2025年八省适应性考试（八省联考）高三数学同源试卷及参考答案

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数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．对于集合，若，则称为对偶互存集，则下列不是对偶互存集的是
A．B．
C．D．
2．函数的图象的一个对称中心可以是
A．B．C．D．
3．已知复数，则的虚部为
A．B．C．D．3
4．若非零向量满足，则向量在上的投影向量为
A．B．C．D．
5．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于，则
A．B．6C．D．3
6．若一个三棱锥中，有一条棱长为，其余棱长均为1，则其体积取得最大值时的值为
A．3B．C．D．1
7．点是所在平面内的点，且有，直线分别交于点，记的面积分别为，则
A． B．C．D．
8．当实数变化时，函数最大值的最小值为
A．2B．4C．6D．8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知为抛物线的焦点，为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是
A．焦点
B．准线方程
C．点或
D．以为直径的圆与抛物线的准线相切
10．在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，它是工程数学中重要的函数，也是一类很重要的初等函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．已知双曲正弦函数的解析式为，双曲余弦函数的解析式为（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的是
A．
B．函数为奇函数
C．若直线与函数和的图象共有三个交点，这三个交点的横坐标分别为，则
D．若存在，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为
11．聚点是实数集的重要拓扑概念，其定义是：,，若，存在异于的，使得，则称为集合的“聚点”，集合的所有元素与E的聚点组成的集合称为的“闭包”，下列说法中正确的是（ ）
A．整数集没有聚点B．区间的闭包是
C．的聚点为0D．有理数集的闭包是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．记函数在处的导数为，则 ．
13．在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算．算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法，例如：47可以表示为“”，如果用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数，这个数至少要用8根小木棍的概率为 ．
14．已知，函数．若曲线与直线交于两点，设 的横坐标分别为，写出与的一个关系式： ；分别过点作轴的垂线段，垂足分别为，则四边形的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表．
（1）求购买金额不少于45元的频率；
（2）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关．
附：参考公式和数据：，．
附表：
16．（15分）
已知数列满足，且．
（1）求证：数列是等比数列，并求出的通项公式；
（2）若，求满足条件的最大整数．
17．（15分）
已知函数．
（1）若，求函数的单调递增区间．
（2）若，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
18．（17分）
在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为和，的周长为6，记顶点M的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）已知点E，F，P，Q在C上，且直线EF与PQ相交于点A，记EF，PQ的斜率分别为，．
（ⅰ）设EF的中点为G，PQ的中点为H，证明：存在唯一常数，使得当时，；
（ⅱ）若，当最大时，求四边形EPFQ的面积．
19．（17分）
如图，是底面边长为1的正三棱锥，、、分别为棱、、上的动点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等．（注：棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）
（1）当为棱的中点时，求棱台的体积；
（2）求在二面角的变化过程中，线段在平面上投影所扫过的平面区域的面积；
（3）设常数，称较小内角为的菱形为-菱形．当点在棱上运动（不含端点）时，总存在底面为-菱形的直平行六面体，使得它与棱台有相同的体积，也有相同的棱长和，求的取值范围．购买金额（元）
人数
10
15
20
15
20
10
不少于60元
少于60元
合计
男
40
女
18
合计
2．072
2．706
3．841
6．635
7．879
0．150
0．100
0．050
0．010
0．005