2024-2025学年广西壮族自治区高三上学期11月联考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年广西壮族自治区高三上学期11月联考数学检测试题（附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则的虚部为（ ）
A．－1B．1C．－iD．i
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．在长方体中，，则该长方体外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，若，则（ ）
A．2B．C．D．1
6．如图，对，，，，五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
7．已知函数的定义域为，，且，则（ ）
A．−2B．C．D．
8．已知是双曲线的左焦点，过原点的直线与相交于两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知一组数据，下列结论正确的有（ ）
A．若，则该组数据的第40百分位数为
B．该组数据的第60百分位数不可能是77
C．若该组数据的极差为10，则或78
D．若，则该组数据的平均数为70
10．若函数，则下列结论正确的有（ ）
A．为奇函数B．若，则
C．的所有极值点的和为0D．
11．如图，在六面体中，四边形为菱形，四边形为正方形，平面平面，若，则下列说法正确的是（ ）
A．四边形为平行四边形
B．平面平面
C．若过的平面与平面平行，则该平面与的交点为棱的中点
D．三棱锥体积的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知抛物线上一点到的焦点的距离比到轴的距离大4，则 ．
13．已知函数，若，则的取值范围为 ．
14．在中，，且，则的最大值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．一个不透明的盒子中装有红色、黄色、白色、黑色小球各1个，这些小球除颜色外完全相同.现从盒于中随机抽取若干个小球，抽中的小球的颜色对应的得分如下表.
(1)若有放回地从盒子中抽取2次，每次抽取1个小球，求抽中的小球对应的得分之和大于6的概率；
(2)若一次性从盒子中抽取2个小球，记抽中的小球对应的得分之和为，求的分布列与期望．
16．已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
17．如图1，菱形的边长为是的中点，将沿着翻折，使点到点处，连接，得到如图2所示的四棱锥．
(1)证明：．
(2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值．
18．已知动圆与圆外切，与圆内切，记动圆圆心的运动轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)若分别是的左、右顶点，是圆上一点，设和的夹角为，求的取值范围.
19．曲率是表示曲线在某一点的弯曲程度的数值，曲线的曲率定义如下：若是函数的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．
(1)若函数，求曲线在点处的曲率．
(2)若函数，证明：曲线在其上任意一点处的曲率为定值，且该定值为．
(3)已知函数，若在曲线上存在一点，使曲线在点处的曲率，求的取值范围．
答案
1．【正确答案】C
【详解】，，所以，
所以.
故选：C
2．【正确答案】B
【详解】，虚部为1.
故选：B
3．【正确答案】D
【详解】指数函数在上单调递减，
因为，所以，即；
幂函数在上单调递增，
因为，所以，即，即，
综上：，
故选：D.
4．【正确答案】A
【详解】设长方体外接球的半径为，
则，所以，
则球的表面积为，
故选：A.
5．【正确答案】C
【详解】因为，，
所以，解得，
所以，即，
所以，
故选：C.
6．【正确答案】C
【详解】先涂，，，有种方法.
若的颜色不同于，，所涂颜色，有种涂法，此时有种涂法，则对应总涂法数为；
若的颜色与的颜色相同，此时有种涂法，则对应总涂法数为；
若的颜色与的颜色相同，此时有种涂法，则对应总涂法数为.
综上，总涂法数为.
故选：C
7．【正确答案】B
【详解】因为，
令，则，
即，
因为，所以，
令，则，
即，
解得，
则
即
故选：B.
8．【正确答案】A
【详解】如图，设双曲线右焦点为，连接.
因，又，则为直角三角形，又由双曲线对称性可知四边形为平行四边形，
结合为直角三角形，则四边形为矩形，则为直角三角形.
因，又，则，
设，则.
则.
故选：A
9．【正确答案】BCD
【详解】对于A：因，当时，该组数据的第百分位数为；当时，该组数据的第百分位数为；故A错误.
对于B：因，当时，该组数据的第百分位数为；当时，该组数据的第百分位数为；当时，该组数据的第百分位数为.故该组数据的第百分位数不可能是.故B正确.
对于C：由极差的定义，当时，则，即；当时，则，即.故C正确.
对于D：当时，该组数据的平均数为.故D正确.
故选：BCD
10．【正确答案】ACD
【详解】A选项，，因函数定义域为R，且，
则为奇函数，故A正确；
B选项，，，，
.则在上递增，在上递减.
则在0,1上不单调，故时，不一定成立，B错误；
C选项，由B选项分析可知，的极值点为和，则的所有极值点的和为0，C正确；
D选项，注意到，又由B分析可知在上递增，在上递减.
则，，
故D正确.
故选：ACD
11．【正确答案】AD
【详解】对于A：因为四边形为菱形，四边形为正方形，
所以，且，
则平面平面，
又平面平面，平面平面，
得.
由，得，
又平面，平面，则平面.
因为平面平面，所以，
则四边形为平行四边形，故A正确.
对于B：因为平面平面，平面平面，
四边形为正方形，所以平面，
当与不平行时，平面与平面不垂直，故B不正确.
对于C：如图，过作，且，连接，
易得四边形为正方形，连接，
易证得,且，
则平面平面，若在上，则为的中点，即，
若不在上，则不为的中点，即，故C不正确.
对于D：，显然当时，取得最大值，
且最大值为，故D正确.
故选：AD
12．【正确答案】8
【详解】点到的焦点的距离比到轴的距离大4，即点P到准线的距离比到y轴的距离大4，
即，即，
故8.
13．【正确答案】
【详解】因为，所以，由可得：，
根据的图像性质可知，要想满足题意，只需，
解得.
故
14．【正确答案】
【详解】由中，,得,
解得或(舍去),
则，
设，则是以为半径的圆的内接三角形.
如图所示,当三点共线时，最大，从而的值最大.

过作，垂足为，连接,
则,
从而，则.
故
15．【正确答案】(1)
(2)的分布列为
【详解】（1）有放回抽取两次，总的可能有种，小球得分之和大于的情况只有第一次取白球，第二次取黑球；第一次取黑球，第二次取白球；两次都取黑球种情况，所以小球得分之和大于的概率.
（2）的取值有五种可能，
，，，
，，
所以的分布列为
.
16．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，
当时，①，
又②，
②①得，
所以，
当时，满足，
所以；
（2）由（1）可得，
所以，
则
，
所以数列的前项和.
17．【正确答案】(1)证明见详解；
(2).
【详解】（1）在菱形中，连接，则△是等边三角形，
∵是的中点，∴
在四棱锥中，
∵，，,平面
∴平面,
∵平面，
∴.
（2）∵菱形的边长为是的中点，，.
由（1）知平面，
以为坐标原点，以为轴正方向，为轴负方向建立空间直角坐标系（如图）
则，，，
设，则，
由，，得，
解得，∴
，，，
设平面的法向量分别为m=x1,y1,z1，由得，令，则，，
则平面的一个法向量为.
设平面的法向量分别为n=x2,y2,z2，由得，
则令，则，则平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，则
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
18．【正确答案】(1)
(2).
【详解】（1）圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
设动圆M的半径为，则依题意有：，
，
点M的轨迹是以为焦点的椭圆，
其中
，
.
（2）圆的半径，在中，为AB的中点，
和互补，
即，
即，整理得,
在中,，
设Px0,y0，则，
满足，
，
同理可得，
所以，
，所以，所以
所以，
因为
所以，因为，所以解不等式得.
19．【正确答案】(1)2
(2)证明见详解
(3)
【详解】（1）因为，所以，
则，
故曲线在点处的曲率.
（2）因为，所以.
，
则，
故曲线在其上任意一点处的曲率为定值，且该定值为.
（3）因为，
所以，
则，
则，即.
令因为，
则，
即存在，使得不等式成立.
令，
则在上恒成立，
则在上单调递减，
则，解得或，
故的取值范围为.抽中小球的颜色
红色
黄色
白色
黑色
得分
1
2
3
4