（寒假）2024-2025年高二数学 寒假巩固讲义+随堂检测 第03课 三角恒等变换（2份，原卷版+教师版）

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知识梳理
1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式
sin(α±β)＝sinαcsβ±csαsinβ，简记作S(α±β)；
cs(α±β)＝csαcsβ∓sinαsinβ，简记作C(α±β)；
tan(α±β)＝eq \f(tanα±tanβ,1∓tanα·tanβ)，简记作T(α±β)．
2. 二倍角公式
sin2α＝2sinα·csα；
tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)；
cs2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α．
3. 辅助角公式
y＝asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中φ为辅助角，且其中csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，tanφ＝eq \f(b,a).
4. 公式的逆用及有关变形
tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα·tanβ)；
sinα±csα＝eq \r(2)sin(α±eq \f(π,4))；
sinα·csα＝eq \f(1,2)sin2α；
1＋sin2α＝(sinα＋csα)2；
1－sin2α＝(sinα－csα)2；
sin2α＝eq \f(1－cs2α,2)；
cs2α＝eq \f(1＋cs2α,2)；
tan2α＝eq \f(1－cs2α,1＋cs2α)(降幂公式)；
1－cs2α＝2sin2α；1＋cs2α＝2cs2α(升幂公式)
考向一 利用两角和(差)公式运用
【例1】已知为锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】运用两角和与差的正弦公式和同角的商数关系，计算即可得到所求值
【详解】因为，所以，
所以，所以.故选：B
【变式1-1】已知角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由任意三角形的定义求出，由两角差的正弦公式代入即可求出.
【详解】因为角的终边过点，由任意三角形的定义知：，
.故选：D.
【变式1-2】下列选项中，与的值相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】，，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．故选：BC
【变式1-3】已知是第二象限角，且，，则____.
【答案】
【解析】由是第二象限角，且，可得，，
由，可得，代入，可得，
故答案为：.
方法总结：考查两角和差的三角函数．公式的结构特征要记牢，在求值、化简时，注意观察角度、函数名、所求角与已知角之间的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．求角问题的关键在于选择恰当的三角函数，选择的标准是，在角的范围内根据函数值，角有唯一解．本题考查逻辑思维能力，考查转化与化归思想．
考向二 二倍角公式的运用
【例2】（多选）下列各式的值等于的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】】，故错误，，故正确
，故正确，，故错误，综上所述，故选
【变式2-1】已知，则的值为（ ）
A．B．C．－D．
【答案】B
【解析】
，
故选：B
【变式2-2】化简： （ eq \f(1,tan \f(α,2))－tan eq \f(α,2)）·（1＋tan α·tan eq \f(α,2)）＝ ；
【答案】 eq \f(2,sin α).
【解析】 原式＝ eq \f(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cs \f(α,2))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(sin α,cs α)·\f(sin \f(α,2),cs \f(α,2))))＝ eq \f(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cs \f(α,2))· eq \f(cs αcs \f(α,2)＋sin αsin \f(α,2),cs αcs \f(α,2))＝ eq \f(2cs α,sin α)· eq \f(cs \f(α,2),cs αcs \f(α,2))＝ eq \f(2,sin α).
方法总结：本题考查二倍角公式的简单应用．三角函数式的化简要注意以下3点：①看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等．本题考查运算求解能力，逻辑思维能力，考查转化与化归思想．
考向三 公式的综合运用
【例3】计算（ ）
A．1B．﹣1C．D．
【答案】B
【解析】
故选：B
【变式3-1】化简______．
【答案】
【解析】因为 ．故答案为：
【变式3-2】已知，，其中，为锐角，以下判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】因为，，其中，为锐角，故
所以：，故A正确；因为，
所以，故B错误；
可得，故C正确；
可得，所以，故D错误．故选:AC
【变式3-3】已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】所以，所以
故选:B.
方法总结：
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征.
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
三角恒等变换（2）
知识梳理
1. 在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要切化弦．
2. 要注意对“1”的代换：
如1＝sin2α＋cs2α＝taneq \f(π,4)，还有1＋csα＝2cs2eq \f(α,2)，1－csα＝2sin2eq \f(α,2).
3. 对于sinαcsα与sinβ±csα同时存在的试题，可通过换元完成：
如设t＝sinα±csα，则sinαcsα＝±eq \f(t2－1,2).
4. 要注意角的变换，熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，eq \f(α,3)是eq \f(2α,3)的半角，eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的倍角等．
5. 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式：
(1)y＝asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2)).则－eq \r(a2＋b2)≤y≤eq \r(a2＋b2).
(2)y＝asin2x＋bsinxcsx＋ccs2x可先降次，整理转化为上一种形式．
(3)y＝eq \f(asinx＋b,csinx＋d)(或y＝eq \f(acsx＋b,ccsx＋d))
可转化为只有分母含sinx或csx的函数式sinx＝f(y)的形式，由正、余弦函数的有界性求解．
6. 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式：
(1)y＝asin2x＋bcsx＋c可转化为关于csx的二次函数式．
(2)y＝asinx＋eq \f(c,bsinx)(a，b，c＞0)，令sinx＝t，则转化为求y＝at＋eq \f(c,bt)(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．
考向四 变角的运用
【例4】已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
.
故选：C.
【变式4-1】若，，则___________.
【答案】
【解析】因为，，所以，
故答案为：
【变式4-2】已知，，则的值为______．
【答案】
【解析】，而，
∴，∴.故答案为：.
【变式4-3】已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(24,25)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝________.
【答案】 －eq \f(4,5)
【解析】 由题意知，α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)＜0，所以cs(α＋β)＝eq \f(4,5)，因为β－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝－eq \f(7,25)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（α＋β）－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))＝cs(α＋β)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝－eq \f(4,5).
方法总结：所谓边角就是用已知角表示所求的角，要重点把握住它们之间的关系，然后运用有关公式进行求解。
考向五 求角
【例5】已知锐角α，β满足sin α＝ eq \f(\r(5),5)，cs β＝ eq \f(3\r(10),10)，则α＋β的值为 ．
【解析】 因为α，β为锐角，且sin α＝ eq \f(\r(5),5)，cs β＝ eq \f(3\r(10),10)，所以cs α＝ eq \r(1－sin2α)＝ eq \r(1－\f(1,5))＝ eq \f(2\r(5),5)，
sinβ＝ eq \r(1－cs2β)＝ eq \r(1－\f(9,10))＝ eq \f(\r(10),10)，所以cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β＝ eq \f(2\r(5),5)× eq \f(3\r(10),10)－ eq \f(\r(5),5)× eq \f(\r(10),10)＝ eq \f(\r(2),2).
由0＜α＜ eq \f(π,2)，0＜β＜ eq \f(π,2)，得0＜α＋β＜π.又cs (α＋β)＞0，所以α＋β为锐角，所以α＋β＝ eq \f(π,4).
【变式5-1】已知α，β为锐角，且sin α＝ eq \f(\r(5),5)，cs β＝ eq \f(\r(10),10)，则α－β的值为 ．
【解析】 因为α，β为锐角，所以由sin α＝ eq \f(\r(5),5)，cs β＝ eq \f(\r(10),10)，得cs α＝ eq \f(2\r(5),5)，sin β＝ eq \f(3\r(10),10)，所以α＜β，
所以－ eq \f(π,2)＜α－β＜0，所以cs (α－β)＝ eq \f(2\r(5),5)× eq \f(\r(10),10)＋ eq \f(\r(5),5)× eq \f(3\r(10),10)＝ eq \f(\r(2),2)，故α－β＝－ eq \f(π,4).
【变式5-2】若sin 2α＝ eq \f(\r(5),5)，sin (β－α)＝ eq \f(\r(10),10)，且α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，β∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，则α＋β的值为__________．
【答案】 eq \f(7π,4)
【解析】 因为α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，所以2α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，2π)).又sin 2α＝ eq \f(\r(5),5)，所以2α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，故cs 2α＝－ eq \f(2\r(5),5).又β∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，所以β－α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,4)))，故cs (β－α)＝－ eq \f(3\r(10),10)，所以cs (α＋β)＝cs [2α＋(β－α)]＝cs 2α·cs (β－α)－sin 2αsin (β－α)＝－ eq \f(2\r(5),5)×（－ eq \f(3\r(10),10)）－ eq \f(\r(5),5)× eq \f(\r(10),10)＝ eq \f(\r(2),2).又α＋β∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，2π))，故 α＋β＝ eq \f(7π,4).
【变式5-3】（多选）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】，故，
所以或，故或.
又，所以或，故选：BD.
方法总结：求角的步棸：1、求角的某一个三角函数值，（结合具体情况确定是正弦、余弦还是正切）2、确定角的范围（范围尽量缩小）3、根据范围和值确定角的大小。
考向六 公式的综合运用
【例6】已知函数f(x)＝sin (x＋θ)＋a cs (x＋2θ)，其中a∈R，θ∈（- eq \f(π,2)， eq \f(π,2)）.
(1) 当a＝ eq \r(2)，θ＝ eq \f(π,4)时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；
(2) 若f( eq \f(π,2))＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．
【解析】 (1) 由题意，得f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＋ eq \r(2)cs（x＋ eq \f(π,2)）＝ eq \f(\r(2),2)(sin x＋cs x)－ eq \r(2)sin x＝ eq \f(\r(2),2)cs x－ eq \f(\r(2),2)sin x＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)).
因为x∈[0，π]，所以 eq \f(π,4)－x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)，\f(π,4)))，故f(x)在区间[0，π]上的最大值为 eq \f(\r(2),2)，最小值为－1.
(2) 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝0，,f(π)＝1，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs θ(1－2a sin θ)＝0，,2a sin2θ－sinθ－a＝1.))由θ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))知cs θ≠0，解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,θ＝－\f(π,6)．))
【变式6-1】（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．是图象的一条对称轴
C．的最小正周期为
D．将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称
【答案】AC
【解析】，A正确；
，由于在对称轴处函数值要取到最值，故B错误；
，C正确；将的图象向左平移个单位后得，其为偶函数，不关于原点对称，D错误.
故选：AC.
【变式6-2】已知，，则（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】D
【解析】因为，所以，所以，
所以，所以或，因为，所以，所以，
所以
.
故选：D.
【变式6-3】已知，．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
解：因为，，
又，所以，
所以.
(2)解：因为，
，
又因为，所以，
由（1）知，，
所以．
因为，，则，所以．
方法总结：降幂公式是解决含有cs2x、sin2x式子的问题较常用的变形之一，它体现了逆用二倍角公式的解题技巧．
三角恒等变换 随堂检测
1.（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.
【详解】由题意，.故选：D.
2.若sin(α+β)+cs(α+β)=22csα+π4sinβ，则（ ）
A．tan(α−β)=1 B．tan(α+β)=1 C．tan(α−β)=−1 D．tan(α+β)=−1
【答案】C
【解析】由已知得：sinαcsβ+csαsinβ+csαcsβ−sinαsinβ=2(csα−sinα)sinβ,
即：sinαcsβ−csαsinβ+csαcsβ+sinαsinβ=0，即：sinα−β+csα−β=0,
所以tanα−β=−1,故选：C
3.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
，，，解得，
，.故选：A.
4.已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
【详解】，得，即，解得或（舍去），又.故选：A.
5.已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2B．–1C．1D．2
【答案】D
【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.
【详解】，，令，则，整理得，解得，即.故选：D.
6.已知，则（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【解析】由于且，则有．由得，，故，故选：D．
7.已知，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为，而，因此，
则，所以.故选：B
8.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．故选：C．
9.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项.
【详解】由三点共线，从而得到，因为，
解得，即，所以，故选B.
10.已知函数，则
A．的最小正周期为，最大值为 B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为 D．的最小正周期为，最大值为
【答案】B
【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.
【详解】根据题意有，所以函数的最小正周期为，
且最大值为，故选B.
11.若α＋β＝ eq \f(3π,4)，则(1－tan α)(1－tan β)＝ ．
【答案】 2
【解析】 因为tan eq \f(3π,4)＝tan (α＋β)＝ eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝－1，所以tan αtan β－1＝tan α＋tan β，所以(1－tan α)(1－tan β)＝1－tan α－tan β＋tan α·tan β＝2.
12.在△ABC中，tan A＋tan B＋ eq \r(3)＝ eq \r(3)tan Atan B，则C＝ ；
【答案】 eq \f(π,3).
【解析】 由已知，得tan A＋tan B＝ eq \r(3)(tan Atan B－1)，所以tan (A＋B)＝ eq \f(tan A＋tan B,1－tan A tan B)＝－ eq \r(3).又0