安徽省江南十校2024-2025学年高一上学期12月份分科诊断考试数学试卷（Word版附解析）

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数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知命题，则它的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可.
【详解】命题为特称量词命题，
其否定为：.
故选：D
2. 已知集合，若且，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合中的元素特征得出不等式组可解得结果.
【详解】由且，得
解得，
故选：A．
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用题设条件和不等式性质可判断各选项正误.
【详解】对于A，若取，满足但得不到，故A错误；
对于B，因，当时，，故B错误；
对于C，由，得，由可得，故C正确；
对于D，若取，满足，
而，显然不满足，故D错误.
故选：C.
4. 设函数，若，则实数的值等于（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，，可得，进而求解，判断选项.
【详解】根据题意，,
由，得，则，
从而，解得.
故选:B．
5. 已知幂函数（为常数）具有性质：（1）定义域为，（2）图象关于y轴对
称，则的可能取值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数的定义与性质逐个选项判断.
【详解】由幂函数的性质知其为偶函数且，
对于A，，为奇函数，故A错误；
对于B，，定义域为，
且，故为偶函数，故B正确；
对于C，，，，故C错误；
对于D，，，，故D错误.
故选：B．
6. 已知且，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据指数式对数式互化求出，再根据换底公式转化，再根据求解即可.
【详解】由，得，即，
所以，所以.
故选:C.
7. 定义在上的函数可表示为一个奇函数与偶函数的和，则不等式的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数的定义域关于原点对称求出，再利用函数的奇偶性求出，然后利用奇函数的性质和单调性解抽象函数不等式即可；
【详解】函数的定义域关于原点对称，可得，即，即定义域为．
又，从而有，即，
解得，是上的减函数．
又函数为奇函数，故，
因此解得，
故选：D．
8. 已知，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数解析式可得为偶函数且在上单调递增，由对数运算计算可得结果.
【详解】易知定义域为，
由可知为偶函数，
则，
当时，有，故在上单调递增，
而，
又，即，因此，
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图，U是全集，M，N是U的两个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）

A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由阴影部分所表示的元素特征，可得结论.
【详解】根据题意可知，阴影部分表示的元素不属于，也不属于，
可表示为；
也可指表示的元素属于，也属于,因此阴影部分可表示为.
故选：AC
10. 德国数学家狄利克雷（P．G．L．Dirichlet，1805-1859）在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，而不需管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示．例如，下列说法正确的是（ ）
A. B. 为偶函数
C. 的值域为D. 是函数的一条对称轴
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数解析式逐一判断即可.
【详解】对于A，因为，故选项A错误；
对于B，当时，，因此；当时，同理有，
因此对，均有，故为偶函数，因此选项B正确；
对于C，因为，所以，因此函数的值域为，选项C错误；
对于D，当时，；当时，，因此恒有，选项D正确．
故选：BD
11. 已知函数若函数有零点，记为，且，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 任意直线都与函数的图象有交点
C. 当时，的取值范围为
D. 当时，的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】画出图像可得A正确；过点作直线可得B错误；由指对函数的互化和对数的运算再结合对勾函数的单调性可得C正确；由图像结合对勾函数的单调性可得D正确；
【详解】
对于A，如图所示，在同一坐标系内作出函数和的图象，由图象知，故A正确；
对于B，过点作直线，与函数没有交点，故B不正确；
对于C，当时，，
由，则，
由可得，从而，
所以，故C正确；
对于D，，则，故D正确；
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 化简：_______．
【答案】18
【解析】
【分析】将根式化为分数指数幂进行计算可得结果.
【详解】易知．
故答案为：18
13. 函数的单调递减区间是_______．
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的定义域，利用与二次函数、幂函数有关的复合函数的单调性求解即可.
【详解】设，记函数，
由可得，或，
∵
∴二次函数在单调递减，在单调递增，
又在上为增函数，
∴函数的单调递减区间是．
故答案为：.
14. 记中最大者为，则的最小值为_______．
【答案】3
【解析】
【分析】将三个函数的图象画在同一坐标系中，据此可得答案.
【详解】作出3个函数图象如图1所示，则如图2所示，可知的最小值为与交点的纵坐标，可求得，
故．
故答案为：3
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数的定义域为A，集合．
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由对数函数定义域可得集合A，然后由交集定义可得答案；
（2）由题可得，讨论a的取值，可得相应集合A，即可得答案.
【小问1详解】
由可得．
当时，，故；
【小问2详解】
因为“”是“”的必要不充分条件，所以．
当时，，此时，
则满足题意；
当时，，
要使得，则，解得；
当时，，
要使得，则，解得．
综上：.
16. 已知函数．
（1）若函数具有奇偶性，试求实数的值；
（2）若函数为奇函数，判断函数的单调性，并证明．
【答案】（1）
（2）是上的增函数，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据奇偶函数定义，列式求解；
（2）根据函数单调性定义判断证明.
【小问1详解】
若函数为偶函数，则，即，
即恒成立，则；
若函数为奇函数，则，即，
即恒成立，则．
综上知，函数具有奇偶性时，．
小问2详解】
函数为奇函数时，是R上的增函数，证明如下：
由（1）知函数奇函数时，，此时．
设，
则，
，则，
故，即，
故是上的增函数．
17. 某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益（单位：万元）
与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，项目乙研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，，且．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）已知科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，使得投资期望收益最大？并求出最大期望利润．
【答案】（1）
（2）项目甲投入3万元，项目乙投资24万元时，科研部门获得最大利润30万元
【解析】
【分析】（1）由结合解析式可得答案；
（2）设项目甲研发投入资金为万元，则项目乙投入万元，投资收益为，由题可得
表达式，后由对数运算结合基本不等式可得答案.
【小问1详解】
由，
可得，解得
故；
小问2详解】
设项目甲研发投入资金为万元，则项目乙投入万元，投资收益为，
则
，其中.
则
.
由基本不等式可得，
当且仅当时等号成立.
所以，
所以，
当且仅当时等号成立.
所以项目甲投入3万元，项目乙投资24万元时，科研部门获得最大利润30万元．
18. 已知二次函数图象经过，且不等式的解集为，
（1）求函数的表达式；
（2）若对任意的恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据不等式的解集为，可设，再由二次函数图象经过，求出的值,得到的解析式;
（2）由解析式，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，求出的值域，再由，求出参数的范围.
【小问1详解】
由题知不等式的解集为，
可设，，
即．
又，解得．
故．
【小问2详解】
由（1）知，
则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故，，
因此函数的值域为．
不等式可化，
而，
故恒成立恒成立．
令，
则，
函数在区间上单调递增，而，所以，
故实数的取值范围为．
19. 如果函数的每一个函数值y都有唯一的自变量x和它对应，则函数有反函数，记为．定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“a和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“a积性质”．
温馨提示：如何求函数的反函数，可参考函数的反函数求解过程．令，则，解得，即．又函数的值域为R，故其反函数为．
（1）求函数的反函数；
（2）判断函数是否满足“积性质”，并说明理由；
（3）求所有满足“2025和性质”的一次函数．
【答案】（1）反函数为
（2）函数满足“积性质”，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意中反函数的求解方法可得；
（2）先求的反函数，再验证“积性质”即可；
（3）设函数满足“2025和性质”，先求其反函数，再利用“和性质”定义求出即可；
【小问1详解】
令，可知函数在区间上单调递增，故，
又，则，即．
故函数的反函数为
【小问2详解】
由，得，则函数的反函数为，
因此．
再令，可得，
因此函数的反函数为，与是同一函数，
故函数满足“积性质”．
【小问3详解】
设函数满足“2025和性质”．
由，得，则，
而，得反函数，
由“和性质”定义可知对恒成立．
，即所求一次函数．