2025高考数学一轮复习§2.13 函数模型的应用用【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习§2.13 函数模型的应用用【课件】，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，常见的函数模型，探究核心题型，课时精练，所以t＝10等内容，欢迎下载使用。
1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.三种函数模型的性质
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.(　　)(2)A公司员工甲购买了某公司的股票，第一天涨了10%，第二天跌了10%，则员工甲不赚不赔.(　　)(3)已知a>1，在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax的增长速度会超过并远远大于y＝xa和y＝lgax的增长速度.(　　)(4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.(　　)
2.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是A.y＝100x B.y＝lg100xC.y＝x100 D.y＝100x
根据函数特点可知，指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，底数大于1的指数函数增长速度最快.
3.(2024·南宁联考)有一组实验数据如表：
则体现这组数据的最佳函数模型是A.y＝ B.y＝lg2x
通过所给数据可知，y随x的增大而增大，且增长的速度越来越快，A，B选项中的函数增长速度越来越慢，不正确；C选项中，当x＝6时，y≈21.33；D选项中，当x＝6时，y＝18，误差偏大，故C选项正确.
4.(2023·福州模拟)我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系为h(t)＝－5t2＋15t＋20，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为A.26米 B.28米C.31米 D.33米
例1　(1)(多选)(2024·钦州模拟)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论，其中正确的结论为A.在[t1，t2]这段时间内，甲、乙两企业的污水排放 量均达标B.在t2时刻，甲、乙两企业的污水排放量相等C.甲企业的污水排放量的最小值大于乙企业的污水排放量的最大值D.在[0，t1]这段时间内，甲企业的污水排放量高于乙企业的污水排放量
题型一　用函数图象刻画变化过程
由图可知在[t1，t2]这段时间内，甲、乙两企业的污水排放量均超标，故A错误；在t2时刻，甲、乙两企业的污水排放量相等，故B正确；甲企业的污水排放量的最小值不大于乙企业的污水排放量的最大值，故C错误；在[0，t1]这段时间内，甲企业的污水排放量高于乙企业的污水排放量，故D正确.
(2)在一次实验中，某小组测得一组数据(xi，yi)(i＝1,2，…，11)，并由实验数据得到散点图.由此散点图，在区间[－2,3]上，下列四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是A.y＝a＋bx B.y＝a＋bx
由散点图的定义域可排除C，D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型.
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象.(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
跟踪训练1　如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象大致是
函数图象大致如A选项所示.
例2　(1)(2023·南京模拟)目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，发现地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.则里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的A.6倍 B.102倍C.103倍 D.106倍
题型二　已知函数模型的实际问题
设里氏8.0级地震所释放出来的能量为E1，里氏6.0级地震所释放出来的能量为E2，则lg E1＝4.8＋1.5×8＝16.8，E1＝1016.8；lg E2＝4.8＋1.5×6＝13.8，E2＝1013.8，
(2)(2023·无锡模拟)根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1 mg/m3为安全范围.已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度为6.05 mg/m3，使用了甲醛喷剂并处于良好通风环境下时，室内甲醛浓度μ(t)(单位：mg/m3)与竣工后保持良好通风的时间t(t∈N)(单位：天)近似满足函数关系式μ(t)＝ ＋0.05(λ∈R)，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)A.32天 B.33天 C.34天 D.35天
依题意可知当t＝0时，μ(t)＝6.05，即6.05＝ ＋0.05，解得λ＝6，所以μ(t)＝ ＋0.05，由μ(t)＝ ＋0.05≤0.1，
又t∈N，所以tmin＝34，至少需要放置的时间为34天.
已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
跟踪训练2　(2023·东莞联考)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是100小时，在10 ℃的保鲜时间是60小时，则该食品在20 ℃的保鲜时间是A.20 小时 B.24 小时C.32 小时 D.36 小时
由题意可得eb＝100，e10k＋b＝60，
即该食品在20 ℃的保鲜时间是36小时.
题型三　构造函数模型的实际问题
例3　(2023·宣城模拟)某旅游开发公司计划2023年在某地质大峡谷开发新的游玩项目，全年需投入固定成本300万元，若该项目在2023年有游客x万人，则需另投入成本R(x)万元，且R(x)＝ 该游玩项目的每张门票售价为100元.为吸引游客，该公司实行门票五折优惠活动.当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该游玩项目财政补贴10x万元.
(1)求2023年该项目的利润W(x)(万元)关于游客人数x(万人)的函数关系式(利润＝收入－成本)；
该项目的门票收入为50x万元，财政补贴收入为10x万元，共60x万元收入，
(2)当2023年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？
当010p3C.p3＝100p0 D.p1≤100p2
且 ∈[60,90]， ∈[50,60]，所以所以p1≥p2，故A正确；
因为 ＝40，所以p3＝ ＝100p0，故C正确；
假设p2>10p3，则所以所以 ，不可能成立，故B不正确；
所以p1≤100p2，故D正确.
三、填空题9.某商场为了实现100万元的利润目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在利润达到5万元后，奖金y(单位：万元)随利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%，现有三个奖励模型：①y＝0.2x，②y＝lg5x，③y＝1.02x，则符合该商场要求的模型为______.(填序号)
在同一平面直角坐标系中作出函数y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x的图象，如图所示.观察图象可知，在区间[5,100]内，函数y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有函数y＝lg5x的图象始终在直线y＝3和y＝0.2x的下方，所以按模型y＝lg5x进行奖励符合商场的要求.
10.(2023·温州联考)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用85 ℃的开水泡制，再等茶水温度降至55 ℃时饮用，可以产生最佳口感，如果茶水原来的温度是T0 ℃，经过一定时间t(单位：min)后的温度T(单位：℃)可由公式T－Tα＝ 求得，其中Tα表示室温，h是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，现有一杯85 ℃的绿茶放在室温为25 ℃的房间中，如果茶温降到40 ℃需要20 min，那么在25 ℃室温下，用85 ℃的开水刚泡好的绿茶大约需要放置______ min才能达到最佳饮用口感.
由题意得40－25＝(85－25)× ，
设一杯85 ℃的绿茶放在室温为25 ℃的房间中，茶温降到55 ℃需要t min，则55－25＝(85－25)× ，
四、解答题11.(2023·南京统考)某企业为响应国家“节约用水”的号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，该企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)＝ (x>0).该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和为y(单位：万元).(1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；
要满足题意，则y≤7.2，
解得11≤x≤20.即设备占地面积x的取值范围为[11,20].
(2)当设备占地面积x为多少时，y的值最小？
所以当设备占地面积为15 平方米时，y的值最小.
12.(2024·株洲模拟)研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示，当x∈[0,16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16,40]时，曲线是函数y＝lg0.8(x＋a)＋80图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.(1)求函数y＝f(x)的解析式；
当x∈[0,16]时，设函数f(x)＝b(x－12)2＋84(b