2024-2025学年江苏省泰州市高二上学期11月期中考试数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年江苏省泰州市高二上学期11月期中考试数学检测试题（附解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．直线的倾斜角的大小为（ ）
A．B．C．D．
2．圆不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．双曲线的一个焦点是，则（ ）
A．-1B．1C．-2D．2
4．直线与圆交于、两点，则的面积为（ ）
A．2B．C．D．
5．已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．点在直线上运动，，，则的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．已知、分别为椭圆的左右顶点，为椭圆上异于、的一点，若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262～公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，圆：上有且仅有一个点满足，则的取值可以为（ ）
A．1或3B．2C．5D．1或5
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．过点并且倾斜角为的直线方程为
B．直线与直线之间的距离为
C．直线在轴上的截距为
D．将直线绕原点逆时针旋转，所得到的直线为
10．已知圆，直线.则以下几个结论正确的有（ ）
A．直线恒过定点
B．圆被轴截得的弦长为
C．点到直线的距离的最大值是
D．直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为
11．《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的.已知动点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数.若某条直线上存在这样的点，则称该直线为“成双直线”，下列说法正确的是（ ）
A．动点的轨迹方程为：
B．的最大值为16
C．点为动点的轨迹上的任意一点，，，则的面积为
D．直线与动点的轨迹交于两点，则的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知直线，若，则 .
13．已知圆和圆，则两圆的公共弦的弦长为 .
14．已知抛物线的焦点为，则抛物线的准线方程是 ，点是抛物线上的动点，设点，当取得最小值时， .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高.
(1)求所在直线的方程；
(2)求高所在直线的方程.
16．已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点.
(1)求圆的方程；
(2)若圆与直线交于、两点，_____，求的值.
从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
条件①：圆被直线分成两段圆弧，其弧长比为；
条件②：；
条件③.
17．已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知、是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程.
18．已知表示圆的方程.
(1)求实数的取值范围；
(2)当圆的面积最大时，求过点的圆的切线方程；
(3)为圆上任意一点，已知点，在（2）的条件下，求的最小值.
19．如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求的方程；
(3)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值.
答案
1．【正确答案】B
【详解】由直线方程,可知直线的斜率，
设直线的倾斜角为，则，
又，所以，
故选．
2．【正确答案】C
【详解】圆化为(，
表示圆心为，半径为5的圆，如图所示：
所以，圆不经过第三象限．
故选：C．
3．【正确答案】D
【详解】由双曲线的一个焦点是，得，方程为，
则，解得.
故选：D
4．【正确答案】C
【详解】圆的圆心，半径，
点到直线的距离，
则，所以的面积为.
故选：C
5．【正确答案】B
【详解】设Mx,y，，，得，
所以点到轴的距离为.
故选：B.
6．【正确答案】C
【详解】点，都在直线的下方，
点关于直线的对称点，
于是，
当且仅当点是线段与直线的交点时取等号，
所以的最小值是5.
故选：C
7．【正确答案】A
【详解】依题意，，设点，则，即，
依题意，，因此，
所以椭圆的离心率.
故选：A
8．【正确答案】D
【详解】解：设，由，得，
整理得，又点是圆上有且仅有的一点，
所以两圆相切，
圆的圆心坐标为，半径为2，圆的圆心坐标为，半径为，
两圆的圆心距为3，
当两圆外切时，，得，
当两圆内切时，，得．
故选：D．
9．【正确答案】ACD
【详解】A.过点并且倾斜角为的直线方程为，故A正确；
B. 直线与直线之间的距离，故B错误；
C. 直线，时，，所以直线在轴上的截距为，故C正确；
D. 直线过原点，且倾斜角为，直线绕原点逆时针旋转，旋转后直线的倾斜角为，
也过原点，得到的直线方程为，故D正确.
故选：ACD
10．【正确答案】ABD
【详解】A.直线，不管为何值，满足方程，即可直线恒过定点，故A正确；
B.当时，，解得：，，所以圆被轴截得的弦长为，故B正确；
C.圆心到直线的距离的最大值是圆心与定点的距离，故C错误；
D.设直线的定点，当点为弦的中点时，此时弦长最短，即，，所以直线的斜率为2，所以直线的方程为，即，故D正确.
故选：ABD
11．【正确答案】AD
【详解】设，则，化简为，故A正确；
B.由A可知，，的最大值为，故B错误；
C.由椭圆方程可知，点是椭圆的左焦点，则，
即，，
，所以，则，故C错误；
D.四边形是平行四边形，即，
,
当，即时，等号成立，
所以则的最小值为，故D正确.
故选：AD
12．【正确答案】
【详解】由题意可知，，解得.
故
13．【正确答案】
【详解】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
而，即圆与圆相交，其公共弦所在直线的方程为，
点到直线的距离，
所以公共弦长为.
故
14．【正确答案】 2
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为；
设，则，
当且仅当时取等号，此时.
故；2
15．【正确答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由，边的中点，得点，又点，
则直线的斜率，直线的方程为，即，
所以所在直线的方程为.
（2）由（1）知，直线的斜率，
所以高所在直线的方程为，即.
16．【正确答案】(1)
(2)见解析
【详解】（1）设圆心，半径为，
则，解得：，
所以圆的方程为；
（2）若选条件①，则劣弧所对的圆心角为，所以圆心到直线的距离为，
即，解得：或；
若选条件②，，，所以圆心到的距离为，
即，所以或；
若选条件③，，则圆心到的距离为，
即，所以或.
17．【正确答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由双曲线与双曲线有相同的渐近线，设双曲线的方程为，
而点在双曲线上，因此，方程为，
所以双曲线的标准方程为.
（2）显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，
由消去得，
由线段的中点为M1,1，得，解得，
此时方程为，，因此，
所以直线的方程为，即.
18．【正确答案】(1)
(2)或
(3)
【详解】（1）圆的方程，
可化为，
∵该方程表示圆，∴，解得，
∴实数m的取值范围为．
（2）圆的半径，
∴当时，圆C的半径最大，即圆C的面积取得最大值，
此时圆的方程为，圆心，半径，
当切线斜率不存在时，其方程为，符合题意；
当切线斜率存在时，设其方程为y=kx−1，即，
∵圆心到切线的距离等于半径，
∴，解得，
∴切线方程，即，
综上，切线的方程为或.
（3）设Px,y，又，，，
则，
设，则表示圆上的点与点的距离的平方，
∵，则点在圆外，
所以，
则
∴的最小值为．
19．【正确答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意得解得，
故椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，
由得，
由，得，
则.
，
解得或
当时，直线经过点，不符合题意，舍去；
当时，直线的方程为.
（3）直线，均不与轴垂直，所以，则且，
所以
为定值.