2024-2025学年广东省珠海市高三上学期第三次考试（10月）数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年广东省珠海市高三上学期第三次考试（10月）数学检测试题（附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．若，则的一个充分不必要条件为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知向量，，若与垂直，则等于（ ）
A．B．C．3D．6
5．甲､乙等6位同学去三个社区参加义务劳动，每个社区安排2位同学，每位同学只去一个社区，则甲､乙到不同社区的不同安排方案共有（ ）
A．6种B．18种C．36种D．72种
6．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，若，都有成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数（，且），，若函数在区间上恰有3个极大值点，则的取值范围为（ ）
A．B．．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．数据的第50百分位数为32
B．已知随机变量服从正态分布，；则
C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为；若，，，则
D．若样本数据的方差为2，则数据的方差为4
10．设正实数，满足，则( )
A．有最小值4B．有最小值
C．有最大值D．有最小值
11．设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．存在实数使得B．方程有唯一正实数解
C．方程有唯一负实数解D．有负实数解
三、填空题（本大题共3小题）
12．的展开式中常数项是 ．（用数字作答）
13．已知随机事件满足，则 ．
14．对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前12项和 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，内角的对边分别为，且.
(1)求的值；
(2)若，证明：为直角三角形.
16．已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
17．在直三棱柱中，在上，且．

(1)证明：；
(2)当四棱锥的体积为时，求平面与平面所成二面角的正弦值．
18．某校组织知识竞赛，有两类问题．若A类问题中每个问题回答正确得20分，否则得0分；若B类问题中每个问题回答正确得50分，否则得0分．已知李华同学能正确回答A类问题的概率为，能正确回答B类问题的概率为．
(1)若李华从这两类问题中随机选择一类问题进行回答，求他回答正确的概率；
(2)若李华连续两次进行答题，有如下两个方案：
方案一：第一次答题时，随机选择两类问题中的一类问题回答，若答对，则第二次继续回答该类问题；若答错，则第二次回答另一类问题．
方案二：第一次答题时，随机选择两类问题中的一类问题回答，无论是否答对，第二次回答另一类问题．
为使累计得分的期望最大，李华应该选择哪一种方案？
19．已知（，且）.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)当时，求证：在上单调递增；
(3)设，已知，有不等式恒成立，求实数a的取值范围.
答案
1．【正确答案】D
【详解】集合, ,
或,

故选：
2．【正确答案】C
【分析】首先化简复数，再根据复数的特征求虚部.
【详解】，
所以的虚部是.
故选C.
3．【正确答案】D
【详解】依题意可知选项是的充分不必要条件，则选项的范围是的子集，
对于选项A，不是的子集，故A不满足；
对于选项B，不是的子集，故B不满足；
对于选项C，不是的子集，故C不满足；
对于选项D，不是的子集，故D满足.
故选：D
4．【正确答案】B
【详解】，
因为与垂直，
所以，解得，
所以.
故选B.
5．【正确答案】D
【详解】根据题意，分成两步进行分析：
第一步，将6位同学分成3组，要求甲、乙不到同一组，有种分组方法，
第二步，将分好的3组全排列，安排到三个不同的社区，有种情况，
则共有种不同的安排方法.
故选：D
6．【正确答案】A
【详解】因为底面半径，所以底面周长，
又圆锥母线长，所以圆锥侧面积．
故选：A．
7．【正确答案】C
【分析】首先分析出函数单调递增，再根据函数单调性定义得到不等式组，解出即可.
【详解】因为对于，都有成立，所以函数是增函数，
则函数和均为增函数，且有，
即，解得.
故选C.
8．【正确答案】D
【分析】利用三角恒等变换化简得到，从而得到，根据函数极大值点的个数得到方程，求出答案.
【详解】，
，，
函数在区间上恰有3个极大值点，
故，解得.
故选D.
9．【正确答案】BC
【分析】根据第50百分位数为中位数判断A；根据正态分布的性质判断B；根据回归直线方程的性质判断C；根据方差的性质判断D.
【详解】对数据由小到大排列为，因为第50百分位数为中位数，所以第50百分位数为，故A错误；
因为随机变量服从正态分布，，所以，所以，所以，所以，故B正确；
因为，，，则，故C正确；
因为样本数据的方差为2，所以数据的方差为，故D错误.
故选BC.
10．【正确答案】ACD
【分析】
对于选项A：利用基本不等式中，结合“1”的灵活用法，即可求解；
对于选项BCD：使用基本不等式即可求解.
【详解】
选项A：，取等号时，故A正确；
选项B：，取等号时，所以有最大值，故B错误；
选项C：，所以，取等号时，故C正确；
选项D：由，化简得，，取等号时，故D正确.
故选：ACD.
11．【正确答案】ABC
【详解】因为，.
由，
设，因为函数定义域为，且，，
可知方程一定有实数根，故A正确；
由或.
所以函数在，上单调递增，在上单调递减.
且为极大值，为极小值.
做出函数草图如下：

观察图象可知,方程有唯一正实数解，有唯一负实数解，
故BC正确；
又，结合函数的单调性，当 时，，所以无负实数解.故D错误.
故选ABC.
12．【正确答案】
【分析】利用二项式展开式的通项公式求出指定项即可.
【详解】由的展开式的通项得：，
令，得，故．
故答案为.
13．【正确答案】
【详解】，.
故答案为.
14．【正确答案】/0.375
【详解】由题意可知，
，
，
，
……
，
所以，
，
，，
当时，上式也成立，
故，，
所以数列，
.
故
15．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由正弦定理和两角和正弦公式的逆运用得到，求出答案；
（2）由（1）得到，结合，得到，化简得到，，得到答案.
【详解】（1）由，
可得，
所以，
所以，
则，即.
（2）证明：由（1）可得.
又，所以，
即，
故，
所以，
即，
因为，所以为锐角，
解得（负值舍去），即，
所以为直角三角形.
16．【正确答案】(1)，
(2)，.
【分析】（1）利用得出数列是等比数列，从而可得通项公式；
（2）由已知求得，得出是等差数列，求出其前项和，然后根据绝对值的性质得出数列与的前项和的关系，从而求得结论．
【详解】（1）由，则当时
两式相减得，所以.
将代入得，，
所以对于，故an是首项为2，公比为2的等比数列，
所以.
（2）.
，
因为当时，当时，
所以当时，，
当时，.
故.
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，且，所以两两垂直，故可以为原点，建立如图空间直角坐标系：

设，则，，，，.
所以，.
因为,
所以.故.
（2）因为梯形的面积：
，
，所以.
所以，，所以.
设平面的法向量为，
则，取.
取平面的法向量为：，
设平面与平面所成的二面角为，
则，所以.
18．【正确答案】(1)
(2)选择方案二
【分析】（1）利用全概率公式计算即可；
（2）利用离散型随机变量的分布列、期望公式一一计算判定两种方案的期望大小即可.
【详解】（1）设“选择A类问题”， “选择B类问题”，“选中的问题回答正确”,
则，
所以．
（2）若选方案一：设李华累计得分为X，则X可能取值为0，20，40，50，100，
，
，
，
，
，
则X的分布列为
．
若选方案二：设李华累计得分为Y，则Y可能取值为0，20，50，70，
，
，
，
，
则Y的分布列为
，
所以，故选择方案二．
19．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）当时，，，
所以，，
所以切线方程为，即.
（2）当时，，
则，
要证明在上单调递增，
只需证明在上恒成立，
则只需证，即只需证.
设，则只需证
因为，所以在单调递增，
所以时，即时，成立，
所以，所以在上单调递增.
（3），即，两边取对数得：，即
设，令，得，
当时，，单调递减.
又因为，所以，在单调递减，
由，则在恒成立，即，
上式等价于，即，
由在单调递减，所以.
即实数的取值范围为.X
0
20
40
50
100
P
X
0
20
50
70
P