2024-2025学年山东省济宁市高三上学期11月阶段性学业检测数学试题（附解析）

这是一份2024-2025学年山东省济宁市高三上学期11月阶段性学业检测数学试题（附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．在等比数列中，，，则（ ）
A．B．C．36D．6
4．已知向量，满足，且，则在上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．3
6．已知为定义在上的奇函数，当时，.若在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，，，，，平面，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，记的导函数为，则下列函数为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．函数的最小值为
10．已知函数fx=Asinωx+φ（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在上单调递增
D．该图象向右平移个单位长度可得的图象
11．如图，正方体棱长为2，、、、分别是棱，棱，棱，棱的中点，下列结论正确的是（ ）
A．直线与为异面直线
B．沿正方体的表面从点到点的最短距离为
C．过点，，的平面截该正方体所得的截面面积为
D．线段上存在点，使得平面
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，.若，的夹角为锐角，则的取值范围为 .
13．若正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，且侧棱长为，则其体积为 .
14．已知数列满足，，其中为函数的极值点，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列的首项为，且满足.
(1)证明数列为等差数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
16．记的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的值；
(2)若为的中点，且，，求的面积.
17．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，二面角为直二面角.
(1)求证：；
(2)当时，求直线与平面所成角的正弦值.
18．设函数.
(1)求在处的切线方程；
(2)证明：：
(3)若方程有两个实根，求实数的取值范围，
19．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立；
(3)设，，数列的前项和为．证明：．
答案
1．【正确答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为，而，
所以．
故选C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选C．
2．【正确答案】A
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为，
则所求复数对应的点为，位于第一象限.
故选A.
3．【正确答案】D
【详解】因为为等比数列，故，故，故，
所以，故（负值舍去），
故选：D.
4．【正确答案】B
【详解】因为，，则，得到，
所以在上的投影向量是，
故选：B.
5．【正确答案】B
【详解】因为
又因为，
所以.
故选：B.
6．【正确答案】D
【详解】因为为定义在R上的奇函数，所以，
若在上单调递减，故只需，即，
故选：D．
7．【正确答案】C
【分析】根据给定条件，求出外接圆半径，球心到平面的距离，再利用球的截面圆性质计算即可.
【详解】在三棱锥中，球心在棱的中垂面上，由平面，得平面，
则球心到平面的距离为，在中，由余弦定理得：
，
因此外接圆半径，球的半径，
所以球O的表面积.
故选C.
8．【正确答案】A
【详解】因为为奇函数，为偶函数，
所以，，
所以为偶函数，故B错误；
又对两边求导，得，
即，所以是偶函数，故D错误；
由，可得，
由，可得，
所以，即，即得，
所以是周期为4的函数，则，两边求导，得，
所以是奇函数，故A正确；
由，可得，即，
又由，可得，
所以，即为偶函数，所以为偶函数，故C错误.
故选：A.
9．【正确答案】BC
【分析】对A举反例即可；对B根据不等式性质即可判断；对C，利用指数函数单调性即可判断；对D举反例即可.
【详解】对A，当时，，故A错误；
对B，当，则，则，故B正确；
对C，根据指数函数在上单调递增，且，则，故C正确；
对D，当时，，故D错误.
故选BC.
10．【正确答案】ABD
【详解】由图可知，，
所以，代入，得，
又，∴，故.
对于A：∵，∴函数的图象关于对称，故A正确；
对于B：当时，，故B正确；
对于C：，，不单调，故C错误；
对于D：，故D正确.
故选：ABD.
11．【正确答案】AC
【详解】因为三点共面，为平面外一点，所以由平面外一点与平面内一点连线与平面内
不过该点的直线异面可知，直线与为异面直线，故A正确；
如图，
若正方体中侧面沿展开，则，
若底面沿展开，则，故B错误；
连接，如图，
因为，所以四边形为过点，，的平面截该正方体所得的截面，
其中，，
设等腰梯形的高为，则，
所以梯形面积，故C正确；
以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
设，
则，，，
设平面的法向量，
则，令，则，
若平面，则，解得，
此时，，，且,
即平面，不满足平面，即不存在点，故D错误.
故选：AC
12．【正确答案】
【详解】因为与的夹角为锐角，则且，与不共线，
所以，解得，即.
故
13．【正确答案】/
【详解】由题意作出正四棱台图象，如下图所示：
为正四棱台，
连接，得，
过作，过作，
得：，,
在直角三角形中，得，
得正四棱台的高，正四棱台上下底面积分别为，
所以体积
故答案为.
14．【正确答案】/
【详解】因为为函数的极值点，，
所以，，则，
因为，由可得，
将（*）代入得，，因为在上单调递增，所以，
则，而，两边取自然对数可得，
所以，又由，两边取自然对数可得，故，
所以．
故12.
15．【正确答案】(1)证明见解析，；
(2).
【详解】（1）由，，得，则，于是，
所以数列是首项，公差为2的等差数列，
，所以.
（2）由（1）知，
所以.
16．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得，，
则由，得，
，
，

，
；
（2）为的中点，
，
又，
，①
由余弦定理得，，②
联立①②，解得，
，
的面积为.
17．【正确答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面，进而得出.然后即可根据线面垂直的判定定理得出平面，然后即可得出；
（2）取中点为，连结.取中点为，连结.由已知可证平面，.以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出平面的一个法向量，即可根据向量法求出答案.
【详解】（1）由题意知平面平面，
又平面平面，，平面，
所以平面.
因为平面，所以.
又因为，，平面，平面，
所以平面.
因为平面，所以.
（2）取中点为，连结.取中点为，连结.
因为，点是中点，所以.
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
因为点,分别是,的中点，所以，则.
则，.
以点为坐标原点，所在直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，.
设是平面的一个法向量，
则，取，则，
所以是平面的一个法向量.
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成的角的正弦值为.
18．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1），则.
在处的切线方程为，即.
（2）令
.
令，解得.
；.
在上单调递减，在上单调递增.
，即.
（3）令，
问题转化为在上有两个零点.
.
①当时，
，在递减，至多只有一个零点，不符合要求.
②当时，
令，解得
当时，，递减；
当时，，递增.
所以.
当时，，只有一个零点，不合题意.
令，
当时，，
所以在递增，.
由于，，
，使得，
故满足条件.
当时，，
所以在递减，.
由于，
，使得，
故满足条件.
综上所述：实数的取值范围为.
19．【正确答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）函数的定义域为0,+∞，，
①若，f'x>0恒成立，在0,+∞上单调递增．
②若，时，f'x>0，单调递增；
时，f'x