2024-2025学年山东省烟台市高三上学期12月月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年山东省烟台市高三上学期12月月考数学检测试题（附解析），共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则=
A．B．C．D．
2．已知复数z1=3+4i,z2=a+i,且z1是实数,则实数a等于( )
A．B．C．-D．-
3．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度等于（ ）
A．B．
C．D．
4．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭；令上方六尺；问斩高几何?”其意思为：已知方锥（即正四棱锥）下底边长为20尺，高为30尺，现欲从方锥上面截去一段，使之成为方亭（即正四棱台），且使方亭上底边长为8尺（如图所示），则截去小方锥的高为（ ）.
A．24尺B．18尺C．6尺D．12尺
5．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种B．90种
C．60种D．30种
6．已知函数（其中），对任意实数a，在区间上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，则的值为（ ）.
A．2或3B．4或3C．5或3D．8或3
7．若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率的取值范围为（ ）．
A．B．
C．D．
8．已知空间向量，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．4
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在如图所示的棱长为1的正方体中，点P在侧面所在的平面上运动，则下列命题中正确的为（ ）
A．若点P总满足，则动点P的轨迹是一条直线
B．若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一个周长为的圆
C．若点P到直线的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆
D．若点P到直线与直线的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线
10．已知数列中，，，.若对于任意的，不等式恒成立，则实数可能为（ ）
A．－4B．－2C．0D．2
11．如图，正三棱柱的底面是边长为的等边三角形，侧棱长为 ，分别是的中点，则下列结论成立的是（ ）
A．直线与是异面直线
B．直线与平面平行
C．直线与直线所成角的余弦值为
D．直线与平面所成角的余弦值为
12．关于函数，下列判断正确的是（ ）．
A．是的极大值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正实数，使得成立
D．对任意两个正实数，且，若，则．
三、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填在题后的横线上．
13．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则P(X≥－80)＝ .
14．已知函数有两个零点，则的取值范围是 .
15．已知定点B（3,0），点A在圆x2＋y2＝1上运动，∠AOB的平分线交线段AB于点M，则点M的轨迹方程是 ．
16．已知函数
（Ⅰ）若函数没有零点，则实数的取值范围是 ；
（Ⅱ）称实数为函数的包容数，如果函数满足对任意，都存在，使得.
在①； ②；③；④；⑤中，函数的包容数是 ．（填出所有正确答案的序号）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在平面直角坐标系xOy中，设向量．
(1)若，求的值；
(2)设，且，求的值．
18．已知数列，，．
(1)证明：数列是单调递增数列；
(2)记，求的取值范围；
(3)记，试问是否为定值？如果是，请证明，如果不是，请说明理由．
19．如图，在三棱柱中，平面平面，点为的中点，点在线段上，且.
(1)求平面与平面的夹角的余弦值；
(2)点在上，若直线在平面内，求线段的长.
20．有一片产量很大的水果种植园，在临近成熟时随机摘下某品种水果100个，其质量（均在1至11 kg）频数分布表如下（单位：kg）：
以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率．
(1)由种植经验认为，种植园内的水果质量Z近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．请估算该种植园内水果质量在（4，8.2）内的百分比；
(2)现从质量为，，的三组水果中用分层抽样方法取14个水果，再从这14个水果中随机抽取3个．若水果质量为，，的水果每销售一个所获得的利润分别为2元、4元、6元，记随机抽取的3个水果总利润为元．求的分布列及数学期望．
（附：若，则，）
21．已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若斜率为1的直线与椭圆相交于两点，为原点.求面积的最大值.
分组
频数
10
15
45
20
10
1．C
【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【详解】由题意得，，则
．故选C．
不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
2．A
【详解】分析：计算，由z1，是实数得，从而得解.
详解：复数z1=3+4i,z2=a+i,
.
所以z1，是实数，
所以，即.
故选A.
点睛：本题主要考查了复数共轭的概念，属于基础题.
3．C
【分析】根据题意分别求出、则可求出.
【详解】如图所示：记于点.
由题意知：，..
在中.
在中.
所以.
故选:C.
4．D
【分析】利用棱锥与棱台的结构特征即求.
【详解】设截去小方锥的高为，则
，
解得（尺）.
故选：D.
5．C
【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；
然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；
最后剩下的名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有种.
故选：C
本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.
6．A
【分析】判断出区间长度3大于等于2个最小正周期长度且小于等于4个最小正周期长度即可，得到不等式，求出答案.
【详解】因为在最小正周期内出现函数值为的有两次，
而区间的长度为3，
所以只要区间长度大于等于2个最小正周期长度且小于等于4个最小正周期长度即可，
故，
又，故，
解得，
又，故或.
故选：A
7．A
【分析】首先求圆的圆心和半径，利用圆心到直线的距离，求出的取值范围，再转化为直线的斜率的取值范围.
【详解】因为直线的斜率存在，所以，
圆整理为，
圆心坐标为，半径为，
要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，
则圆心到直线的距离应小于等于，，
，，
设直线的斜率为，则，，
直线的斜率的取值范围是.
故选：A
8．B
【分析】由空间向量的坐标表示计算，然后由柯西不等式求解即可.
【详解】因为，
所以
，
当且仅当时等号成立，即时等号成立.
所以，所以的最小值为.
故选：B
9．ABD
【分析】A.根据平面，判断点的轨迹；B.根据平面与球相交的性质，判断选项；C.由条件可转化为，根据椭圆的定义判断；D.由条件建立坐标系，求点的轨迹方程，判断轨迹是否是双曲线.
【详解】A.在正方体中，平面，
所以，所以平面，
平面，所以，
同理，所以平面，
而点P在侧面所在的平面上运动，且，
所以点的轨迹就是直线，故A正确；
B.点的轨迹是以为球心，半径为的球面与平面的交线，
即点的轨迹为小圆，设小圆的半径为，
球心到平面的距离为1，则，
所以小圆周长，故B正确；
C. 点P到直线AB的距离就是点到点的距离，
即平面内的点满足，
即满足条件的点的轨迹就是线段，不是椭圆，故C不正确；
D.如图，过分别做于点，于点，
则平面，所以，过做，连结，
，所以平面，所以，
如图建立平面直角坐标系，设，
，则，，
即，整理为：，
则动点的轨迹是双曲线，故D正确.
故选：ABD
本题考查立体几何中动点轨迹问题，截面的形状判断，重点考查空间想象能力，逻辑推理，计算能力，属于中档题型.
10．AB
由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.
【详解】，，
则，，，，
上述式子累加可得：，，
对于任意的恒成立，
整理得对于任意的恒成立，
对A，当时，不等式，解集，包含，故A正确；
对B，当时，不等式，解集，包含，故B正确；
对C，当时，不等式，解集，不包含，故C错误；
对D，当时，不等式，解集，不包含，故D错误，
故选：AB.
本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.
11．BCD
直线与在同一平面内，不是异面直线，分别证明线面平行，计算异面直线夹角和直线与平面所成角的大小即可得解.
【详解】
直线与 在同一平面内，不是异面直线，所以A选项错误；
取交点，连接， ，
所以四边形是平行四边形，，
平面，平面 ，所以直线与平面平行，B选项正确；
直线与直线 所成角就是与直线所成角，
正三棱柱的底面是边长为的等边三角形，侧棱长为 ，
连接在中，
由余弦定理可得
所以直线与直线所成角的余弦值为，所以C选项正确；
由题可得：平面平面，交线为 AC，，
平面，根据面面垂直的性质可得平面 ，，
所以平面，
线与平面所成角就是，在直角三角形 中，
直线与平面所成角的余弦值为 ，所以D选项正确.
故选：BCD
此题考查空间线面位置关系，涉及异面直线判定，求异面直线所成角，判断线面平行，求直线与平面所成角的大小，关键在于熟练掌握相关定理和解决问题的基本方法.
12．BD
【分析】求导后讨论单调性可判断A；求导后讨论的单调性，利用零点存在定理判断B；利用常数分离法，构造函数，利用导数分析得的单调性可判断C；利用极值点偏移问题的解法求解，从而可判断D.
【详解】对于选项A，函数的定义域为，函数的导数，
所以在内，，函数单调递减；
在上，，函数单调递增，
所以是的极小值点，故A错误；
对于选项B，由，得，
由于分子判别式小于零，所以恒成立，
所以函数在，上单调递减，
且，
所以函数有且只有1个零点，故B正确；
对于选项C，若，可得，
令，则，
令，则，
所以在内，，函数单调递增；
在上，，函数单调递减，
所以，所以，
所以函数在上单调递减．
又因为当时，，
所以不存在正实数，使得恒成立，故C不正确；
对于选项D，设，即有，
，即为，
化为，
故，所以，
则，
设（），可得，
令，则在上恒成立，
可得，所以，故单调递增，
可得，故成立，故D正确．
故选：BD.
方法点睛：
（1）函数的极值点与零点可用导数分析单调性后再结合具体函数值分析；
（2）对于含参数的函数不等式恒成立问题可分离参数后求导，分析单调性再求参数的范围；
（3）极值点平移问题，先构造函数求导，再赋值，最后可得
13．
首先求某产品两轮检测合格的概率，X的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160，然后根据二项分布求其概率，并计算.
【详解】由题意得该产品能销售的概率为,易知X的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160，设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则ξ～B，
所以，
所以P(X＝－80)＝P(ξ＝2)＝ ，
P(X＝40)＝P(ξ＝3)＝，
P(X＝160)＝P(ξ＝4)＝,
故P(X≥－80)＝P(X＝－80)＋P(X＝40)＋P(X＝160)＝.
本题考查独立事件同时发生的概率和二项分布，意在考查分析问题和解决问题的能力，对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键.
14．
【分析】求出函数的导函数，得出函数的最小值，把函数的零点个数问题转化为函数与的图象由两个不同的交点，结合图象，即可得到答案．
【详解】由题意，设函数，则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数由最小值，
又由当时，总有恒成立，
要使得函数有两个零点，
即函数与的图象由两个不同的交点，
在同一坐标系内作出两个函数的图象，如图所示，
则，所以，
即实数的取值范围是．
本题主要考查了利用导数研究函数的零点个数问题，其中解答中把函数的零点个数转化两个函数的图象的交点的个数，再利用导数得到函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．
15．．
【分析】由角平分线的性质定理和向量的坐标运算、圆的方程，可得所求方程．
【详解】设，则，
设，
由为的角平分线，
可得，
即有，
可得,，
即，，
可得，，
则，
即为．
故．
16． Ⅰ或 Ⅱ②③
【分析】Ⅰ考虑指数函数的值域和二次函数的单调性，即可得到所求范围；
Ⅱ由题意可得的值域为的值域的子集，分别讨论五种情况，由指数函数的单调性和二次函数的单调性，求得值域，即可判断．
【详解】Ⅰ函数，
由时，，无零点；
若时，，
当时，，无零点；
当时，由，即，
由时，递增，可得，
由，可得，无零点；
综上可得或；
Ⅱ由题意可得的值域为的值域的子集，
当时，由时，；
由时，，，，不满足题意；
当时，由时，；
由时，，，满足题意；
当时，由时，；
由时，，，满足题意；
当时，由时，；
由时，，，不满足题意；
当时，由时，；
由时，，，不满足题意．
综上可得函数的包容数是②③．
故答案为或；②③．
本题考查函数的零点问题和函数的任意性、存在性问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力，属于中档题．
17．(1)；
(2)．
【分析】（1）由模长的定义和向量的数量积结合两角差的正弦展开式可得；
（2）由向量平行的基本定理和两角差的正弦展开式可得.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，且，
因为，所以，即，
所以，即.
（2）因为，所以，
又，，
所以，
即，
因为，，
所以，即.
18．(1)证明见解析；
(2)；
(3)是，证明见解析.
【分析】（1）由已知可得，即可证明；
（2）由已知变形得到，代入到可得到，进而求出取值范围；
（3）由裂项相消得到，再代入即可.
【详解】（1）证明：因为，，即，
所以数列是单调递增数列；
（2）由，可得，
由数列是单调递增数列，可得，可得，即的取值范围为.
（3）为定值，理由如下：
，
可得，
则为定值．
19．(1)
(2)
【分析】（1）分别取的中点，连接，根据面面垂直的性质证明平面，以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；
（2）由直线在平面内，可得共面，再根据空间向量共面定理即可得解.
【详解】（1）分别取的中点，连接，
因为，所以为等边三角形，
所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为，分别为的中点，
所以四边形为矩形，所以，
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
易得为平面的一个法向量.
设，因为，所以.
所以，即，因此，
设，因为，所以，
所以，即，
因为，，
所以，
设平面的法向量为，
所以，即，
取，则，所以，
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为；
（2）设，则，
因为直线在平面内，所以共面，
所以存在唯一实数对，使得，
即，
则，解得，
此时为的中点，所以.
方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
20．(1)
(2)分布列见解析，15．
【分析】（1）根据题意，由正态曲线的性质代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由条件可得值为8，10，12，14，16，18，然后分别计算其对应的概率，即可得到分布列，再由期望的定义代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）
由正态分布知
该种植园内水果质量在内的百分比为.
（2）值为8，10，12，14，16，18，
，，
，，
，，
，，
，，
，．
分布列为
．
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.
（2）结合弦长公式求得三角形面积的表达式，结合基本不等式求得面积的最大值.
【详解】（1）由焦距为2，得，所以①.
由椭圆过点，得②，将①代入②，整理得，
解得，（舍去）.
所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，
消去，得.
所以，解得.
设，，则，.
所以
，
原点到直线的距离.
所以.
由基本不等式知，.
当且仅当，即时取等号.
所以的面积的最大值为.
求解圆锥曲线中三角形面积有关的问题，关键点有三点：一个是弦长，一个是面积，一个是最值或取值范围.弦长的求法主要结合根与系数关系，面积还要结合点到直线的距离公式，求面积的最值或取值范围，可考虑基本不等式、二次函数的性质等知识来进行求解.
8
10
12
14
16
18
P