2024-2025学年广东省肇庆市封开县高三上学期第四次月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年广东省肇庆市封开县高三上学期第四次月考数学检测试题（附解析），共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
封开县江口中学高三年级第四次月考试题（数学）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．B．
C．D．
2．复数是虚数单位)，则的共轭复数为（ ）．
A．B．C．D．
3．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：
高三一班：36.1，36.2，，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃），
高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，，37.1（单位：℃）
若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则为（ ）
A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3
4．定义在上的函数的图象大致形状为（ ）
A．B．C．D．
5．已知等比数列的前n项和为，且，，则（ ）
A．B．或C．D．
6．正四面体中，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是
A．B．C．D．
7．已知抛物线C：，直线l：与C交于A，B两点，点A，B在准线上的射影分别为点，，若四边形的面积为，则（ ）．
A．2B．C．D．4
8．已知函数，直线是曲线的一条切线，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．某企业对目前销售的A，B，C，D四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如下饼图：
下列说法正确的是（ ）
A．产品升级后，产品A的营收是升级前的4倍
B．产品升级后，产品B的营收是升级前的2倍
C．产品升级后，产品C的营收减少
D．产品升级后，产品B､D营收的总和占总营收的比例不变
10．已知直线和直线，下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．直线过定点D．当平行时，两直线的距离为
11．已知函数为的两个极值点，且的最小值为，直线为图象的一条对称轴，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．在间上单调递增D．图象关于点对称
12．随着春节的临近，小王和小张等4位同学准备互相送祝福.他们每人写了一个祝福的贺卡，这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福，则（ ）
A．小王和小张恰好互换了贺卡的概率为
B．已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为
C．恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为
D．每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则 .
14．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.
15．已知，则 .
16．已知椭圆，过C中心的直线交C于M，N两点，点P在x轴上其横坐标是点M横坐标的3倍，直线NP交C于点Q，若直线QM恰好是以MN为直径的圆的切线，则C的离心率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
17．在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，已知______.
(1)求A；
(2)若，，求a.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18．已知是等差数列，满足，，数列满足．
(1)求数列、的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，令，求的最小值．
19．为庆祝第113个国际妇女节，某学校组织该校女教职工进行篮球投篮比赛，每名教师连续投篮3次根据教师甲练习时的统计数据，该教师第一次投篮命中的概率为0.6，从第二次投篮开始，若前一次投篮命中，则该次命中的概率为0.8，否则，命中概率为0.6．
(1)求教师甲第二次投篮命中的概率；
(2)求教师甲在3次投篮中，命中的次数X的分布列和数学期望．
20．在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，分别是的中点，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
21．已知.
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）若函数在区间上有极小值点，且总存在实数，使函数的极小值与互为相反数，求实数的取值范围.
22．已知椭圆：（）过点，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆上的点（）的直线与，轴的交点分别为，，且，过原点的直线与平行，且与交于，两点，求面积的最大值.
1．C
【分析】根据韦恩图，直接求得.
【详解】因为，，
所以阴影部分表示的集合为.
故选：C
2．A
【分析】根据复数的除法运算求出复数，再根据共轭复数的定义即可得解.
【详解】解：，
则的共轭复数.
故选：A.
3．C
【分析】根据题意结合百分位数的概念分析运算.
【详解】由，可得第25百分位数分别为和，则；
由，可得第90百分位数分别为和，
则，解得；
故.
故选：C.
4．A
【分析】根据函数的奇偶性及函数值的正负，利用排除法即得.
【详解】因为，
所以，
所以函数为偶函数，排除CD；
当时，，所以，排除B.
故选：A.
5．C
【分析】根据等比数列的定义与通项公式运算求解.
【详解】设等比数列的公比为，
∵，即，则，
∴，
则，解得.
故选：C.
6．C
【分析】连接ND，取ND的中点E，点M，N分别是AD，BC的中点，可得ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角的平面角为∠EMC，利用余弦定理求解即可．
【详解】连接ND，取ND的中点E，点M，N分别是AD，BC的中点，可得ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角的平面角为∠EMC，
由题意，设正四面体边长为a，可得
则 ND的中点为E，可得 ．
由余弦定理 ，
故选C．
本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
7．B
【分析】先判断出直线l过抛物线的焦点，把直线和抛物线联立，表示出梯形的上底、下底和高，根据面积公式求出p.
【详解】抛物线C：的焦点，准线.
直线l：可化为：，所以直线l过抛物线的焦点.
设，，把直线l代入抛物线C消去y可得：，
所以，.
又A，B到准线的距离分别为，，所以，四边形为直角梯形，其高为，所以，解得：．
故选：B
8．C
【分析】设切点为，由导数的几何意义求出切线方程，可把、用表示，从而可表示为关于的函数，再引入新函数，由导数求得函数的值域即得．
【详解】设切点为，，
曲线在切点处的切线方程为，
整理得，所以．
令，则．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．故，
则的取值范围是．
故选：C.
9．ABD
【分析】根据扇形统计图由产品升级前的营收为，升级后的营收为，结合图中数据即可结合选项逐一求解.
【详解】设产品升级前的营收为，升级后的营收为.
对于产品，产品升级前的营收为，升级后的营收为，故升级后的产品的营收是升级前的4倍，A正确.
对于产品 ，产品升级前的营收为，升级后的营收为，故升级后的产品的营收是升级前的2倍，B正确，
对于产品 ，产品升级前的营收为，升级后的营收为，故升级后的产品的营收增加，C错误.
产品升级后，产品营收的总和占总营收的比例不变，D正确.
故选：ABD
10．ACD
【分析】对于，通过是否成立来判断；对于B，将代入即可判断；对于C，将直线变形为，进而可得定点；对于D，利用直线平行的公式求出直线方程，然后利用两平行线的距离公式求解.
【详解】对于，当时，那么直线为，
直线为，此时两直线的斜率分别为和，
所以有，所以，故A选项正确；
对于，当时，那么直线为，直线为，此时两直线重合，故B选项错误；
对于，由直线，整理可得：，故直线过定点，故C选项正确；
对于，当平行时，，解得：或，
当时，两直线重合，舍去；
当时，直线为为，
此时两直线的距离，故D选项正确.
故选：ACD.
11．BCD
【分析】由题意可得，即可求出，再根据正弦函数的对称性即可求出，根据正弦函数的单调性和对称性即可判断CD.
【详解】因为为的两个极值点，且的最小值为，
所以，所以，故A错误；
则，
又直线为图象的一条对称轴，
所以，所以，
又，所以，故B正确；
所以，
由，得，
所以在间上单调递增，故C正确；
将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，
则，
因为，
所以图象关于点对称，故D正确.
故选：BCD.
12．BC
【分析】计算出四个人每人从中随机抽取一张共有种抽法，根据古典概型的概率公式以及条件概率的概率公式计算各选项，可得答案.
【详解】对于A,四个人每人从中随机抽取一张共有种抽法，
其中小王和小张恰好互换了贺卡的抽法有种，
故小王和小张恰好互换了贺卡的概率为 ，A错误；
对于B,设小王抽到的是小张写的贺卡为事件A, 则,
小张抽到小王写的贺卡为事件B,
则已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，
小张抽到小王写的贺卡的概率为 ,B正确；
对于C, 恰有一个人抽到自己写的贺卡的抽法有种，
故恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为 ，C正确；
对于D, 每个人抽到的贺卡都不是自己写的抽法共有种，
故每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为，D错误，
故选：
13．1
【详解】试题分析：∵，∴，又∵，分别是定义在上的偶函数和奇函数，∴，，∴，
∴．
考点：函数的奇偶性．
14．
【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.
【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种
故答案为.
本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
15．##
【分析】由题设可得，进而求得，再应用二倍角余弦公式及诱导公式求目标函数值.
【详解】由题设，又，则，
所以，则.
故
16．
【分析】利用三条直线的斜率关系，结合点差法可得.
【详解】
设，，则，，
设、、，分别为直线、、的斜率，
则，，，
因直线是以为直径的圆的切线
所以，，
所以，
又在直线上，所以，
因、在上，
所以，，
两式相减得，
整理得，
故，即，
，
故.
故
17．(1)；
(2).
【分析】（1）若选①，先用正弦定理进行边化角，进而结合辅助角公式求得答案；若选②，先通过诱导公式和二倍角公式化简，进而通过辅助角公式求得答案；若选③，先通过诱导公式和二倍角公式化简，进而求得答案；
（2）先通过三角形的面积公式求出c，进而根据余弦定理求得答案.
【详解】（1）若选①，由正弦定理可得，因为，所以，则，而，于是.
若选②，由题意，，则，而，于是.
若选③，由题意，，因为，所以，则.
（2）由题意，，由余弦定理.
18．(1)，；
(2).
【分析】(1)设出等差数列的公差，根据给定条件列出方程求解作答.
(2)由(1)的结论求出，利用裂项相消法求出，再借助均值不等式计算作答.
【详解】（1）设等差数列的公差为，依题意，a1+d+a1+7d=20a1+6d=12(a1+10d)+3，解得，
于是得，，
所以数列、的通项公式分别为：，.
（2）由(1)知，，
因此，，
则，当且仅当时取等号，
所以的最小值为81.
19．(1)0.72;
(2)分布列见解析，数学期望为2.064。
【分析】（1）把教师甲第二次投篮命中的事件分拆成两个互斥事件的和，再求出每个事件的概率作答.
（2）求出的可能值，各个值对应的概率，列出分布列，再求出期望作答.
【详解】（1）依题意，教师甲第2次投篮命中的情况包括：
第一次命中且第二次命中，其概率为：；
第一次末中且第二次命中，其概率为：，
所以，教师甲第二次投篮命中的概率为.
（2）依题意，教师甲命中的次数的所有可能取值为0,1,2,3，
则，
；
，
，
所以的分布列为：
所以的数学期望.
20．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）（Ⅲ）在存在一点，使得平面平面，且.
【详解】试题分析：（Ⅰ）根据中位线定理得，，所以为平行四边形，进而可证平面；
（Ⅱ）建立直角坐标系，，求解平面的法向量为，设与平面所成角为，利用求解即可；
（Ⅲ）设上存在一点，则，令，求解即可.
试题解析：
（Ⅰ）证明：取中点，连接.
因为分别是的中点，
所以，且.
因为是矩形，是中点，
所以，.
所以为平行四边形.
所以.
又因为平面，平面，
所以平面.
（Ⅱ）因为平面，
所以，.
因为四边形是矩形，所以.
如图建立直角坐标系，
所以，，，
所以，.
设平面的法向量为，
因为，所以.
令，所以，所以.
又因为，
设与平面所成角为，
所以 .
所以与平面所成角的正弦值为.
（Ⅲ）因为侧棱底面，
所以只要在上找到一点，使得，
即可证明平面平面.
设上存在一点，则，
所以.
因为，
所以令，即，所以.
所以在存在一点，使得平面平面，且.
21．（1）；（2）.
【分析】(1)利用导数的几何意义可得切线的斜率,根据点斜式可得切线方程;
(2)根据导数求出函数的极小值和极小值点 , 由，.,根据极小值与互为相反数可得,再构造函数求得值域即可得到答案.
【详解】解：（1）.
当时，，.
，，
所以，函数在点处的切线方程为，即.
（2）由得
时，，时，，
函数在区间上单调递减，在区间单调递增，
函数的极小值点为.
由已知，
.
故在区间上存在，使得.
.
设.
当时，，
函数在区间上递增，
当时，，即，
，
所以，实数的取值范围是.
本题考查了导数的几何意义,函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用单调性解决问题是关键,属于中档题.
22．(1)
(2)最大值为
【分析】（1）依题意可得，再利用离心率的变形公式可求得，即得椭圆的标准方程（2）以点坐标为参数表示出的面积，再利用均值不等式求最大值
【详解】（1）由题意得，又
所以
∴椭圆的标准方程为.
（2）∵点在椭圆上，∴，即
由题意可得直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为，
则，
则.
，即，
∴直线l的斜率
∵，
∴直线的方程为，即.
联立，解得，∴，
∴，
又点A到直线的距离
，
，
又，
当且仅当，即时等号成立，
，
∴.
∴面积的最大值为.
0
1
2
3
0.064
0.192
0.36
0.384