2024-2025学年陕西省高三上学期第二次月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年陕西省高三上学期第二次月考数学检测试卷（附解析），共19页。

2.（5分）下列命题中，真命题的是（）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
3.（5分）身体质量指数，简称体质指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.该指标是通过体重除以身高的平方计算得来.这个公式所得比值在一定程度可以反映人体密度.一般情况下，我国成年人的身体质量指数在内属正常范围.已知，，三人的体质指数的平均值为20，方差为3.，两人的体质指数分别为18和22.则这5人的体质指数的方差为（）
A. B. C. D.
4.（5分）已知是定义在上的偶函数，，，当时，，则（）
A. B.0 C. D.
5.（5分）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
6.（5分）已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（）
A.31 B.30 C.29 D.28
7.（5分）如图，直线与曲线相切于两点，则函数在上的极大值点个数为（）
A.0 B.1 C.2 D.3
8.（5分）记表示，二者中较大的一个，函数，若使得成立，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分.
9.（6分）已知函数，则下列函数判断正确的是（）
A.为奇函数
B.的图象关于直线对称
C.在上单调递减
D.的图象关于点对称
10.（6分）下列说法不正确的是（）
A.已知，，若，则的取值集合为
B.的定义域为，则的定义域
C.不等式解集为，则
D.“”是“不等式对一切实数恒成立”的充要条件
11.（6分）已知，则下列结论正确的是（）
A.当时，若有三个零点，则的取值范围是
B.当且时，
C.对于任意满足
D.若存在极值点，且，其中，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（5分）某校学生会打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名同学安排到4个不同的社团负责组织活动，每个社团至少安排一名同学，则不同的安排方法种数是___________.
13.（5分）设函数在区间恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是___________.
14.（5分）2022年6月5日神舟十四号载人飞船在长征二号遥十四运载火箭的托举下点火升空，成功进入预定轨道.我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.根据火箭理想速度公式，可以计算理想状态下火箭的最大速度（单位：），其中（单位：）是喷流相对速度，（单位：）是火箭（除推进剂外）的质量，（单位：）是推进剂与火箭质量的总和，应称为总质比.已知型火箭喷流相对速度为，根据以上信息：
（1）当总质比为50时，型火箭的最大速度为___________；
（2）若经过材料更新和技术改进后，型火箭的喷流相对速度提高到原来的2倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为___________.
（所有结果保留整数，参考数据：，，
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点.
（1）求的值；
（2）若角满足，求的值.
16.（15分）已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值，并求函数的单调区间；
（2）若函数在定义域上单调递增，求的取值范围.
17.（15分）若函数，图象的相邻对称轴距离为，且.
（1）求的解析式；
（2）将的图象向右平移个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象.当时，求不等式的解.
18.（17分）传球是排球运动中最基本､最重要的一项技术.传球是由准备姿势､迎球､击球､手型､用力5个动作部分组成.其中较难掌握的是触球时的手型，因为触球时手型正确与否直接影响手控制球的能力和传球的准确性，对初学者来说掌握了正确手型才能保证正确击球点和较好的运用手指，手腕的弹力.从小张､小胡､小郭､小李､小陈这5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.
（1）记小胡､小李､小陈这三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列；
（2）若刚好抽到小胡､小李､小陈三个人相互做传球训练，且第1次由小胡将球传出，记次传球后球在小胡手中的概率为，，2，3，.
①直接写出，，的值；
②求与的关系式，并求.
19.（17分）已知函数（其中，）.
（1）当，时，证明：是增函数；
（2）证明：曲线是中心对称图形；
（3）已知，设函数，若对任意的恒成立，求的最小值.
答案与试题解析
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【分析】求出集合，利用交集定义求解.
解：集合，
则.
故选：B.
【点评】本题考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
2.【分析】举出反例检验选项A，B，D，结合不等式性质检验选项C即可判断.
解：当时，A显然错误；
当时，B显然错误；
若，则，
所以，
所以，C正确；
若时，D然错误.
故选：C.
【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题.
3.【分析】根据方差的计算公式即可求解.
解：三人的体质指数的平均值为20，方差为两人的体质指数分别为18和22.
，
，
，
个人的体质指数的平均数为20，
，
这5人的体质指数的方差为.
故选：A.
【点评】本题考查方差的计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
4.【分析】根据函数奇偶性可得函数的周期，再利用周期性可得，从而可解.
解：因为是定义在上的偶函数，
又，
则，
即，则的周期为4，
则，
又当时，，则，
则.
故选：C.
【点评】本题考查函数的奇偶性､周期性相关知识，属于中档题.
5.【分析】法（1）分段函数分段考虑，借助于求导判断函数在上的单调性求得值域；利用正切函数的单调性求出函数在上的值域，由题意即得.法（2）分别由两个函数单调递增，可得原函数在上单调递增，进而可得函数的值域.
解：当时，，
法（1）由可知在区间单调递增，
故；
法（2）设在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，
所以函数在上单调递增，所以；
当时，在内单调递增，所以，
因为函数的值域为，故须使，即实数的取值范围是.
故选：C.
【点评】本题考查函数的值域的求法，属于基础题.
6.【分析】根据二项式定理相关知识可解.
解：令，可得展开式各项系数之和为，
得，
则展开式通项公式为中的系数为的系数为，
则展开式中的系数为.
故选：C.
【点评】本题考查二项式定理相关知识，属于中档题.
7.【分析】作出与直线平行的函数的所有的切线，即可观察得到与的大小关系的不同区间，进而得出的正负区间，得出的单调性，进而得到的极值情况，从而判定各个选项的正确与否.
解：由题，，则，
作出与直线平行的函数的所有切线，如图，
各切线与函数的切点的横坐标依次为，
则在，处的导数都等于，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
因此函数有三个极大值点，有两个极小值点.
故选：D.
【点评】本题考查了导数的综合应用，属于中档题.
8.【分析】计算出，结合的单调性得到，并求出在区间上的值域为，由题意得到在上的值域包含在上的值域，从而得到不等式，求解即可.
解：因为在上单调递减，在上单调递增，当时，，
所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
即在区间上的值域为，
，
令，
得，
解得或，
画出的图象如图所示，
若，使得成立，
则需要在上的值域包含在上的值域，
则，即，
所以，
即的取值范围是.
故选：A.
【点评】本题考查函数性质的应用，属于中档题.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分.
9.【分析】利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的单调性，对称性分别进行判断即可.
解：，则是偶函数，
当时，，此时取得最小值，即的图象关于直线对称，故B正确，
当时，，此时为减函数，故C正确，
当时，，此时.即函数关于对称，故D错误，
故选：BC.
【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键，是中档题.
10.【分析】对于A，由集合的包含关系可求得，即可判断；
对于B，由抽象函数的定义域可得的定义域为，即可判断；
对于C，由一元二次不等式的解法及韦达定理可得，代入即可判断；
对于D，求出不等式对一切实数恒成立时的取值范围，再根据集合的包含关系，即可判断.
解：对于，因为，
所以当时，；
当时，；
又因为，
所以当时，；
当时，；
综上，，故错误；
对于B，因为的定义域为，
由，解得，
所以的定义域为，故错误；
对于C，因为不等式解集为，
所以是方程的两根，且，
所以，
所以，
所以，故正确；
对于D，当不等式对一切实数恒成立时，
当时，则有，恒成立；
当时，则有解得；
综上，；
又因为是的真子集，
所以“”是“不等式对一切实数恒成立”的充分不必要条件，故错误.
故选：ABD.
【点评】本题考查了集合间的基本运算､求抽象函数的定义域及一元二次不等式的解法，属于中档题.
11.【分析】对于A，B，求导确定函数单调性，求得极值，构造不等式即可判断；对于C，代入解析式化简即可；对于D，由，得到，代入化简即可.
解：对于A：当时，，
由，可得或，
由，可得，
所以的增区间为和，减区间为，
所以在处取到极大值，在处取到极小值，
若有三个零点，则，解得，故正确；
对于B：当，同时，结合中函数的单调性得，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：若，
由，得，则，
因为存在极值点，则，
代入得：，
整理得，即，
即，因为，所以，
又因为本题中，所以，故D正确.
故选：ACD.
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，属于中档题.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【分析】根据排列组合知识可解.
解：先将甲､乙､丙､丁､戊这5名同学分为4组，共有种，
再安排到4个不同的社团负责组织活动，共有种不同的安排方法.
故240.
【点评】本题考查排列组合知识，属于中档题.
13.【分析】利用正弦函数的性质解不等式即可.
解：，则，
函数在区间恰有三个极值点，两个零点，
则，解得，
故的取值范围是.
故答案为.
【点评】本题主要考查正弦函数的图象，属于基础题.
14.【分析】（1）根据总质比为50，结合，即可得出答案；
（2）由题意得经过材料更新和技术改进后，型火箭的喷流相对速度为，总质比为，结合求解，即可得出答案.
解：（1）当总质比为50时，型火箭的最大速度为
（2）由题意得经过材料更新和技术改进后，型火箭的喷流相对速度为，总质比为，要使火箭的最大速度至少增加，
则，
即，
即，
即，
，
故在材料更新和技术改进前总质比的最小值为68.
故3129；68.
【点评】本题考查根据实际问题选择函数类型，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.【分析】（1）由已知条件即可求，则的值可得；
（2）由已知条件即可求，再由
代值计算得答案.
解：（1）角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点.
，
；
（2）由，
得，
又由，
得，
则，
或.
的值为或.
【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的诱导公式的应用，是中档题.
16.【分析】（1）由题可知在点（1，处的切线的斜率为2，根据切线的几何意义即可求解的值，然后利用导数研究函数的单调性即可；
（2）根据题意在上恒成立，只需，利用基本不等式即可求解最小值.
解：（1）由题意可得，则，
又曲线在点处的切线与直线平行，
，即，解得，
，
当或时，，当时，，
函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）若函数在定义域上单调递增，
则在上恒成立，
故只需即可，
因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，所以.
【点评】本题考查导数在函数单调中的应用，属于中档题.
17.【分析】（1）根据三角函数的性质，即可求解；
（2）根据函数的图像变换，换元法，三角函数的性质，即可求解.
解：（1）根据题意可得，
又，又，
，
；
（2）将的图象向右平移个单位可得，
将图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）可得，
可化为：
，
设，
则，
，
，
，
，
，
所求解集为.
【点评】本题考查三角函数的性质，属中档题.
18.【分析】（1）依题意可知的可能取值为，求出所对应的概率，即可得到分布列；
（2）①利用古典概型的概率公式计算可得；
②记表示事件“经过次传球后，球在小胡手中”，由全概率公式可求，再由数列知识，由递推公式求得通项公式.
解：（1）的所有可能取值为，
，
则的分布列为：
（2）①由题意知，；
②记表示事件“经过次传球后，球在小胡手中”，
则，
，
即，
变形可得，且，
可得数列构成以为首项，以为公比的等比数列，
由等比数列的通项公式可得，
整理得.
即次传球后球在小胡手中的概率是.
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列问题，训练了全概率公式的应用，利用递推关系和等比数列的定义得出通项公式是关键，是中档题.
19.【分析】（1）利用即可证明；
（2）利用即可证明；
（3）当时，时，，可知不符合题意；当时，只需即可，此时恒成立，再令，则只需即可.
解：（1）证明：当时，，
，
为增函数；
（2）证明：，
曲线关于点对称，曲线是中心对称图形；
（3）易得，
当时，在上单调递增，且当时，，不符合题意；
当时，令，得在上单调递增，
令，得在上单调递减，
，故只需，即，
，
设，
易得在上单调递减，上单调递增，
，当且仅当时，等号成立，
的最小值为.1
2
3