2024-2025学年辽宁省高一上学期12月月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年辽宁省高一上学期12月月考数学检测试卷（附解析），共26页。
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 下列函数中是奇函数，且在定义域内单调递减的是（）
A. B. C. D.
3. 已知某种污染物的浓度（单位：摩尔/升）与时间（单位：天）的关系满足指数裺型，其中是初始浓度（即时该污染物的浓度），是常数，第天（即）测得该污染物的浓度为摩尔/升，第天测得该污染物的浓度为摩尔/升，若第天测得该污染物的浓度变为，则（）
A. B. C. D.
4. 函数的图象大致为（）
A. B.
C. D.
5. 已知函数为偶函数，则（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
6. 已知，且函数在上有最小值，则a的取值范围为（）
A. B. C. D.
7. 已知为偶函数，若对任意，，总有成立，则不等式的解集为（ ）
AB.
C. D.
8. 已知函数，若关于的方程有8个不同的实数根，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题中，假命题为（）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 与同一个函数
C. 函数的增区间为
D. 函数的最小值是2
10. 若，，且，则下列不等式中正确的是（）
A. B.
C. D.
11. 某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，其中正确的有（）
A.
B. ，都有
C. 的值域为
D. ，，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12已知，，则___________.
13. 甲说：已知是R上的减函数，乙说：存在，使得关于的不等式在时成立，若甲、乙两人说的话都不对，则的取值范围是___________．
14. 已知函数（且）只有一个零点，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，全集，集合，函数定义域为.
（1）当时，求；
（2）若是成立的充分不必要条件，求a的取值范围.
16. 已知函数，其中且．
（1）若函数的图象过点，求不等式的解集；
（2）若存在实数，使得，求的取值范围；
17. 已知函数.
（1）当时，求函数的零点；
（2）若函数为偶函数，求的值；
（3）当时，若关于的不等式在时恒成立，求的取值范围.
18. 已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，．
（1）判断的奇偶性；
（2）判断在上的单调性，并证明；
（3）若对任意，，，总有恒成立，求的取值范围．
19. 我们知道，函数图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．
（1）判断函数的奇偶性，求函数的图像的对称中心，并说明理由；
（2）已知函数，问是否有对称中心？若有，求出对称中心；若没有，请说明理由；
（3）对于不同的函数与，若的图像都是有且仅有一个对称中心，分别记为和．
（i）求证：当时，的图像仍有对称中心；
（ii）问：当时，的图像是否仍一定有对称中心？若一定有，请说明理由；若不一定有，请举出具体的反例．
答案：
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】分别求出集合，结合补集以及集合的交集、并集运算，一一判断各选项，即得答案.
由题意可得，，
故，A错误;
由于，故，，所以B正确，C错误；
，则不是A的子集，D错误，
故选：B
2. 下列函数中是奇函数，且在定义域内单调递减的是（）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据函数的性质逐一判断即可.
对于A项，的定义域为，
在，上单调递减，但不能说在定义域内单调递减，故A项错误；
对于B项，的定义域为，且，
所以不是奇函数，故B项错误；
对于C项，的定义域为，故函数为非奇非偶函数，故C项错误；
对于D项，的定义域为，且，
所以为奇函数，又在上单调递减，故D项正确．
故选：D．
3. 已知某种污染物的浓度（单位：摩尔/升）与时间（单位：天）的关系满足指数裺型，其中是初始浓度（即时该污染物的浓度），是常数，第天（即）测得该污染物的浓度为摩尔/升，第天测得该污染物的浓度为摩尔/升，若第天测得该污染物的浓度变为，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据条件进行赋值，联立方程组求得解析式，再结合函数值直接求解即可.
由题意可得则，解得．
令，即，所以，
所以，解得．
故选：B
4. 函数的图象大致为（）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】利用定义判断函数奇偶性，并判断在上函数值符号，即可得确定图象.
由解析式，知的定义域为，
，
所以奇函数，
当时，，，
则，
所以，在上，
结合各项函数图象，知：C选项满足要求.
故选：C
5. 已知函数为偶函数，则（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】D
【分析】利用定义法结合性质法判断函数奇偶性，解方程.
若函数有意义，则，
当时，不等式解集为，即函数定义域为，
又函数为偶函数，则，解得；
当时，不等式的解集为，即函数定义域为，
此时函数不是偶函数，舍；
当时，不等式的解集为，即函数的定义域为，
又函数为偶函数，则，解得，不满足，舍；
当时，不等式的解集为，舍；
当时，不等式的解集为，即函数的定义域为，
又函数为偶函数，则，解得，不满足，舍；
综上所述，
此时函数，
设，则，
即函数为奇函数，
所以若使为偶函数，
则需函数为奇函数，
即，即，解得，
综上所述，
满足，即为偶函数，
综上所述，，
故选：D.
6. 已知，且函数在上有最小值，则a的取值范围为（）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】
对分类讨论，求出分段函数两段的值域，结合题意即可作出判断.
当时，；
当时，，
若时，，且，
∴函数在上有最小值，
当时，，
此时，显然函数在上没有有最小值，最小值无限趋近于零；
综上：a的取值范围为
故选：A
本题考查分段函数的最值问题，考查指数与二次函数的图象与性质，考查分类讨论思想，属于中档题.
7. 已知为偶函数，若对任意，，总有成立，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】根据题意确定函数的单调性和对称轴即可求解.
由可得，
即，也即，
当时，，当时，，
所以函数在单调递增，
又因为为偶函数，所以的图象关于对称，
所以在单调递减，且，
所以由得解得,
故选:A.
8. 已知函数，若关于的方程有8个不同的实数根，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】首先判断为偶函数，可得，令，则可作出的图象，结合图象以及方程有8个不同的实数根的条件可求答案.
因为函数定义域为，
，
所以为偶函数，当时，
令，则可作出的图象：
关于的方程有8个不同的实数根，
方程在区间内有两个不相等的实数根.
令，则.
，
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题中，假命题为（）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 与是同一个函数
C. 函数的增区间为
D. 函数的最小值是2
【正确答案】ACD
【分析】求得存在量词的否定可判断A；求出两函数的定义域，结合对应法则可判断B；先求出定义域，再根据复合函数同增异减求出单调区间可判断C；利用基本不等式计算可判断D.
对于A选项，命题“，”的否定是“，”，故A错误；
对于B选项，由，解得，故的定义域为，
由，解得，故的定义域为，
又，故B正确；
对于C选项，由，解得或，
其中在上单调递增，在上单调递减，
又在上单调递增，
由复合函数单调性可知，的增区间为，故C错误；
对于D选项，因为，所以，
当且仅当时等号成立，无实数解，所以，故D错误.
故选：ACD.
10. 若，，且，则下列不等式中正确的是（）
A. B.
C. D.
【正确答案】AB
【分析】根据已知条件构造函数，注意的范围，利用函数单调性的性质及不等式的性质，结合特殊值法即可求解.
】令，则
由一次函数知，在上单调递增，
由对数函数知，在上单调递增，
所以在上单调递增，
由，得，即，
所以，故A正确；
由A知，，又，，，所以，
因为在上单调递减，
所以，故B正确，
由B知，，令，，，此时，故C错误；
由B知，，令，，，此时，故D错误；
故选：AB.
11. 某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，其中正确的有（）
A.
B. ，都有
C. 的值域为
D. ，，都有
【正确答案】ABD
【分析】利用可判断A；分、求单调性值域可判断B；分、讨论可得的值域可判断C；作差利用基本不等式可判断D．
对于A：，A正确；
对于B：当时，，因为单调递减，
所以单调递减，且，，
当时，，因为单调递减，
所以单调递减，且，
所以，则在R上单调递减，故B正确；
对于C：当时，，
当时，，综上的值域为，故C不正确；
对于D：当，时，
，仅当等号成立，
故，，都有，故D正确．
关键点点睛：解题的关键点是根据给定的函数解析式的特征判断函数单调性及值域.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，，则___________.
【正确答案】
【分析】利用指数与对数的运算性质即可求解.
，
，所以.
故
13. 甲说：已知是R上的减函数，乙说：存在，使得关于的不等式在时成立，若甲、乙两人说的话都不对，则的取值范围是___________．
【正确答案】或
【分析】结合分段函数的单调性和不等式能成立问题，分别分析甲、乙说的话对，能够得到的取值范围，即可求出结果.
若甲对，则，解得．
若乙对，由存在，使得关于的不等式在时成立．
可得，，
因在内单调递减，在内单调递增，
且，可知在内的最大值为，
可得，解得．
若甲说的话不对，则或，
若乙说的话不对，则，
若甲、乙说的话都不对，则或，
故的取值范围是或.
故或
14. 已知函数（且）只有一个零点，则实数的取值范围为______．
【正确答案】或或
∵函数（a>0且）只有一个零点，
∴
∴
当时，方程有唯一根2，适合题意
当时，x=2或
显然符合题意的零点
∴当时，
当时，，即
综上：实数的取值范围为或或
故答案为或或
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，全集，集合，函数的定义域为.
（1）当时，求；
（2）若是成立的充分不必要条件，求a的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】(1)求得集合A和集合B，根据补集和交集的定义即可求解；
(2)由是的充分不必要条件，可知集合是集合的真子集.根据真包含关系建立不等式求解即可.
【小问1】
，
即.
由，得，解得，即.
当时，.
∴.
【小问2】
由是的充分不必要条件，可知集合是集合的真子集.
所以解得，
经检验符合集合是集合的真子集，所以a的取值范围是.
16. 已知函数，其中且．
（1）若函数的图象过点，求不等式的解集；
（2）若存在实数，使得，求的取值范围；
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）代入点坐标计算求出，根据定义域和单调性即可求出的解集；
（2）根据的定义域将问题转化为时，有解，再结合分离常数法和换元，最后借助一元二次函数的性质进行求解即可.
【小问1】
，则，
，
，
，
，定义域为0,+∞，
要解不等式，则，
．
又在定义域内是严格增函数，
由，则，解得．
综上所述，不等式的解集为．
【小问2】
的定义域为0,+∞，则在方程中，应满足，
由，解得，问题转化为时，方程有实数解．
又，则，
即．
为严格单调函数，
，
，两边同除以得．
令，由，则，
在有解．
又在0,+∞上严格增函数，
，即，
又，则.
17. 已知函数.
（1）当时，求函数的零点；
（2）若函数为偶函数，求的值；
（3）当时，若关于的不等式在时恒成立，求的取值范围.
【正确答案】（1）零点为0
（2）
（3）
【分析】（1）利用函数零点定义即可得解；
（2）由函数奇偶性的定义即可得解；
（3）由题意将条件转化为在时恒成立，再利用基本不等式即可得解.
【小问1】
当时，
令，解得，
所以当时，函数的零点为0.
【小问2】
因为函数为偶函数，所以，
即，所以，
又不恒为0，所以，即.
【小问3】
当时，，
因为关于的不等式在时恒成立，
所以，
又因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即的取值范围是.
18. 已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，．
（1）判断的奇偶性；
（2）判断在上的单调性，并证明；
（3）若对任意，，，总有恒成立，求的取值范围．
【正确答案】（1）奇函数（2）在上单调递增，证明见解析
（3）．
【分析】（1）令，结合得f−x=−fx，利用奇函数定义即可证明；
（2）先利用条件证时，，然后利用函数单调性的定义以及已知条件，判断函数单调性即可；
（3）先判断在R上的单调递增，求出函数的最值，然后将问题转化为恒成立，即对恒成立，列不等式组求解即可.
【小问1】
函数为R上的奇函数.证明如下：
易知函数的定义域为R，令，则，
又，所以f−x=−fx，所以函数奇函数.
【小问2】
在0,+∞上的单调递增，证明如下：
由（1）知，，
当时，，所以，
从而，
，则，
因为，所以，又当时，，
所以，所以，所以，
故在0,+∞上的单调递增.
【小问3】
由（1）知，函数为R上的奇函数，所以，
由（2）知，当时，，且在0,+∞上的单调递增，
所以在上的单调递增，
所以当时，函数的最大值为，最小值为，
又任意，总有恒成立，
所以，即，
由题意，对恒成立，令，则，
所以，解得或，
故实数的取值范围是.
19. 我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．
（1）判断函数的奇偶性，求函数的图像的对称中心，并说明理由；
（2）已知函数，问是否有对称中心？若有，求出对称中心；若没有，请说明理由；
（3）对于不同的函数与，若的图像都是有且仅有一个对称中心，分别记为和．
（i）求证：当时，的图像仍有对称中心；
（ii）问：当时，的图像是否仍一定有对称中心？若一定有，请说明理由；若不一定有，请举出具体的反例．
【正确答案】（1）为奇函数，对称中心是，理由见解析
（2）有对称中心，对称中心为
（3）（i）证明见解析；（ii）答案见解析
【分析】（1）根据奇偶性的定义即可判断的奇偶性；易证明，经过变形即可得到的对称中心；
（2）假设具有对称中心，则，代入的解析式求解即可；
（3）（i）只需证明等于一个常数即可；（ii）给出一个具体的反例说明即可.
【小问1】
为奇函数，证明如下：
首先的定义域为R，关于原点对称，
又，故为奇函数，
，
所以，于是是奇函数，
由题意知图像的对称中心是．
【小问2】
根据题意
，
取，上式计算得，此时，
所以有对称中心，对称中心为
【小问3】
根据题意，，．
（i）证明：当时，，
所以此时的图像仍有对称中心，对称中心为．
（ii）当时，不一定有对称重心．
设，易知函数的图像关于对称，得，，
设，易知函数的图像关于对称．得，，
此时，，其图像不关于某一点对称，即没有对称中心．
关键点点睛：本题的关键点是理解：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．