2025年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）数学试卷及参考答案

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命题：沈阳市第一二〇中学 孙 爽
沈阳市第四中学 吴 哲
沈阳市第二十七中学 李 刚
主审：沈阳市教育研究院 周善富
本试卷共4页，19小题，满分150分，答题用时120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．填空题和解答题的作答：用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，写在答题卡上的非答题区域无效。
4．必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合，则集合=
A．B．C．D．
2．函数的图象大致是
A．B．
C．D．
3．已知数列为等差数列，，设，，则是的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．若能被整除，则的一组值可能为
A．B．C．D．
5．已知锐角满足，则
A．B．C．D．
6．已知中，，，，点是线段上的动点，则的取值范围是
A．B．C．D．
7．已知平面直角坐标系中不同的三点，，，圆心在轴上的圆经过三点，设点的坐标为，则点的轨迹方程为
A．B．
C．D．
8．三棱锥的体积为，和都是等边三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题中正确的是
A．已知某个家庭先后生了两个小孩，当已知两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率为
B．马路上有依次编号为的盏路灯，为节约用电，某个时间段可以把其中的盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，而且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法有种
C．已知，C，，则，中至少有一个为0
D．袋中装有个白球，个黑球，从中随机连续取次，每次取一个球，取后不放回，设取出黑球个数为，则
10．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点B为短轴的一个端点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是
A．B．
C．D．
11．对于函数下列结论中正确的是
A．任取，都有
B．，其中
C．对一切恒成立
D．方程有两个相异实根和，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知直线被圆截得的最短弦长为，则 ．
13．已知等比数列的前项的积为，即，又已知，，则的最大值为 ．
14．若实数满足，设，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
的内角所对的边分别为，的平分线交于点，为的中线．若，，．
（1）求的长；
（2）求的长．
16．（15分）
已知平行六面体的底面为正方形，所有棱长为，点和分别为上、下底面的中心，且．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值．
17．（15分）
函数．
（1）当时，求函数的极值和极值点；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．
18．（17分）
在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（为正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线、关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比．
（1）已知双曲线的方程为，伸缩比，求关于原点伸缩变换后所得双曲线的方程；
（2）已知椭圆经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线：与椭圆、分别交于两点、，且，求椭圆的方程；
（3）已知抛物线作“伸缩变换”，得到，其中，若，，求数列的通项公式．
19．（17分）
泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，，其中为自然对数的底数．
（1）当 QUOTE 时，泊松分布可以用正态分布来近似；当 QUOTE 时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为 QUOTE ．若 QUOTE ，求 QUOTE 的值（保留三位小数）；
（2）某公司制造微型芯片，次品率为 QUOTE ，各芯片是否为次品相互独立．以 QUOTE 记产品中的次品数．
①若 QUOTE ，求在 QUOTE 个产品中至少有2个次品的概率；
②若 QUOTE ， QUOTE ，求在1000个产品中至少有2个次品的概率．
通过比较计算结果，你发现了什么规律？
（3）若，且，求的最大值（保留一位小数）．
参考数据：若，则有，，；，，．