2024-2025学年吉林省高二上学期11月月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年吉林省高二上学期11月月考数学检测试题（附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知在等差数列中，，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
3．已知椭圆，为其左右两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
4．在递增等比数列中，，，则公比q为( )
A．B．2C．3D．
5．直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．B．4C．D．
6．德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（ ）
A．96B．97C．98D．99
7．已知抛物线的焦点到其准线的距离为是抛物线上一点，若，则的最小值为（ ）
A．8B．6C．5D．4
8．已知为双曲线上关于原点对称的两点，点与点关于轴对称，，直线交双曲线的右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点2,3
B．直线在轴上的裁距为
C．过点，且在两坐标轴的截距相等的直线方程为
D．过点−2,3且垂直于直线的直线方程为
10．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．若点在函数（，均为常数）的图象上，则为等差数列
B．若是等差数列，则是等比数列
C．若是等差数列，，，则当时，最大
D．若，则为等比数列
11．经过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，设，，则下列说法中正确的是（ ）
A．当与轴垂直时，最小B．
C．以弦为直径的圆与直线相离D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 S8=12 ， S12=15 ，则 S16= _________.
13．已知直线与直线，若，则与之间距离是
14．已知数列，满足，则 ；若数列的前项和为，且，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列是首项为2，各项均为正数的等比数列，且是和的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前2024项和.
16．已知圆经过和两点，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)从点向圆C作切线，求切线方程．
17．已知直线与椭圆相交于，两点．
（1）若椭圆的离心率为，焦距为，求椭圆的方程；
（2）在（1）的椭圆中，设椭圆的左焦点为，求线段的长及的面积．
18．已知数列的前项和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为.求.
(3)在（2）条件下若都有不等式恒成立，求的取值范围.
19．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率.
(1)求双曲线C的方程；
(2)记双曲线C的右顶点为，过点作直线，与C的左支分别交于两点，且，为垂足.
（i）证明：直线恒过定点，并求出点坐标；
（ii）判断是否存在定点，使得为定值，若存在说明理由并求出点坐标.
答案
1．【正确答案】C
【详解】由题设，令其倾斜角为,，则，
所以.
故选：C
2．【正确答案】C
【详解】由等差数列中，因为，可得，所以，
又由，且，可得.
故选：C.
3．【正确答案】C
【分析】由椭圆定义求焦点相关三角形周长.
【详解】由题意，，而，
故的周长为.
故选：C
4．【正确答案】B
【详解】，，
故可得，，两式相比可得：，
即，解得或，又，故；
又为递增数列，故.
故选：B.
5．【正确答案】D
【详解】由圆可得：圆心坐标为，半径为3.
因为圆心到直线的距离为：，
所以，直线被圆截得的弦长为.
故选：
6．【正确答案】C
【分析】令，利用倒序相加原理计算即可得出结果.
【详解】令，
，
两式相加得：
，
∴，
故选:C．
7．【正确答案】D
【详解】由焦点到其准线的距离为得；
设在准线上的射影为如图,
则，
当且仅当共线时取得等号．所以所求最小值是4．
故选：D．
8．【正确答案】D
【分析】设，利用点差法得到，即可求出离心率.
【详解】设，则，
由，则点为线段的中点，
则，从而有，
又，所以，
又由，
则，即，
所以，
所以．
故选：D.
双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
9．【正确答案】ABD
【详解】对于A：得直线过定点2,3，故A项正确，符合题意；
对于B：令，得，故在轴上的截距为，故B项正确，符合题意；
对于C：过点，且与坐标轴截距相等，故C项错误，不符合题意；
对于D：由的斜率分别为，则有，
故两直线互相垂直，将−2,3代入直线方程得，
故−2,3在直线上，故D项正确，符合题意；
故选：ABD.
10．【正确答案】AB
【详解】对于A，由点在函数（k，b均为常数）的图象上，可得，
因为为常数，所以为等差数列.A正确；
对于B，因为为等差数列，所以为常数，所以为常数，所以是等比数列，故B正确；
对于C，，所以，
又因为，所以公差，所以当或时，最大，C错误；
对于D，，，，，所以不是等比数列，D错误.
故选：AB
11．【正确答案】ABD
【详解】

如图，设直线为，
联立，
得，即，
所以，，
故D正确，
，
将代入得，
故当时，取得最小值，此时直线与轴垂直，故A正确，
，
代入，，
得，故B正确，
设的中点为，则以弦为直径的圆的圆心为，半径为
分别过作抛物线的垂线，垂足分别为,
由抛物线的定义知，，
则,
故以弦为直径的圆与直线相切，C错误，
故选：ABD
12．【正确答案】16
【详解】因为等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,所以 S4 , S8−S4 , S12−S8 , S16−S12 成等差数列,所以 2S8−S4=S4+S12−S8 ，即 212−S4=S4+3 ，
解得 S4=7 ，所以 S8−S4−S4=−2 ，所以 S16−S12=3−2=1 ，解得 S16=16 .
13．【正确答案】
【详解】直线过点，
由，与之间距离等于点到直线的距离，
故距离.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】因为 ，
所以 ，所以
，
又因为，
所以，，，
当时也适合上式，
所以.
由，
因为，所以，解得
当时，
当时，
当时，
所以
所以
故；.
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）设数列的公比为，则.
因为是和的等差中项，所以，
即，
解得或（舍去）或（舍去）
所以.
（2）由（1）知
，
.
，
故的前2024项和.
16．【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）由题可知,所以线段的中垂线的斜率等于1，
又因为的中点为，
所以线段的中垂线的直线方程为，
即，
联立 解得 ，所以圆心
又因为半径等于,所以圆的方程为.
（2）设圆的半径为，则，
若直线的斜率不存在，因为直线过点，
所以直线方程为，
此时圆心到直线的距离，满足题意;
若直线的斜率存在，设斜率为，
则切线方程为，即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，
解得，
所以切线方程为，即.
所以切线方程为或.
17．【正确答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据椭圆的离心率为，焦距为，建立方程求解参数从而求得椭圆的方程；
（2）直线与椭圆的方程联立，利用韦达定理可求得线段长度，求出点到直线的距离，即可求得的面积．
【详解】（1）椭圆的离心率为，焦距为，所以，
得，所以，则椭圆的方程为；
（2）联立方程组得
设，则
，，所以
由（1）知左焦点为，直线方程为，
所以点到直线的距离为
则的面积为．
解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
18．【正确答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为①，
当时可得，即.
当时，②
由①-②得，即，
即是以1为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）因为，
所以，
，
两式相得，，
即，
则，
故.
（3）由（2）知，
所以有，
即，
依题意，不等式恒成立，
因为随着n增大而减小，所以，
即的取值范围为.
19．【正确答案】(1)
(2)（i）证明见解析，；（ii）存在，，理由见解析
【详解】（1）由题意，双曲线的中心为坐标原点，
左焦点为，离心率为，
可得，解得，
所以双曲线方程.
（2）证明：（i）由（1）知，当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立方程组，整理得，
，即，
设，由韦达定理可得.
因为，所以，可得，
即，
即，
整理得，
即，
即，
可得，解得，
将代入直线，
此时直线过定点，不合题意；
将代入直线，
此时直线过定点，
当直线的斜率不存在时，不妨设直线方程为，
因为，所以为等腰直角三角形，
此时点坐标为，
所以（舍）或，
此时过定点，
综上可知，直线恒过定点
（ii）因为，此时存在以为斜边的直角三角形，
所以存在定点为中点满足，此时.