过点D作DM⊥HA交HA的延长线于点M，请你写出线段AM与BH之间的数量关系，并证明你的结论．
12．如图ABCD，点A，E，C不在同一条直线上．
（1）如图1，求证：∠E＋∠C﹣∠A＝180°；
（2）如图2，直线FA，CP交于点P，且∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCP．
①探究∠E与∠APC的数量关系；
②如图3，延长CE交直线PF于点Q，若AEPC，∠BAQ＝α（0°＜α＜45°），直接写出∠PQC的度数（用含α的式子表示）．
13．如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，连接DF，且点M是DF的中点，连接MC、MG．
（1）在图1中，MC与MG的位置关系是 ，数量关系是 ；
（2）如图2，将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD和矩形BEFG”，其他条件不变，求证：MC＝MG；
（3）如图3，若将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“菱形ABCD和菱形BEFG”，点A、B、E在同一直线上，连接DF，且点M是DF的中点，连接MC、MG，且∠ABC＝∠BEF＝60°求的值．
14．在梯形中，．过点D作交边于点E，过点A作交边于点F，交射线于点P．

（1）如图，当点F与点E重合时，求边的长；
（2）如图，当点P在梯形内部时，设，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）联结，当时，求边的长．
15．如图所示的是与菱形有关的三个图形．
（1）感知：如图1，是菱形的对角线，，、分别是边、上的中点，连接、、．若，则的长为__________．
（2）探究：如图2，在菱形中，．是边上的点，连接，作，边交边于点，连接．若，求的长．
（3）应用：在菱形中，．是边延长线上的点，连接，作，边交边的延长线于点，连接．当，时，在图3中，将图形补充完整并求的周长．
16．如图，在，，，过A作于D，点E为直线上的一动点，把线段绕点E顺时针旋转α，得到线段EF，连接，，直线与相交于点G，与交于点M．
（1）【发现】如图1，当时，填空：
①的值为__________；
②∠AGB的度数为__________；
（2）【探究】如图2，当时，请写出的值及的度数，并就图2的情形给出证明；
（3）【应用】如图3，当时，若﹐，请直接写出的面积．
17．如图，正方形和正方形有公共顶点．
（1）如图1，连接和，直接写出和的关系 ；
（2）如图2，连接为中点，连接，探究的关系，并说明理由；
（3）如图3，若，，连接，请直接写出的取值范围： ．
18．在与中，且，点D始终在线段AB上（不与A、B重合）．
（1）问题发现：如图1，若度，的度数______，______；
（2）类比探究：如图2，若度，试求的度数和的值；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，M为DE的中点，当时，BM的最小值为多少？直接写出答案．
参考答案：
1．（1）①；②相等；（2）；；（3）．
2．（1）；（2）结论仍然成立，
3．（1）；（3），
4．(1)
(2)
(3)3
5．(3)
6．(1)；
(2)仍然成立，
(3)或
7．②18；（2）
8．（1）AM=AD+MC；（2）成立；（3）结论AM=AD+MC仍然成立，结论AM=DE+BM不成立
9．尝试： ②4；拓展：
10．（3）30
11．（2）①∠EHA=45°；②BH= AM，
12．（2）①∠E＝180°﹣2∠APC；②∠PQC＝180°﹣3α．
13．（1）MC⊥MG且MC=MG；（3）
14．（1）；（2）y=-x（≤x＜）；（3）或
15．（1）3；（2）3；（3）
16．（1）①1；②60°；（2），，（3）或
17．（1）且；（2）且，（3）
18．（1）90度；1；（2）的度数为90度，的值为；（3）BM的最小值为1．