2024-2025学年湖北省荆州市沙市高二上学期11月期中考试数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年湖北省荆州市沙市高二上学期11月期中考试数学检测试题（附解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由直线方程，结合斜率与倾斜角关系求倾斜角的大小.
由直线方程为，即斜率为，
若倾斜角为，则，故.
故选：B
2. 在空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点坐标是（）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据给定条件，利用空间直角坐标系中点坐标公式求解即得.
依题意，点，则线段的中点坐标是.
故选：B
3. 李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各1只，从兔窝中每次摸取1只，有放回地摸取3次，则3次摸取的颜色不全相同的概率为（）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由题意可知：每次摸到白、灰、黑三种颜色的概率均为，根据独立事件概率乘法公式结合对立事件运算求解.
由题意可知：每次摸到白、灰、黑三种颜色的概率均为，
记“3次摸取的颜色不全相同”为事件A，则，
所以.
故选：B.
4. 已知直线的方程为，则过点且与垂直的直线方程为（）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据垂直得到，由点斜式可求直线的方程.
直线的方程为，则，
根据两直线垂直知所求直线的斜率为，
又直线过点，所以与直线垂直的线方程为，即.
故选：B.
5. 空间四边形OABC中，，，，点M，N分别为OA，BC中点，则等于（）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】由N为BC中点，可得，由M为OA的中点，可得，利用，即可求出结果.
为BC中点，，
为OA的中点，，
.
故选：B
6. 已知点 ，点在直线 上，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】确定点到直线的距离，即为的最小值，利用点到直线的距离公式即可求得答案.
由题意可知点到直线的距离，即为的最小值，
所以的最小值为，
故选：B.
7. 已知圆C的圆心在直线上，并且圆 C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（）
A. B. C. D.
【正确答案】D
联立两圆方程，求出交点的坐标，得的垂直平分线方程，与直线联立即可求解.
设圆与圆的交点为
联立两圆方程，得，解得，或
不妨记，，
于是的中点为，
从而可得AB的垂直平分线方程为，即，
联立与，得，解得，
即圆心坐标为.
故选：D
8. 如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据题意可知，点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离，进而利用向量法求异面直线与的距离，从而可得面积的最小值.
因为，点到直线的距离最小时面积取得最小值,
而点在线段上，直线与互为异面直线，
因此点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离.
下面用向量法求异面直线与的距离：
以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，,,
，，,
设异面直线与公垂线的方向向量为，则，
即，得，
令，则，即，
于是异面直线与的距离为，
又，
所以面积的最小值为.
故选：B
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 事件A，B的概率分别为：，，则（）
A. 若A，B为互斥事件，
B.
C. 若A，B相互独立，
D. 若，则A，B相互独立
【正确答案】AD
【分析】利用互斥事件的定义及性质判断A选项；利用和事件的关系判断B选项；利用相互独立事件的定义及性质判断C选项；利用条件概率公式，求解事件A与B的积事件，根据独立事件关系确定A、B的独立性可判断D.
选项A：若A，B为互斥事件，则，
所以，故A正确；
选项B：，故B错误；
选项C：若A，B相互独立，
所以，故C错误；
选项D：因为，
所以，则A，B相互独立，故D正确；
故选：AD.
关键点点睛：通常判断两个事件是否相互独立，常用以下两种方法：
1、事件独立性的定义：如果事件A和事件B相互不影响，则称事件A和事件B是相互独立的；
2、乘法原理：如果事件A和事件B是相互独立，则它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积.
10. 已知实数，满足方程，则下列说法不正确的是（）
A. 的最大值为B. 的最大值为
C. 的最大值为D. 的最大值为
【正确答案】CD
【分析】设，则只需直线与圆有公共点，利用点到直线的距离公式可得不等式求得z的范围，可判断A；同理可判断D；设，利用几何意义求得t的范围判断B；设，则直线和圆有公共点，进而可得不等式求得k的范围判断C.
由题意知方程即表示圆，圆心为，半径为，
对于A，设，则只需直线与圆有公共点，
则，解得，
即的最大值为，A正确；
对于B，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离，
而上的点到原点距离的最大值为，
即t最大值为，故的最大值为，B正确；
对于C，设，则，则直线和圆有公共点，
则，解得，即的最大值为，C错误；
对于D，设，则直线与圆有公共点，
则，解得，
即的最大值为，D错误；
故选：CD
11. 已知空间四面体OABC，则（）
A. 当，则点P在平面ABC内
B. 若该四面体的棱长都为a，则异面直线OA，BC间的距离为
C. 若M为AB中点，则直线OC上存在点N，使得
D. 若，，则
【正确答案】ABD
【分析】对于A：根据四点共面的结论分析判断；对于B：将正四面体嵌套在正方体内，结合正方体的性质分析判断；对于C：分类讨论点N是否与点O重合，结合异面直线的判定定理分析判断；对于D：根据空间向量的数量积运算结合向量垂直分析判断.
对于A：若，且，
所以四点共面，即点P在平面ABC内，故A正确；
对于B：若该四面体的棱长都为a，可知四面体OABC为正四面体，
将其嵌套在正方体内，如图所示：可知正方体的棱长为，异面直线OA，BC间的距离即为正方体的棱长，故B正确；
对于C：因为点N在直线OC上，
若点N与点O重合，则，不满足；
若点N与点O不重合，则平面OBC，平面，，
可知为异面直线，不满足；
综上所述：直线OC上不存在点N，使得，故C错误；
对于D：若，，
则即
，即
∴，
可得，
所以，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，则__________.
【正确答案】.
【分析】本道题关键抓住，代入向量的坐标，计算，即可．
，即可．
本道题考查了向量的坐标运算，考查了向量的加减法，难度较容易．
13. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．
【正确答案】##0.3
【分析】根据古典概型计算即可
解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；
其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.
故答案为.
解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为
甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率
故
14. 过直线上任意一点作圆：的两条切线，则切点分别是，则面积的最大值为______.
【正确答案】##
【分析】由得出点在以为直径的圆上是关键，通过两圆方程相减得到直线的方程，从而求出面积的表达式，运用函数思想求解即得.
如图，设点，因,故点在以为直径的圆上，
因圆心，半径为，故圆方程为：，
又圆：，将两式左右分别相减，整理得直线的方程为：，
于是，点到直线的距离为：，，
故的面积为：，
不妨设则，且，故，
因在上单调递增，故，此时，
即时，点时，面积的最大值为.
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，.（1）求证：是平面的法向量；
（2）求平行四边形的面积.
【正确答案】(1)证明见解析；(2).
试题分析：
(1)由题意结合空间向量数量积的运算法则计算可得，.则，，结合线面垂直的判断定理可得平面，即是平面的法向量.
(2)利用平面向量的坐标计算可得，，，则，，.
试题解析：
（1）∵，
.
∴，，又，∴平面，
∴是平面的法向量.
（2）∵，，
∴，
∴，
故，.
16. 已知点、、，点是线段的中点，，垂足为.
（1）求直线的方程；
（2）求点的坐标；
（3）求的面积.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）求出线段的中点的坐标，利用两点式可得出直线的方程；
（2）求出直线的方程，将直线、的方程联立，即可解得点的坐标；
（3）求出、，由可得结果.
【小问1】
解：因为、，所以的中点为，
所以直线的方程为，即.
【小问2】
解：由（1）知，因为，所以，
所以直线方程，即.
联立，解得，所以点的坐标为.
【小问3】
解：因为，，
所以.
17. 某市为传播中华文化，举办中华文化知识选拔大赛. 决赛阶段进行线上答题. 题型分为选择题和填空题两种，每次答题相互独立. 选择题答对得5分，否则得0分；填空题答对得4分，否则得0分，将得分逐题累加.
（1）若小明直接做3道选择题，他做对这3道选择题的概率依次为45，，23. 求他得分不低于10分的概率；
（2）规定每人最多答3题，若得分高于7分，则通过决赛，立即停止答题，否则继续答题，直到答完3题为止. 已知小红做对每道选择题的概率均为，做对每道填空题的概率均为. 小红依次做一道选择题两道填空题，求小红通过考试的概率.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】由相互独立事件的概率乘法公式求解即可
【小问1】
记“他得分不低于10分”为事件，
则
，
即得分不低于10分的概率；
【小问2】
记“小红通过考试”为事件，
则，
即小红通过考试的概率为.
18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，边长是，侧棱底面，，是的中点，作交于点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求平面与平面的夹角的大小.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析（3）
【分析】（1）连接，利用中位线可证线线平行，进而可证线面平行；
（2）根据线面垂直及正方形可证平面，即，再由，可得证；
（3）建立空间直角坐标系，利用坐标法可得平面的法向量，进而可得面面角.
【小问1】
连接，设，连接，
则为中点，
又是的中点，
，
又平面，平面，
平面；
【小问2】
底面，底面，
，
又是正方形，
，
又，平面，且，
平面，
平面，
，
，
，
，平面，，
平面，
平面，
，
，且，，平面，
平面；
【小问3】
由（2）得平面，则平面，
所以可以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
即，，，
设平面的法向量，
则，令，则，
设平面的法向量，
则，令，则，
所以，
即平面与平面夹角余弦值为，
所以平面与平面夹角为.
19. 已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点.
（1）当时，求AB的长；
（2）是否存在弦AB被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由；
（3）记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.并计算出定值.
【正确答案】（1）
（2）存在，
（3）证明见解析，
【分析】（1）由题意求出直线方程，利用圆的几何性质求弦长即可；
（2）假设存在，求出弦心距，讨论直线的斜率是否存在，利用点到直线距离即可得解；
（3）分类讨论直线斜率是否存在，存在时由根与系数的关系及斜率公式化简即可证明.
【小问1】
因为，所以，直线的方程为，
圆的圆心为，半径，
设圆心到直线的距离为，则，
所以；
【小问2】
取的中点为，如图，

假设存在弦被点三等分，设，，则，
，解得，
当斜率不存在时，，故斜率存在，
设斜率，则：，
，解得，
即存在弦被点三等分，直线的斜率为；
【小问3】
由题意知，,
当直线斜率不存时，，，
不妨取，
则，此时；
直线斜率存在时，设方程为，
代入圆的方程可得，
设，则，
又，
所以，
综上，为定值.
方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．