2024-2025学年宁夏回族自治区高三上学期第四次月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年宁夏回族自治区高三上学期第四次月考数学检测试卷（附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．复数的虚部为（ ）
A．B．3C．D．3i
2．若一个圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，（），若，则（ ）
A．B．C．D．
4．若，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知为等差数列的前n项和，公差为d.若，，则（ ）
A．B．
C．D．无最大值
6．如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与直线垂直B．直线与平面平行
C．三棱锥的体积为D．直线BC与平面所成的角为
7．已知函数（为常数），若在上的最大值为，最小值为，且，则（ ）
A．6B．4C．3D．2
8．设，．若动直线与交于点A，C，动直线与交于点B，D，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，则
10．已知直线：，圆：，以下正确的是（ ）
A．与圆不一定存在公共点
B．圆心到的最大距离为
C．当与圆相交时，
D．当时，圆上有三个点到的距离为
11．设与其导函数的定义域均为，若的图象关于对称，在上单调递减，且，则（ ）
A．为偶函数B．的图象关于原点对称
C．D．的极小值为-3
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知， 若直线 与直线 相互垂直，则a= .
13．如图所示，在棱长为6的正方体中，点分别是棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，则截面的周长为 ．
14．已知是函数的两个零点，且，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，且函数在恰有2个极值点，则实数取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．记是公差不为0的等差数列的前项和，，且成等比数列.
(1)求和；
(2)若，求数列的前20项和.
16．已知函数.
(1)求的图象在点处的切线与坐标轴围成的封闭图形的面积；
(2)设函数，若在定义域内单调递减，求实数的取值范围.
17．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点.

(1)求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值.
18．在中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足．
(1)求角B；
(2)若，求面积的最大值；
(3)求的取值范围．
19．已知二阶行列式，三阶行列式，其中分别为的余子式（某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式）．
(1)计算．
(2)设函数．
①若的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0，求；
②若且，函数，证明：．
答案
1．【正确答案】B
【详解】化简，得其虚部为3.
故选：B
2．【正确答案】A
【详解】由题意可知圆锥的母线长，底面圆周长为，底面圆面积为，
所以圆锥侧面积为，故该圆锥表面积为.
故选：A.
3．【正确答案】B
【详解】因为，，所以，；
因为，，
即，解得或（舍去），
所以，；
故选：B.
4．【正确答案】C
【分析】由题意可知，根据二倍角公式及同角的三角函数关系可得，即可得答案.
【详解】解：因为，
所以.
故.
故选：C.
5．【正确答案】B
【详解】对于选项A：因为数列为等差数列，
则，即，
可得，则，故A错误；
对于选项B：因为，则，
所以，故B正确；
对于选项D：因为，且，可知，
当时，；当时，；
可知当且仅当时，取到最大值，故D错误，
对于选项C：因为，
所以，故C错误；
故选：B.
6．【正确答案】B
【分析】对于A，根据正方体的性质判断；对于BD，利用空间向量判断；对于C，利用体积公式求解即可.
【详解】对于A：为正方体，所以，直线与直线不垂直，所以直线与直线不垂直，故A错误；
如图建立空间直角坐标系，则，
对于B：，
设平面的法向量为，则，
令，则，则，
因为，所以，所以，
因为在平面外，所以直线与平面平行，故B正确；
对于C：，所以三棱锥的体积为，故C错误；
对于D：，直线BC与平面所成的角为，，故D错误.
故选B.
7．【正确答案】D
【分析】将函数解析式化为，令，则，设，，可判断是奇函数，根据奇函数性质及，求得答案.
【详解】因为，，
令，
则，
设，，则，
所以是奇函数，最大值为，最小值为，
则，由，解得.
故选D.
8．【正确答案】B
【详解】，
圆心，半径，
过定点，
过定点，且⊥，
如图，设和BD中点分别为F、G，则四边形为矩形，

设，，则，
则＝
，当且仅当即时取等号.
故选：B.
9．【正确答案】AC
【详解】对于A，由，得存在过直线的平面与平交，令交线为，则，
而，，则，，因此，A正确；
对于B，由，，，得是平行直线或异面直线，B错误；
对于C，由，得存在过直线的平面与平交，令交线为，则，
由，得，又，则，因此，C正确；
对于D，，，，当都平行于的交线时，，D错误.
故选：AC
10．【正确答案】ABD
【详解】对于A，圆心到直线的距离为，
当，即，解得或，此时直线与圆相离，没有公共点，故A正确；
对于B，因为直线，即，所以直线过定点，
当时，圆心到直线的距离最大，最大值为，故B正确；
对于C，当直线与圆相交时，则，解得，故C错误；
对于D，当时，直线，圆心到直线的距离为，
所以圆上有三个点到直线的距离为，故D正确.
故选：ABD.
11．【正确答案】ABD
【详解】因为的图象关于对称，所以，
即，则为偶函数，故A正确；
由得，，两边取导数得，，
即，所以，则是奇函数，
所以图象关于原点对称，故B正确；
由上可知，，又由得，
所以，则，
所以有，即函数是一个周期函数且周期为8；
又由，令得，，
则，故C错误；
由在上单调递减，又的图象关于点对称可知，
在上单调递减，所以在上单调递减，
又的图象关于对称，所以在上单调递增，
由周期性可知，在上单调递增，
所以当时，取得极小值，即，故D正确，
故选：ABD.
12．【正确答案】0或2
【详解】两直线垂直，故，解得或2.
故或2
13．【正确答案】
【详解】
如图，延长相交于，连接，交于，延长相交于，
连接交于，可得截面五边形，是边长为的正方体，
且分别是棱的中点，，
截面的周长为.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】由，即，
可得或，
根据正弦函数图象性质可知，解得，
则；
将函数的图象向左平移个单位可得，
又为偶函数，
则，又，可得，因此；
当时，可知，
若函数在内恰有个极值点，可知，
解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为.
15．【正确答案】(1)，；
(2)
【详解】（1）设已知数列的公差为，则，
由，得，即，
所以或，显然不为0，所以，
所以，.
（2）由（1）知，又，
，
，
所以.
16．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，
则.
又因为，所以的图象在点处的切线为，
与两个坐标轴的交点分别为和，
所求的封闭图形的面积为.
（2）的定义域为0,+∞，因为在定义域内单调递减，所以，
即，
所以.
设，则.
当时，ℎ′x>0，ℎx单调递增，当时，ℎ′x