2024-2025学年广西壮族自治区贵港市高三上学期11月月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年广西壮族自治区贵港市高三上学期11月月考数学检测试题（附解析），共22页。试卷主要包含了 已知一组数据为， 设，，则下列结论错误的是， 已知函数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写清楚，然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知复数z在复平面内对应的点为，是z的共轭复数，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】求出，再由复数的除法运算可得答案.
∵复数z在复平面内对应的点为，
∴，，
.
故选：B．
2. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由绝对值不等式及一元二次不等式的解法求出集合和，然后根据交集的定义即可求解.
解：由题意，集合，或，
所以，
故选：B.
3. 已知一组数据为：，，，，，，，，，，则这组数据（）
A. 中位数为B. 众数为C. 百分位数为3D. 平均数为
【正确答案】C
【分析】根据数据的样本的数字特征值的概念分别判断各选项.
将数据从小到大排列为：，，，，，，，，，，共个数，
中位数为，A选项错误，
出现最多的是和，均出现次，故众数为2和3，B选项错误，
，故分位数为，C选项正确，
平均数为，D选项错误；
故选：C.
4. 已知抛物线的焦点为，准线为为上一点，垂直于点为等边三角形，过的中点作直线，交轴于点，则直线的方程为（）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】设直线与轴交于点，连接，说明为矩形，得，求得的斜率为，直线方程可求.
设直线与轴交于点，连接，
因为焦点F1,0，所以抛物线的方程为，准线为，
则，因为是等边三角形，的中点为，
则轴，所以准线为，为矩形，则，
故是边长为4的等边三角形，
易知，则.
因为，所以直线的斜率为,
直线的方程为.
故选：B
5. 设，，则下列结论错误的是（）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，且，则
【正确答案】B
【分析】由不等式的性质可判断A，B；由基本不等式可判断C；由在0,+∞上单调递增可判断D.
对于A，若，则，则，正确；
对于B，若，则，则，不正确；
对于C，若，则，正确；
对于D，因为函数在0,+∞上单调递增，
，，正确
故选：B.
6. 黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器．该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足．器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收．黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径，足径，高，其中底部圆柱高，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（）（附：的值取3，）
AB. C. D.
【正确答案】B
【分析】首先求圆台母线长，再代入圆台和圆柱侧面积公式，即可求解.
设该圆台的母线长为，两底面圆半径分别为，（其中），
则，，，
所以，
故圆台部分的侧面积为，
圆柱部分的侧面积为，
故该黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为.
故选：B.
7. 在平行四边形ABCD中，已知，，，，则（）．
A. B. C. 6D. 9
【正确答案】A
【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的数量积的运算律，可以得所求数量积的值.
由题意可得：，，
∵，①
，②
①－②得：，即，
∴．
故选：A．
8. 若在x∈0,+∞上恒成立，则的最大值为（）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】易知，原式可变形为，结合隐零点的解题思路，求出，由可得，结合函数的单调性解得，即可求出a的取值范围即可.
由题意知，，由，得.
原式可化为，
设，则，
又函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，
则当时，，当时，，
故存在使得，即，得，即，
且当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故，
所以，
即，设，
由函数在在单调递减，
知函数在在单调递减，且，所以，
所以，故，即，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为.
故选：C
方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：
形如的恒成立的求解策略：
1、构造函数法：令，利用导数求得函数Fx的单调性与最小值，只需恒成立即可；
2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数φx的单调性与最值即可；
3，数形结合法：结合函数y=fx的图象在y=gx的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.
9. 给出下列四个命题，其中不正确命题为（）
A. 是的充分不必要条件
B. 是的必要不充分条件
C. 是函数为奇函数的充要条件
D. 是函数在上单调递增的既不充分也不必要条件
【正确答案】ABD
【分析】对于A项，根据单调性验证充分性和必要性；对于B项，取特值验证必要性不成立；对于C项，充分性考察幂函数的奇偶性，必要性求出和对应系数相等；对于D项，必要性根据幂函数的单调性验证.
对于A 项，设函数，因为在上单调递增，
则，
因为在上单调递增，当时，即，所以充分性成立；
若，即，又因为在上单调递增，所以，必要性成立；
所以“”是“”的充要条件，A不正确．
对于B项，取满足，但是不满足，
则“”不是“”的必要条件，B不正确．
对于C 项，时，的定义域为关于原点对称，
又因为，
所以是定义在奇函数，所以充分性成立；
若为奇函数，则
并且，又因为，则，所以必要性成立.
故是函数为奇函数的充要条件，所以C正确.
对于D项，因为函数在上单调递增，所以，故必要性成立，所以D项不正确.
故选：ABD．
10. 已知函数，则下列说法正确的是（）
A. 若，则将的图象向左平移个单位长度，能得到函数的图象
B. 若，则当时，的值域为
C. 若在区间上恰有个零点，则
D. 若在区间上单调递增，则
【正确答案】AD
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断．
，
当时，，则将的图象向左平移个单位长度得到：
，故A正确；
当时，，当时，，
故，则的值域为，故B错误；
令，，则，，
又，
若在区间上恰有个零点，则，解得，故C错误；
若在区间上单调递增，
则，又，所以，解得，
又，所以，
由可得，
要使在区间上单调递增，则，解得，故D正确．
故选：AD．
11. 双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0，左、右顶点分别为，，为坐标原点，如图，已知动直线与双曲线左、右两支分别交于，两点，与其两条渐近线分别交于，两点，则下列命题正确的是（）
A. 不存在直线，使得
B.在运动的过程中，始终有
C. 若直线的方程为，存在，使得取到最大值
D. 若直线的方程为，，则双曲线的离心率为
【正确答案】ABD
【分析】根据双曲线与直线的位置关系可判断A选项，联立直线与双曲线，直线与直线，结合韦达定理可得线段与线段的中点重合，即可判断B选项，易知，即可得知无最大值，判断C选项，根据，可得，即可得离心率.
A选项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，A选项正确；
B选项：设直线，与双曲线联立，
得：，
设Px1,y1，Qx2,y2，由根与系数关系得：，，
所以线段中点即，
将直线与渐近线联立得点，
将直线与渐近线联立得点，
所以线段中点，
所以线段与线段的中点重合，所以，故B选项正确；
C选项：由B选项可得，
则，
因为为定值，当越来越接近渐近线的斜率时，趋向于无穷，
所以会趋向于无穷，无最大值，故C选项错误；
D选项：联立直线与渐近线，解得，
联立直线与渐近线，解得，
由题可知，，所以，即，
所以，解得，
所以，D选项正确；
故选：ABD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 某学校在校庆晚会期间连续播放6个广告，其中4个不同的商业广告和2个不同的宣传广告，要求最后播放的必须是宣传广告，且2个宣传广告不能相邻播放，则不同的播放方式有______种.
【正确答案】192
【分析】先考虑最后位置必为宣传广告，再考虑4个商业广告的顺序，最后另一宣传广告插入4个商业广告之间，即可求解.
先考虑最后位置必为宣传广告，有种，
再考虑4个商业广告的顺序，有种，
另一宣传广告插入4个商业广告之间，有种，
故共有种.
故192.
13. 已知数列满足，且，该数列的前项和为，则______.
【正确答案】4049
【分析】由题意写出求和的式子，利用分组求和与等差数列的求和，可得答案.
.
故4049.
14. 已知函数则函数的零点个数是___________.
【正确答案】5
【分析】令，，则，分别作出和直线，得到两交点的横坐标，再由图象观察，即可得到所求零点个数．
解：令，，
则，
分别作出和直线，
由图象可得有两个交点，横坐标设为，，
则，，
即有有2根；
时，有3个不等实根，
综上可得的实根个数为5，
即函数的零点个数是5．
故5．
四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，.
（1）求角；
（2）已知直线为的平分线，且与交于点，若，，求的周长.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再根据同角三角函数关系式可得解；
（2）根据余弦定理及三角形面积列方程，解方程可得，即可得周长.
【小问1】
在中，由正弦定理可知可转化为，
即，
即，，
由在中，，
则；
【小问2】
在中，
由，
即，
又直线为的平分线，
则，
所以，
即，
又由余弦定理可得，即，
可知，
解得或（舍），
所以的周长为.
16. 已知函数.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求实数的值
（2）若，求函数在区间上的最大值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得参数值；
（2）求导，构造函数，再根据确定的最值，进而可得的单调性，即可得最值.
【小问1】
因为，
所以，
所以，
因为曲线在点处的切线方程为，
切线的斜率为，
所以，得，解得：；
【小问2】
当时，令，，
所以在恒成立，
即单调递增，
又，，
所以至少存在唯一的实数，使得，
当时，，，函数单调递减；
当时，，，函数单调递增，
又，，
又函数，，
当时，，函数单调递增，
所以当时，，
所以，
所以，
所以.
在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．
17. 如图，在四棱锥中，底面，若四边形为菱形，，且分别为的中点.
（1）试判断直线与是否垂直，并说明理由；
（2）若四棱锥体积为，求异面直线与所成角的余弦值.
【正确答案】（1）直线与不垂直，理由见解析；
（2）.
【分析】（1）根据给定条件，利用反证法，结合线面垂直的性质、判定及菱形的性质导出矛盾即可得证.
（2）利用给定的体积求出，进而求出，再利用几何法结合余弦定理求解即得.
【小问1】
直线与不垂直，证明如下：
假设，连接，连接，由分别为的中点，得，
由平面，得平面，而平面，则，
又，平面，于是平面，又平面，
则，由四边形是菱形，得，因此，与矛盾，
所以直线与不垂直.
【小问2】
菱形中，，则，
菱形的面积，而平面，
于是四棱锥的体积为，解得，
由平面，得，
，，
由，得或其补角即为异面直线与所成的角，
在中，，由余弦定理得，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
18. 如图，已知椭圆上、下焦点分别为，，焦距为2，离心率为，称圆心在椭圆上运动，且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记直线与椭圆的另一个交点为点，“环绕圆”的面积为，三角形的面积为，试判断，是否存在点，使，若存在，求满足条件的直线的条数，若不存在，请说明理由；
（3）若过原点可作“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于、两点，直线，的斜率存在，记为，，求的取值范围.
【正确答案】（1）；
（2）存，2条；（3）.
【分析】（1）根据焦距、离心率及参数关系求标准方程；
（2）设直线为，，联立椭圆并应用韦达定理得，，根据及已知列方程求参数k，即可得答案.
（3）设切线方程为，切线方程为，且，根据相切关系得到是的两个不相等实根，由韦达定理及椭圆有界性求范围.
【小问1】
由题意，，得，故椭圆的标准方程为；
【小问2】
由（1）知：，显然直线不与轴重合，
设直线为，，
联立，得，显然，
所以，，
则，
圆半径为1，则，故，
所以（负值舍），即满足条件的直线有2条；
【小问3】
设切线方程为，切线方程为，且，
圆与相切，则，化简得，
同理，
所以是的两个不相等实根，则，
又在椭圆上，故，则，
由存在，则，即，
所以.
19. 已知集合，，若中元素的个数为，且存在，，使得，则称是的子集.
（1）若，写出的所有子集；
（2）若为的子集，且对任意的，，存在，使得，求的值；
（3）若，且的任意一个元素个数为的子集都是的子集，求的最小值.
【正确答案】（1）；
（2）2；（3）13.
【分析】（1）根据子集的定义，即可容易求得；
（2）取，求得，再利用反证法假设，推得与矛盾即可；
（3）令，讨论时不满足题意，再验证时的情况满足题意，即可求得的最小值.
【小问1】
当时，，的所有子集为.
【小问2】
当时，取，因为，所以是的子集，此时；
若，设且，
根据题意，，其中；
因为，所以，所以；
又因为，所以；
因为，所以，
所以；
因为，所以，
所以，与矛盾.
综上所述，.
【小问3】
设
，
设的元素个数为，
若不是的子集，
则最多能包含中的一个元素以及中的元素；
令，易验证不是的子集，
当时，的任意一个元素个数为的子集都不是的子集，
所以，若的任意一个元素个数为的子集都是的子集，则；
当时，存在，使得中必有两个元素属于，
同时中两个元素之和为的某个正整数指数幂，
所以是的子集；
所以，的最小值为.
关键点点睛：本题考查集合新定义问题，处理问题的关键是充分把握题中对子集的定义，同时要熟练的使用证明方法，属综合困难题.