（寒假）2024-2025年高二数学 寒假巩固讲义+随堂检测 第01课 一元二次不等式及基本不等式（2份，原卷版+教师版）

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1、 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
2、由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法
（1）.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞0，, b2－4ac＜0.))
（2）一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜0，, b2－4ac＜0.))
3、．简单分式不等式
(1)eq \f(fx,gx)≥0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fxgx≥0，,gx≠0.))
(2)eq \f(fx,gx)>0⇔f(x)g(x)>0
【例1】设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ）
A．–4B．–2C．2D．4
【变式1-1】关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)0在R上恒成立”的充要条件是( )
A．m>eq \f(1,4) B．m0解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围).
(2) 转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，若f(x)≥a恒成立，则f(x)min≥a，即m≥a；若f(x)≤a恒成立，则f(x)max≤a，即n≤a.
3. 一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x范围的方法：
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数，即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.
基本不等式及应用
1、基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．
2、几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)．
(3)ab≤(eq \f(a＋b,2))2 (a，b∈R)．
(4)eq \f(a2＋b2,2)≥(eq \f(a＋b,2))2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3、利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P).
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2.
注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
考向四 运用基本不等式求函数的最值
【例4】(1)已知00
a>0，Δ0，Δ≤0
ax2＋bx＋c