2024-2025学年山西省高二上学期11月期中联合考试数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年山西省高二上学期11月期中联合考试数学检测试题（附解析），共19页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 若动圆过定点，且和定圆， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一､二册占20%，选择性必修第一册占80%.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据补集和交集的概念与运算直接得出结果.
由题意得，所以.
故选：A
2. 已知复数满足，则的共轭复数（）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据复数的运算及共轭复数的概念求解.
因为，所以，则.
故选：D.
3. 已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则（）
A. 1B. 2C. D. 0
【正确答案】B
【分析】由函数的奇偶性可得，代入函数解析式直接得出结果.
由偶函数性质得，.
故选：B
4. 从和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是（）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】用列举法写出样本空间，再由概率公式计算．
组成两位数的样本空间，样本点总数为8.能被3整除的数为24，42，有2个.故所求概率为.
故选：D．
5. 图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】建立直角坐标系，直线交抛物线于两点，抛物线方程为，代入抛物线，解得答案.
建立如图所示的平面直角坐标系，则点.设抛物线的方程为，
由点可得，解得，所以.
当时，，所以水面宽度为.
故选：C.
6. 已知椭圆，过点的直线交于、两点，且是的中点，则直线的斜率为（）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】设、，利用点差法可求得直线的斜率.
若线段轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，所以，直线的斜率存在，
设、，由题意可得，，
则，两式相减可得，
所以，，解得，
因此，直线的斜率为.
故选：A.
7. 若动圆过定点，且和定圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程为（）
A. （）B. （）
C. （）D. （）
【正确答案】D
【分析】根据动圆与定圆外切得出，再由双曲线定义判断
动点轨迹，写出方程即可.
定圆的圆心为，与关于原点对称.
设，由两圆外切可得，
所以,
所以的轨迹为双曲线的右支.
设的轨迹方程为，则，
所以轨迹方程为.
故选：D
8. 已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】设，根据，得出的轨迹方程，再结合条件为直线上的点，得到直线与圆的位置关系，即可求解.
设，则，，
因为，所以，
即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上.
点在直线上，
所以直线与圆有公共点，
则，解得
故选:B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知抛物线的焦点为，直线与在第一象限的交点为，过点作的准线的垂线，垂足为，下列结论正确的是（）
A. 直线过点B. 直线的倾斜角为
C. D. 是等边三角形
【正确答案】ABD
【分析】求出抛物线的焦点，代入验证可判断A；由直线的斜率求出倾斜角可判断B；由与直线的倾斜角的关系可判断C；由抛物线定义可知，进而判断的形状，从而判断D.
抛物线的焦点为，而，所以直线过点，故A正确；
设直线的倾斜角，因为直线的斜率为，，
所以，即直线的倾斜角为，故B正确；
因为，故C错误；
因为点在抛物线上，由抛物线定义可知，，
又，所以是等边三角形，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知函数，则（）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点中心对称
D. 在上单调递增
【正确答案】ABD
【分析】根据三角恒等变换的化简计算可得，结合正弦函数的图象与性质依次判断选项即可.
详解】.
A：，所以的最小正周期为，故A正确；
B：令，得，
当时，，
所以为函数的一条对称轴，故B正确；
C：令，得，
当时，，
所以为函数的一个对称中心，故C错误；
D：令，得，
当时，，即的单调递增区间为，
而为的真子集，故D正确.
故选：ABD
11. 若平面，平面，平面，则称点F为点E在平面内的正投影，记为如图，在直四棱柱中，，， 分别为，的中点，，记平面为，平面ABCD为，，（）
A. 若，则
B. 存在点H，使得平面
C. 线段长度的最小值是
D. 存在点H，使得
【正确答案】ABC
【分析】先建系，对于选项A，先证Q，B，N，P四点共面，再计算的值；对于选项B，先找出，，可得是平面的一个法向量，结合平面，则，依此求出H的位置；对于选项C，表示出，求解其最小值即可；对于D，依据，则，从而可判定H的存在性.
对于A：因为为直四棱柱，，所以以A为坐标原点，AD，AB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，连接PQ，
则，，，，，
故，，
所以，即Q，B，N，P四点共面，
若，则，解得，A正确；
对于B：过点H作，交于点G，过点G作AB的垂线，垂足即，
过点A作的垂线，垂足即，连接，，由题意可得，
则，，，，
故，，，，
易得是平面的一个法向量，若平面，
则，即，解得，符合题意，
所以存在点H，使得平面，B正确，
对于C：，
当时，取得最小值，最小值为，C正确.
对于D：若，则，
得，无解，所以不存在点H，使得，D错误.
故选：ABC
关键点点睛：根据题意可知在平面上，然后建立坐标系，根据投影表示所需要点的坐标，然后利用坐标计算即可.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知单位向量满足，则与的夹角为__________.
【正确答案】##
【分析】根据平面向量数量积的运算律求得，结合数量积的定义计算即可求解.
由，可得，解得，
则，又，
所以与夹角为.
故
13. 如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则__________.
【正确答案】6
【分析】，为等边三角形，利用向量数量积的定义求即可.
棱长为的正方体中，
连接，则是边长为的等边三角形，
..
故选：
14. 已知椭圆与双曲线有公共焦点与在第一象限的交点为，且，记的离心率分别为，则__________.
【正确答案】2
【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得，根据勾股定理化简可得，结合离心率定义即可得结果.
由题意可知，，
所以.
因为，所以，即，
所以，
故2.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知在中，，，，记的外接圆为圆.
（1）求圆的标准方程；
（2）求过点且与圆相切的直线的方程.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）方法一，求两条线段垂直平分线的交点确定圆心，圆心到圆上一点的距离确定半径，从而得到圆的方程；
方法二，设出圆的标准方程，待定系数法求圆的方程.
（2）先求圆心与点连线的斜率，利用垂直关系，确定切线斜率，再利用点斜式即可求解切线方程.
【小问1详解】
（方法一）直线的方程为，、的中点为，
所以线段的中垂线方程为，
直线的方程为，、的中点为，
线段的中垂线方程为.
直线与直线的交点为，即圆的圆心为.
点与点的距离为，
即圆的半径为，所以圆的标准方程为.
（方法二）设圆的标准方程为，
则，
解得
故圆标准方程为
【小问2详解】
圆的圆心为，，直线的斜率为，
所以切线斜率为，所求切线方程为，
整理得.
16. 如图，长方体的底面是正方形，分别为的中点，.
（1）证明：平面.
（2）求二面角的余弦值.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算，即可证明线面平行；
（1）由空间向量的坐标运算结合二面角的公式代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
设，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为n=x,y,z，
则即
令，则.
证明.
因为，所以，
平面ACD1，所以平面.
【小问2详解】
易知为平面的一个法向量，且.
.
易得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
17. 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点且与轴垂直的直线交于两点，是与的一个公共点，，.
（1）求与的标准方程；
（2）过点且与相切的直线与交于点，求.
【正确答案】（1）的标准方程为，的标准方程为
（2）
【分析】（1）由抛物线的定义代入计算，即可求得的标准方程，再将点的坐标代入椭圆方程，即可得到的标准方程；
（2）根据题意，联立直线与抛物线方程，结合弦长公式，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
记，则抛物线的方程为，其准线方程为.
因为，所以，解得，则的标准方程为.
不妨设点在第一象限，记，因为，
所以，解得.因为，所以，即.
由解得
所以的标准方程为.
【小问2详解】
不妨设点在第一象限，则.
设直线.
联立得.
由，解得，则.
设.
联立得，则，
故.
18. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面.
（1）证明.
（2）点在线段上，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证平面，再由其性质定理即可证明；
（2）根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算以及线面角的公式代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
证明：取的中点，连接.
因为为等边三角形，所以.
因为为等腰直角三角形，且，所以.
因为平面平面，所以平面，
所以.
【小问2详解】
因为平面平面，平面平面平面，所以平面.
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，则
.
设平面的法向量为n=x,y,z，
则即
令，则，所以.
设直线与平面所成的角为，
则
，当且仅当时，等号成立.
故直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
19. 已知为坐标原点，双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左､右顶点分别为，圆过点，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且.
（1）求的方程；
（2）过点且斜率不为0的直线与双曲线的左､右两支的交点分别为，，连接并延长，交双曲线于点，记直线与直线的交点为，证明：点在曲线上.
【正确答案】（1）
（2）证明见解析
【分析】（1）由圆过点得，由已知得是等边三角形，进而得渐近线的斜率，即可求出，即可得出的方程；
（2）设直线，联立直线与双曲线的方程，根据韦达定理得，将直线与直线的方程变形可得.由及计算可证得结论.
【小问1详解】
因为圆过点，得，所以，.
在中，，
所以，
所以是等边三角形，.
双曲线的一条渐近线的斜率为，即，所以.
故的方程为.
【小问2详解】
证明点在曲线上，即证明点在曲线上.
设直线，则
联立得，
则.
直线的方程为，直线的方程为
将直线与直线的方程变形可得,
即,
得，
即，
即，
化简可得
得，
，
，
，
化简得.
将代入可得，
即点在曲线上.