2024-2025学年江苏省常州市高二上学期期中数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年江苏省常州市高二上学期期中数学检测试卷（附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在平面直角坐标系Oxy中，直线的倾斜角等于（ ）
A．B．C．D．
2．若点在圆的外部，则实数的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
3．曲线与曲线（）的（ ）
A．短轴长相等B．长轴长相等
C．焦距相等D．离心率相等
4．已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
5．已知直线与直线平行，则与之间的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．已知抛物线的焦点为，定点为抛物线上一动点，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
7．已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知圆与圆交于两点，则面积取最大值时圆心的纵坐标为（ ）
A．1B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．顶点在原点，且过点的拋物线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
10．已知圆，直线，则以下命题正确的有（ ）
A．直线恒过定点B．直线与圆恒相交
C．轴被圆截得的弦长为D．直线被圆截得的弦长最短时，的方程为
11．如图，圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，圆心的轨迹记为曲线，则（ ）

A．的方程为B．的最小值为
C．D．曲线在点处的切线与线段垂直
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程是 .
13．已知圆，若圆与圆与圆恰有三条公切线，则实数的值是 .
14．过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知点，直线.
(1)求点到直线的距离；
(2)求点关于直线l的对称点的坐标.
16．已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切.
(1)求圆的方程；
(2)经过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程.
17．已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)设为坐标原点，若直线过点，与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且的面积为，求直线的方程.
18．已知椭圆的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)A为椭圆C的左顶点，点在椭圆上，且点不在轴上，线段AP的垂直平分线与轴相交于点，若为等边三角形，求直线AP的方程.
19．已知拋物线的焦点，直线，
(1)设直线与x轴交于点，直线与抛物线交于两点，其中在第一象限，求出所有满足的点的坐标.（其中点与点对应，点与点对应）；
(2)过直线上的点作抛物线的两条切线，切点分别为，求的最小值.
答案
1．【正确答案】A
【详解】直线化为斜截式，设其倾斜角为，
则直线的斜率为，
因为，所以，
故选：A.
2．【正确答案】C
【详解】因为点在圆的外部，
则，即，解得，
故选：C.
3．【正确答案】C
【详解】A选项，明显短轴不相等，一个，故错误；B选项，一个
另一个为，故错误．D选项，离心率，结合前面提到了a不相等，故错误；曲线的焦半径满足，而焦半径满足
，故两曲线的焦半径相等，故焦距相等，C正确．
4．【正确答案】B
【详解】当双曲线焦点在轴上时，设双曲线方程为，
则渐近线方程为，实轴长为，
由题意得，，解得，
则该双曲线的标准方程为．
当双曲线焦点在轴上时，设双曲线方程为，
则渐近线方程为，实轴长为，
由题意得，，解得，
则该双曲线的标准方程为．
综上，该双曲线的标准方程为或．
故选：B．
5．【正确答案】A
【分析】根据两条直线平行，求出值，再应用平行线间的距离公式求值即可.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，解之得，
于是直线，即，
所以与之间的距离为.
故选A.
6．【正确答案】A
【详解】抛物线的焦点为，准线方程是，
过点作准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为，
∵点在抛物线上，∴根据抛物线的定义得，
∴，当且仅当共线时取等号，
∴的最小值为8．
故选：A．
7．【正确答案】C
【详解】设，因为点在双曲线上，
则，两式相减可得，
整理可得，又线段的中点是，则，
所以，又直线过点，得到，所以，得到，
故选：C.
8．【正确答案】D
【详解】由题意得：，所以圆心，半径，
由两圆相交于两点可知：，
所以的面积
，
因为是半径为1的圆，所以，
当时，，又，
此时由，解得，，故可以取最大值2；
所以当时，最大，且是锐角，
根据函数的单调性可知：当时，最大，此时三角形面积最大，
圆心N的纵坐标为，
故选：D
9．【正确答案】AC
【详解】∵点在第二象限，
∴拋物线的焦点在轴的负半轴上，或在轴的正半轴上．
当拋物线的焦点在轴的负半轴上时，
设抛物线的标准方程为，
∵点在抛物线上，则，解得，
∴抛物线的标准方程是；
当拋物线的焦点在轴的正半轴上时，
设抛物线的标准方程为，
∵点在抛物线上，则，解得，
∴抛物线的标准方程是.
综上，抛物线的标准方程是或.
故选：AC.
10．【正确答案】BCD
【详解】对于A，由，则，
令，解得，所以直线恒过定点，故A错误；
对于B，由，则圆心，半径，
因为，即定点在圆内，故B正确；
对于C，令，整理圆的方程为，解得或，
所以轴被圆截得的弦长为，故C正确；
对于D，当时，直线被圆截得的弦长最短，
由直线的斜率，直线的斜率，且，
则，所以直线的方程为，化简可得，故D正确.
故选：BCD.
11．【正确答案】BCD
【详解】因为圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
对于选项A，设动圆的半径为，由条件得，则，且不重合，
故点的轨迹为以为焦点的椭圆（去掉重合的点），则曲线的方程为，故选项A错误；
对于选项B，由图可知与互补，设，
在中，，则，
又，所以，当且仅当时取等号，
又，所以，得到的最小值为，故选项B正确；
对于选项C，，
当且仅当时等号成立，故选项C正确；
对于选项D，设点，
下面先证明椭圆上一点的的切线方程为.
联立，消去得，
则，又，所以.
所以椭圆上一点的的切线方程为.
则过点的椭圆的切线方程为，切线斜率为，
又，所以，
则
得，解得，
所以，
又，
因为，所以，所以，所以，
所以，即曲线在点处的切线与线段垂直，故D正确

故选：BCD.
12．【正确答案】
【详解】设椭圆方程为，则，
解得，故椭圆方程为.
故
13．【正确答案】
【详解】因为两圆有三条公切线，故圆与圆相外切，
又圆的圆心为，半径为，
由，得到，则，
且圆的圆心为，半径为，
由题有，得到，解得，
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】设，则，圆的圆心，半径为，
由切圆于点，得，

则
，
当且仅当时，等号成立，
可知的最小值为，
整理可得，解得，
且，所以，
故答案为.
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为点，直线，
所以点到直线的距离为.
（2）设，则，即，解得，
所以点关于直线l的对称点的坐标为.
16．【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）由题意，设圆心，半径，
∵圆M经过点，∴，
∵圆M与直线相切，
∴圆心到直线的距离，
∴，化简，解得，
则圆心，半径，
所以圆M的方程为．
（2）由题意，圆心到直线的距离，
若直线的斜率不存在，其方程为，显然符合题意；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离由，解得，
则直线的方程为，即，
综上，直线的方程为或．
17．【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）∵双曲线的一条渐近线方程为，
∴，即，
∵双曲线的焦点坐标为，焦点到渐近线的距离为，
∴，即，
又，则，解得，
所以双曲线的方程为．
（2）由题意直线的斜率存在，设直线方程为，设，
由得，
由题意得，解得，
因为，
所以，
又点O到直线的距离，
所以的面积，
则，即，解得或，
又因为，所以，
所以直线的方程为或．

18．【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）因为离心率，即，短轴长为2，即，
又，解得，
所以椭圆C的方程为．
（2）由题意可知，由题意直线的斜率存在，设直线的斜率为，
因为点P不在x轴上，则，
设直线的方程为，，
联立，可得，
由题意可知，是方程的两根，
由韦达定理可得，∴，
所以，从而，
可得的中点为，
所以直线的垂直平分线方程为，
令，解得，即
因为为等边三角形，则，
即，
整理得，即，
解得，即，
所以直线AP的方程为或，
即或．
19．【正确答案】(1)或 (2)
【详解】（1）因为拋物线的焦点为，则，得到，所以拋物线，
由题知，由，得到，所以，
在中，，，
则，又，所以，
因为，且点与点对应，点与点对应，所以，
如图，易知，所以点在轴正半轴或轴负半轴上，
又因为，，得到，
所以点的坐标为或.
（2）设，则，，
再设切线的方程为，
联立方程组，整理得，
由，且，可得，
则切线的方程为，即.
由切线过点，可得.
同理，切线的方程为，
由切线过点，可得，
则直线的方程为，
联立方程组，整理得，
可得，
则
，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.