2024-2025学年广东省湛江市高三上学期11月联考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年广东省湛江市高三上学期11月联考数学检测试题（附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知等差数列满足，则（ ）
A．3B．4C．8D．10
2．已知是实数，若为纯虚数，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数 为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在方格边长为 的方格纸中，向量的起点和终点均在格点上，则 （ ）
A．B．C．D．
5．现有一盛水实心容器，其外形可以通过如下方式得到：在中，，，以边所在直线为轴将该三角形旋转一周，所得旋转体即为该容器，则该容器最多能容纳水的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知点 在椭圆 上，则 的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．过点分别作曲线 的切线，则这两条切线的斜率之积为（ ）
A．B．1C．eD．
8．已知正数 满足 ，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．某卫星主要用于开展低轨星座系统新技术试验， 其主要功能用于记录飞行过程中观测到的低轨行星的数目，已知该卫星连续 8 天内观测到的低轨行星数目分别为：9，8，6，10，9，7，6，9，则这组样本数据的（ ）
A．极差为 3B．平均数是 8
C．上四分位数是 9D．方差为 2
10．已知平面内一动点到坐标原点的距离为1，以为圆心、1为半径的动圆与圆交于两点，则（ ）
A．存在唯一的圆，使得两点重合B．
C．若存在，则其不可能为等边三角形D．的最大值为
11．已知水平放置的正方形的边长为，利用斜二测画法绘制该正方形在水平平面内的直观图四边形，则（ ）
A．的最小值小于B．的最大值小于
C．的最小值大于D．的最大值大于
三、填空题（本大题共3小题）
12．函数 的最小正周期为 .
13．已知集合，若集合中有且只有一个元素，则
14．把3个红球和33个白球随机排成一圈，则连续排列的白球个数不超过13个的概率是
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知双曲线 的离心率为 2 ，右焦点到 的一条渐近线的距离为 为 上不同的两点，且线段 AB 的中点为 .
(1)求的标准方程；
(2)证明:直线 AB 的斜率存在且为定值，并求出该定值.
16．已知的内角所对的边分别为 ，且 .
(1)证明：；
(2)若，求 .
17．如图，平行六面体 的棱长均为 ，且 AD 的中点为 .

(1)证明: ；
(2)求二面角 的余弦值.
18．已知首项为1的正项数列满足 .
(1)探究数列的单调性；
(2)证明： .
19．小明和小王按照规定在奇妙种植园中采摘水果， 水果越采摘越多. 奇妙种植园中的每个园区在最初始时会提供有限个橙子和苹果供采摘，且每次采摘均为随机采摘，当每次从种植园中随机采摘一次得到一个水果后，将水果退回种植园，并再添加同种水果 个放入种植园.
(1)若小王选择的园区初始有5个橙子和15个苹果， 小明选择的园区初始有4个橙子和12个苹果，且 a=2 . 试比较: 小王第2次采到橙子的概率和小明第2次采到橙子的概率大小;
(2)证明:无论初始时橙子和苹果的个数是多少，每一次采摘到橙子的概率都相等；
(3)若初始有个橙子和个苹果，证明: 第次采摘后，累计采摘到的橙子个数的期望是 .
(附:若随机变量服从两点分布，且 ，)
答案
1．【正确答案】B
【详解】设等差数列的公差为，
则 .
故选：B.
2．【正确答案】B
【详解】因为为纯虚数，则，解得.
故选：B.
3．【正确答案】C
【详解】解：由为奇函数知， ，
令可得 ，C正确，
设，则，，，，
ABD错误，
故选：C.
4．【正确答案】A
【详解】如图，建立平面直角坐标系，
则 ，
则 ， 所以 .
故选：A.
5．【正确答案】B
【详解】

由题意知，该容器的盛水部分为圆锥形，过点向轴作垂线(为垂足)，
则即为圆锥的高，为圆锥的底面半径，因为，，
所以，，
其中，，
故该容器最多能容纳水的体积为.
故选：B.
6．【正确答案】C
【详解】将点的坐标代入椭圆方程，得:
，
因为，所以 ，所以椭圆方程 ，
其中 ，故离心率 .
故选：C.
7．【正确答案】B
【详解】由于是互为反函数的曲线，所以其关于直线对称，
由于点在直线上，所以这两条切线也关于直线对称，
不妨设其中一条切线的倾斜角为，则另一条的倾斜角为，
故这两条切线的斜率之积为 .
故选：B.
8．【正确答案】D
【详解】因为，故原题干等式可转化为 ，得 ，
设 ，则 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
解得 或 ，又因为 ，
所以 ，整理得 ，解得 ，
当且仅当 时，等号成立.
因此 ，即 2，所以的取值范围是 .
故选：D.
9．【正确答案】BCD
【详解】将这组数据从小到大排序得6，6，7，8，9，9，9，10.
这组数据的极差为，故A错误.
平均数为 ，故 B 正确.
因为 ，所以上四分位数为 ，故C正确.
方差为 ，故 D 正确.
故选：BCD.
10．【正确答案】BCD
【详解】依题意，坐标原点与点之一重合，不妨设坐标原点为，圆的圆心，半径，
对于A，当动圆与圆内切或外切时，均有两点重合，A错误；
对于B，点在以为圆心、1为半径的圆上运动，，，B正确；
对于C，，要使为等边三角形，则，而，
当且仅当点共线时取等号，则不可能为等边三角形，C正确；
对于D，要使最大，即最大，只需取最大值2，
此时，，D正确．
故选：BCD
11．【正确答案】AD
【详解】
对于AB选项，考虑正方形的一条边与轴重合，由斜二测画法的性质，
另一条边与轴重合，如图所示，
由于对称性与旋转可换性，图中与均等价为所求角.
而由斜二测图性质， ，
过作的垂线，则，
即，故的最小值小于，故正确；
过作的垂线，易有，且，
故，则的最大值大于，故B错误；
对于CD选项，设图形绕点逆时针旋转，则 ，
即 ，
其中，则最小值为，
最大值为， 故C错误， D正确.
故选 ：AD.
12．【正确答案】
【详解】由题意可得 ，故 的最小正周期为 .
故答案为 .
13．【正确答案】
【详解】当时，表示抛物线的一部分；
当时，为空集，
因此当且仅当a=2时，集合表示一个点，有且只有一个元素.
故
14．【正确答案】
【详解】
如图，位于红球之间的白球个数记为，
故满足方程的解共有组，
满足时的解有以下情形：
①若时，有，
，共7种；
同理，时，有7种；时，有7种，
去掉重复的共有18种，
②若时，有，共4种；
同理，时，有4种；时，有4种，去掉重复的共有9种，
③若，有，此时只有1种，
④若，有，与前面重复，舍去，
⑤若，有，与前面重复，舍去，
⑥若，有，与前面重复，舍去，
⑦若，有，与前面重复，舍去，
⑧若，不存在，
共有种，
连续排列的白球个数不超过13个的概率是.
故答案为.
15．【正确答案】(1)
(2)证明见解析，定值 2
【详解】（1）由题意得 ，右焦点坐标为(c，0)，双曲
线渐近线方程为 ，故 ，解得 ，又 ，
故 ，
故的标准方程为 .
（2）设 ，
则 ，两式相减得
若 或 ，
则AB的中点在坐标轴上，不满足 ， 故 且 ，
即直线AB的斜率存在且不为 0 ，此时 ，即 ，
解得 ，故直线AB的斜率存在且为定值 2.

16．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由及正弦定理得 .
因为，所以，
所以 ，
所以 .
由正弦定理，得.
（2）因为，
由余弦定理可得，
整理得，即， 解得或.
因为，所以，即，故.
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在 中，由余弦定理可得:，

所以，所以 ，同理可得 ，
又因为 平面 平面
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
依题意，有 ，所以 ；
（2）以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴，
过点 作 轴垂直于平面 ，建立如图所示空间直角坐标系.

在 中，由余弦定理得 ，
所以，得，
又 ，
所以 ，
由 (1) 可得平面 的一个法向量为 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则有 ，即 ，取 .
则 ，
所以二面角 的余弦值为 .
18．【正确答案】(1)数列为递减数列，理由见解析.
(2)证明见解析
【详解】（1）数列为递减数列，理由如下：
由题意可得，
则，
令函数，
则，
∴fx在上单调递减，
则，令，
则，
，
即数列为递减数列；
（2）令函数，
，
令函数，
则，当时，ℎ'x0时，ℎ'x>0，
故ℎx在单调递减，在0,+∞为单调递增，
故，则，
，
，故在定义域上单调递增，，
令，
则，
又，
.
当时，
.
即，又时，.
所以.
19．【正确答案】(1)都是
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）记第次采摘到橙子的概率是，则第 次采摘到苹果的概率是，
对于小明， ，由全概率公式可得:
同理，对于小王：

故小王第 2 次采摘到橙子的概率和小明第 2 次采摘到橙子的概率大小相等均为.
（2）设第次采摘时有个橙子和个苹果，
则 ；，
由全概率公式可得:
所以，即每一次采摘到橙子的概率都相等.
（3）设第次采摘到橙子的个数为，
则，所以服从两点分布.
记第次采摘后，累计采摘到的橙子个数是，
则 ，所以 .