2024-2025学年山东省淄博市高二上学期第一次月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年山东省淄博市高二上学期第一次月考数学检测试题（附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．现有质地相同的4个球，编号为1，2，3，4，从中一次性随机取两个球，则两个球的号码之和大于4的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．设直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知直线和直线，则是两直线平行的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知直线过点，且方向向量为，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形ABCD是正方形，，点是与的交点，则直线与所成角的余弦值为（ ）

A．1B．C．D．
6．已知圆，若圆与圆恰有三条公切线，则实数（ ）
A．9B．C．8D．
7．设直线与圆相交于两点，且的面积为8，则（ ）
A．B．C．1D．
8．已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是对立的事件是( ).
A．“恰有一名女生”和“全是女生”
B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生”
C．“至多有一名男生”和“全是男生”
D．“至少有一名男生”和“全是女生”
10．已知椭圆的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M、N两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为
B．椭圆上存在点Q使得
C．直线l的方程为
D．的周长为
11．已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，下列说法正确的为（ ）
A．圆上恰有一个点到直线的距离为
B．四边形面积的最小值为
C．存在唯一点，使得
D．直线恒过定点
三、填空题
12．已知随机事件中，与相互独立，与对立，且，，则 .
13．已知点，直线被圆所截得弦的中点为，则MN的最大值是 .
14．加斯帕尔·蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 .
四、解答题
15．在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮.现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（五局三胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的.
(1)求比赛只需打三局的概率；
(2)已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率.
16．已知以点为圆心的圆与直线相切.
(1)求圆A的方程；
(2)过点的直线l与圆A相交与M，N两点，当时，求直线l方程；
(3)已知实数x，y满足圆A的方程，求的取值范围.
17．如图，在直三棱柱中，D，E分别是AB，的中点.

(1)证明：平面；
(2)已知，，求CD与平面所成角的大小.
18．在三棱台中，为中点，，，.
(1)求证：平面；
(2)若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积.
19．已知椭圆左焦点为，离心率为，以坐标原点为圆心，为半径作圆使之与直线相切.
(1)求的方程；
(2)设点，，是椭圆上关于轴对称的两点，交于另一点，
①证明：直线经过定点；
②求的内切圆半径的范围.
答案：
1．A
从编号为1，2，3，4，的小球中一次性随机取两个球，有，，，，，，共6种情况，
两个球的号码之和大于4的情况有，，，，共4种情况，
所以两个球的号码之和大于4的概率.
故选：A
2．B
时，倾斜角的范围是，当时，倾斜角的范围是，
综上，倾斜角范围是．
故选：B．
3．A
若直线和直线平行，
则，解得或，
因此，是两直线平行的充分不必要条件.
故选：A.
4．B
由点，点.
又直线的方向向量为，
所以点到的距离.
故选：B.
5．B
取的中点，连接，，因为，所以直线与所成角即为与所成的角，所以，

所以，
即，又因为，
所以，所以直线与所成角的余弦值为.
故选：B．
6．B
圆可化为，圆心为，半径为.
若圆M与圆恰有三条公切线，则两圆外切.
圆可化为，圆心为，半径为，.
由，所以，解得.
故选：B
7．C
由三角形的面积公式可得，
得，由，得，
所以为等腰直角三角形，
所以圆心到直线的距离为，
由点到直线的距离公式得，解得.
故选：C
8．B
点关于的角平分线的对称点N必在上，因此共线，，
，设，则，，，
又，∴，
中，由余弦定理得：，
∴，化简得，
∴，，
中，，
由余弦定理得，解得，
故选：B．

9．CD
对于A选项，“恰有一名女生”和“全是女生”不能同时发生，但可以同时不发生，所以A不是对立事件；
对于B选项，“至少有一名男生”和“至少有一名女生” 可以同时发生，即一名男生和一名女生的事件，所以B不是对立事件；
对于C，“至多有一名男生”和“全是男生”不能同时发生，但必有一个发生，C是对立事件；
对于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同时发生，但必有一个发生，D是对立事件.
故选：CD.
10．BCD
A.由条件可知，，解得：，所以椭圆，
所以，椭圆的离心率，故A错误；
B.由椭圆方程可知，，，以为直径的圆与椭圆由4个交点，所以椭圆上存在点使得，故B正确；
C.设，，代入椭圆方程，，两式相减得，由题意可知，，，
所以，，所以，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，整理为，故C正确；
D.因为直线过椭圆的焦点，所以的周长为，故D正确.
故选：BCD
11．BCD
由圆，可知圆心，半径.
对于A，由圆心到直线的距离为，
所以圆上任意一点到直线的距离的取值范围为（当时，直线与圆的两个交点处分别取等号）.
而，所以圆上有两个点到直线的距离为，故A错误；
对于B，四边形的面积，
由圆的性质可得切线长，
所以当最小时（时）, ，
所以四边形的面积的最小值为1，故B正确；
对于C，若，由，，则四边形为正方形，则，
设，则，解得，
即存在唯一P点，使得，故C正确；
对于D，设，因为为过点作圆的切线，所以点在以为直径的圆上.
又，所以以为直径的圆为，即.
与圆联立，相减，即为直线的方程为.
由，得，即直线恒过定点，故D正确.
故选：BCD.
12．/
由与为对立事件，则，
又与相互独立，则，
所以.
故答案为.
13．
由于直线恒过定点，圆的圆心，
设，则，故，
即，化简可得，
故点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，
由于在圆外，,
故，即，
则MN的最大值是.
故答案为.
14．
由椭圆方程可知蒙日圆半径为，
所以蒙日圆方程为，
因为点在椭圆的蒙日圆上，又因为点在直线上，
所以直线和蒙日圆有公共点.
即圆心到直线的距离不大于半径，
即，所以，
所以椭圆离心率，所以.
故答案为.
15．(1)
(2)
（1）设事件=“甲前三局都获胜”，事件=“乙前三局都获胜”，
则，
，
比赛只需打三局的概率为：
.
（2）甲需要打三局的概率为：，
甲需要打四局的概率为：，
甲需要打五局的概率为：，
则甲最终获胜的概率为.
16．(1);
(2)或;
(3).
（1）由题意知点到直线的距离为圆的半径，
由点到直线的距离公式可得,
所以圆的方程为.
（2）因为直线与圆相交与两点，且，利用垂径定理和勾股定理，
可得圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直到直线的距离为，符合题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由题意可得，解得，
所以直线的方程为，即，
综上所述：直线的方程为或.
（3）表示点到的距离的平方，
又圆心到到的距离为，
所以点到的距离的最小值为，最大值为
所以的最小值为，最小值为，
即的取值范围是.
17．(1)证明见解析
(2)
（1）连结，交于点，连结，
因为点分别是的中点，所以 ,
平面，平面，
所以平面；

（2）因为，，
所以，所以，
如图，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，，
设平面的法向量为，
所以，令，则，，
所以平面的法向量为，
设与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的大小为.
18．(1)证明见解析
(2)
（1）在三棱台中，为中点，则，
又，，
，四边形为平行四边形，，
又，，
，，，
，平面，平面.
（2），，，
又，，平面，平面，
连接，，，为中点，；
以为正交基底，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，令，解得：，，；
又平面的一个法向量，
，解得：，即，
平面，平面平面，平面，
.
19．(1)
(2)①证明见解析；②
（1）依题意，
解得，，
所以的方程为.
（2）①因为不与轴重合，所以设的方程为，
设点，，则
联立，得，
则，，
因为点，，三点共线且斜率一定存在，
所以，
所以，将，代入
化简可得，故，
解得，满足
所以直线过定点，且为椭圆右焦点
②设所求内切圆半径为，因为，
所以
令，则，
所以，
因为，对勾函数在1,+∞上单调递增，
所以，则.
所以内切圆半径的范围为.