2024-2025学年江苏省徐州市高二上学期12月月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年江苏省徐州市高二上学期12月月考数学检测试题（附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题5分，共40分，每题只有一个选项正确）
1．若直线与平行，则实数m等于（ ）
A．1B．C．4D．0
2．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．已知等比数列满足，，则（ ）
A．1B．2C．D．
4．曲线在点处的切线倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
5．椭圆x2＋4y2＝1的焦距为（ ）
A．B．C．2D．2
6．已知函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知圆：，圆：相交于P，Q两点，则（ ）
A．B．
C．D．
8．若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：（每题5分，共20分，每题有多个选项正确，全对得5分，部分选对得2分）
9．下列说法中，正确的有（ ）
A．过点并且倾斜角为0°的直线方程为
B．双曲线的渐近线方程为
C．点关于的对称点坐标为
D．抛物线的准线方程是
（2023春·江苏宿迁·高二期末统测）
10．已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A．B．为中的最大项
C．D．
（2023春·江苏泰州靖江·高二靖江高级中学期末测试）
11．设是等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A．
B．
C．数列的前n项和为
D．数列的前n项和为
（2023春·江苏宿迁·高二期末统测）
12．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，存在单调递增区间
B．当时，存在两个极值点
C．是为减函数的充要条件
D．，无极大值
三、填空题：（每题5分，共20分）
13．已知函数，则 .
14．已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax+b在x=2处取得极值9，则a+2b= .
（2023春·江苏镇江丹阳·高二丹阳高级中学期末测试）
15．已知数列是公差不为零的等差数列，，，成等比数列，第1，2项与第10，11项的和为68，则数列的通项公式是 .
16．过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为 ．
四、解答题：（共70分）
（2023春·江苏连云港市灌南县、灌云县·高二期末联考）
17．已知函数
(1)若，求函数在区间上的最大值；
(2)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围．
18．已知是各项均为正数的等比数列，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
19．已知圆C的圆心坐标为,且与y轴相切，直线l过与圆C交于M、N两点．且．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求直线l的方程．
20．设等比数列的各项都为正数，，前n项和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.
（2023春·江苏淮安·高二期末统测）
21．已知函数，．
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，若函数在上的最小值为，求实数a的值．
（2023春·江苏南京·高二南京师范大学附属中学期末测试改编）
22．已知函数，．
(1)求使恒成立的实数的取值范围；
(2)当时，是否存在实数，使得方程有三个不等实根？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
1．B
【分析】两直线平行的充要条件
【详解】由于 ，则 ， .
故选：B
2．C
【分析】将抛物线方程化为标准形式，由此可得焦点坐标.
【详解】由得：，焦点坐标为.
故选：C.
3．C
【分析】
根据等比数列的性质得到，设出公比，从而得到，得到答案.
【详解】
因为，所以，
设的公比为，则，
则，负值舍去，
故.
故选：C
4．C
【分析】利用导数求出切线的斜率，即可得出所求切线的倾斜角.
【详解】，则，所以，曲线在点处的切线的斜率为，因此，所求切线的倾斜角为.
故选：C.
本题考查利用导数求切线的倾斜角，考查导数几何意义的应用，考查计算能力，属于基础题.
5．B
【分析】
先把椭圆方程化为标准方程，得到，结合得到结果.
【详解】
先将椭圆x2＋4y2＝1化为标准方程，
则，．
故焦距为2c＝．
故选：B.
6．B
根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法求出函数的导数，再代入计算即可；
【详解】因为
所以
所以
故选：B
本题考查基本初等函数的导数计算，属于基础题.
7．B
【分析】联立两圆，求出交点坐标，用两点间距离公式求解.
【详解】联立两圆得：，即，将其代入圆：中得：，解得：，，所以，，故两圆交点坐标为，则
故选：B
8．C
【分析】根据函数零点的意义，将问题转化为直线与函数在上的图象有两个公共点求解作答.
【详解】令，则，令，则，
当时，，当时，，即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
有，而，，因此，
在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象，如图，
函数在上有两个不同的零点，即直线与函数在上的图象有两个公共点，
观察图象知，当时，直线与函数在上的图象有两个公共点，
所以实数的取值范围为.
故选：C
9．BC
【分析】
根据直线倾斜角写出方程判断A，根据双曲线方程得出渐近线方程判断B，由点关于直线对称判断C，根据抛物线方程求准线方程判断D.
【详解】对A，过点并且倾斜角为0°的直线方程为，故错误；
对B，双曲线的渐近线方程为，故正确；
对C，设点关于的对称点坐标为，则由解得，故正确；
对D，抛物线，，准线方程为，故错误.
故选：BC
10．AC
【分析】
根据题意，先由求得，然后根据等差数列求和，以及性质逐一判断，即可得到结果.
【详解】
对于A：当时，；当时，，
经检验，当时，，故，A正确；
对于B：令，则，故当时，，故和为中的最大项，B错误；
对于C：，C正确；
对于D：
，D错误．
故选:AC
11．BCD
【分析】设数列的公差为，由条件根据等差数列前项和公式列方程求，由此可求的通项公式，判断A，再求的前项和，利用裂项相消法求的前n项和，由此判断B，D，再求数列的前n项和判断C.
【详解】设数列的公差为，
因为，，
所以，所以，
所以，故A错误；
，
所以，故B正确；
因为
所以数列的前n项和为，故D正确；
因为，
所以数列的前n项和为，故C正确.
故选：BCD.
12．AC
【分析】
由题，，
设.
A选项，判断当时，在上有无解即可；
B选项，判断当时，在上是否有两根即可；
C选项，由充要条件定义验证即可判断选项正误；
D选项，由A选项分析可判断选项正误.
【详解】
由题，，
设.
A选项，当且时，方程的判别式，
则的两根为.
当时，，则的解为，则此时存在单调递增区间；
当时，，则的解为，则此时存在单调递增区间；
当时，的解为，则此时存在单调递增区间.
综上：当时，存在单调递增区间.故A正确；
B选项，由A选项分析可知，当时，存在两个极值点；
当时，存在唯一极值点；当时，存在唯一极值点1.故B错误.
C选项，当，在上恒成立，得为上的减函数；
若为上的减函数，则在上恒成立，
得，则.
综上，是为减函数的充要条件.故C正确.
D选项，由A选项分析可知，当时，在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，则此时有极大值.
故D错误.
故选：AC
13．0
【分析】
求出导函数，代入求值即可
【详解】因为，所以，
所以.
故0
14．-24
【分析】根据和列式可解得结果.
【详解】f′(x)=3ax2+6x-6a，
因为f(x)在x=2处取得极值9，
所以，即，解得，
所以，
故-24
15．
【分析】利用基本量结合已知列方程组求解即可.
【详解】设等差数列的公差为
由题可知
即
因为，所以解得：
所以.
故
16．
【分析】由题知、，进而求解方程即可.
【详解】解：方法1：由题知，圆的圆心为，半径为，
所以过点作圆的两条切线，切点分别为、，
所以，
所以直线的方程为，即；
方法2：设，，则由，可得，
同理可得，
所以直线的方程为.
故
17．(1)8；
(2).
【分析】
（1）先对函数求导，根据求出，则，在区间上单调递增，即可得到答案.
（2）根据题意知，分参得，即可得到答案.
【详解】（1）
，因为，所以，所以
在上恒成立，所以函数在区间上单调递增
所以
（2）
因为函数在区间上为增函数，
所以在上恒成立
所以在上恒成立，所以
18．（1）；（2）.
【分析】(1)本题首先可以根据数列是等比数列将转化为，转化为，再然后将其带入中，并根据数列是各项均为正数以及即可通过运算得出结果；
(2)本题可以通过数列的通项公式以及对数的相关性质计算出数列的通项公式，再通过数列的通项公式得知数列是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果．
【详解】(1)因为数列是各项均为正数的等比数列，，，
所以令数列的公比为，，，
所以，解得(舍去)或，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，．
(2)因为，所以，，，
所以数列是首项为、公差为的等差数列，．
本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题．
19．(1)
(2)或
【分析】
（1）由圆与y轴相切及圆心坐标，得到半径，从而得到圆的标准方程；
（2）由弦长及垂径定理得到圆心到过的直线l的距离，分直线斜率不存在和斜率存在两种情况，结合点到直线距离公式得到方程，求出斜率，得到直线方程.
【详解】（1）
∵圆C的圆心坐标为，且与y轴相切，
∴圆心到y轴的距离d＝2＝r，
∴圆C的标准方程为；
（2）∵圆C的弦长，又由（1）知半径r＝2，
∴圆心到过的直线l的距离，
若过的直线l的斜率不存在，
则直线l的方程为，此时直线与圆相切，显然不满足题意；
∴当过的直线l的斜率存在，
设直线l的方程为，即，
∴，解得k＝－1或－7，
∴直线l的方程为或．
20．(1)
(2)
【分析】
（1）根据等比数列基本量的计算即可求解公比，进而可求解通项，
（2）根据错位相减法即可求解.
【详解】（1）因为，，所以，，
解得或，因为，所以，.
（2），
令，前项和为，
①，
②，
①②得：，
所以.
21．(1)的极小值为，极大值为11；
(2).
【分析】
（1）把代入，利用导数求出函数的极值作答.
（3）利用导数探讨函数在的单调性，求出最小值即可求解作答.
【详解】（1）
当时，函数定义域为R，，
当或时，，当时，，即函数在，上递减，在上递增，
因此当时，取得极小值，当时，取得极大值，
所以的极小值为，极大值为11．
（2）
函数，，求导得，
因为，则由得，显然，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
而，，则函数在上的最小值为，解得，
所以实数a的值为1.
22．(1)
(2)存在实数，的取值范围是
【分析】
（1）方法1：由已知条件化简得出，设，对实数的取值进行分类讨论，求出函数的最小值，根据可求得实数的取值范围；
方法2：由已知条件化简得出，由参变量分离法可得出，令，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围；
（2）假设方程有三个不等实根，设，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【详解】（1）解：方法1：由得，
所以， ，即，
令 ，则，
①当时，，在单调递减，无最小值，舍去；
②当时， 由得，得，
所以，函数在单调递减，在单调递增，
所以，，只需，即，
所以，当时恒成立；
方法2：由得，则，
即对任意恒成立，
令，则，
由得，得，
所以，函数在单调递增，在上单调递减，
所以，，则，
所以，当时恒成立.
（2）
假设存在实数，使得方程有三个不等实根，
即方程有三个不等实根，
令，其中，
，
由得或，由得，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值为，极小值为，
要使方程有三个不等实根，
则，解得，
所以，存在实数，使得方程有三个不等实根，
实数的取值范围是.
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.