（寒假）2024-2025年高二数学 寒假巩固讲义+随堂检测 第05课 平面向量（2份，原卷版+教师版）

这是一份（寒假）2024-2025年高二数学 寒假巩固讲义+随堂检测 第05课 平面向量（2份，原卷版+教师版），文件包含寒假2024-2025年高二数学寒假巩固讲义+随堂检测第05课平面向量教师版docx、寒假2024-2025年高二数学寒假巩固讲义+随堂检测第05课平面向量教师版pdf、寒假2024-2025年高二数学寒假巩固讲义+随堂检测第05课平面向量原卷版docx、寒假2024-2025年高二数学寒假巩固讲义+随堂检测第05课平面向量原卷版pdf等4份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。
1、向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图所示，作eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(OB,\s\up7(―→))＝b，则
∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)范围：夹角θ的范围是[0，π]．
当θ＝0时，两向量a，b共线且同向；
当θ＝eq \f(π,2)时，两向量a，b相互垂直，记作a⊥b；
当θ＝π时，两向量a，b共线但反向．
2、平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cs θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cs θ，其中θ是a与b的夹角．
规定：零向量与任一向量的数量积为零．
3、平面向量数量积的几何意义
(1)一个向量在另一个向量方向上的投影
设θ是a，b的夹角，则|b|cs θ叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cs θ叫做向量a在向量b的方向上的投影．
(2)a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘积．
4、向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a.
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
5、平面向量数量积的性质
设a，b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量，θ是a与e的夹角，则
(1)e·a＝a·e＝|a|cs θ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
(4)cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(5)|a·b|≤|a||b|.
6、平面向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则
(1)|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))； (2)a·b＝x1x2＋y1y2；
(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0;_ (4)cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
考向一 平面向量的夹角及模的问题
【例1】已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】已知，当时，向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】若非零向量a，b满足|a|＝ eq \f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为 .
【变式1-3】已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，若2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是 ．
方法总结：求向量的夹角，有两种方法：
(1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)求得．
(2)公式法：若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cs〈a，b〉＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))，〈a，b〉∈[0，π]．
考向二 平面向量中的垂直
【例2】已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，且eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，则实数λ的值为( )
A.eq \f(22,15) B.eq \f(10,3) C.6 D.eq \f(12,7)
【变式2-1】（多选）已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．向量与的夹角为30°D．向量在上的投影向量为
【变式2-2】（多选）若是所在的平面内的点，且下面给出的四个命题中，其中正确的是（ ）
A．B．
C．点､､…一定在一条直线上D．､在向量方向上的投影一定相等
方法总结：平面向量的垂直问题，有两个类型：
(1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可。
(2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值。
考向三 平面向量的数量积的运算
【例3】在中，，点E满足，则（ ）
A．B．C．3D．6
【变式3-1】如图，在△ABC中，AD⊥AB， eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \r(3) eq \(BD,\s\up6(→))，| eq \(AD,\s\up6(→))|＝1，则 eq \(AC,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＝ ．
【变式3-2】在△ABC中，∠BAD＝60°， eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \r(3) eq \(BD,\s\up6(→))，| eq \(AD,\s\up6(→))|＝1， eq \(AC,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＝1，则| eq \(AB,\s\up6(→))|＝ ．
【变式3-3】（多选）在中，，，其中，，，，，则（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
方法总结：
1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a|＝eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义.
2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.
平面向量的应用
1、 向量在平面几何中的应用
(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义．
(2)证明线段平行，三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件，a∥b⇔eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)⇔x1y2－x2y1＝0(x2≠0，y2≠0)．
(3)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．
(4)求夹角问题：利用夹角公式csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝
eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2))).
(5)用向量方法解决几何问题的步骤：
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
③把运算结果“翻译”成几何关系．
2、向量在解析几何中的应用
(1)直线的倾斜角、斜率与平行于该直线的向量之间的关系．
设直线l的倾斜角为α，斜率为k，向量a＝(a1，a2)平行于l，则k＝tanα＝eq \f(a2,a1)；如果已知直线的斜率为k＝eq \f(a2,a1)，则向量(a1，a2)与向量(1，k)一定都与l平行．
(2)与a＝(a1，a2)平行且过P(x0，y0)的直线方程为y－y0＝eq \f(a2,a1)(x－x0)，过点P(x0，y0)且与向量a＝(a1，a2)垂直的直线方程为y－y0＝－eq \f(a1,a2)(x－x0)．
考向四 平面向量在平面几何中的应用
【例4】（1）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的______心．
（2）等腰直角三角形中，，，点是斜边上一点，且，那么（ ）
A．B．C．2D．4
（3）已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E，F分别在边AD，DC上，eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))，eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(→))，则eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(BF,\s\up6(→))＝________.
方法总结：利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
1、若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数
考向五 平面向量与三角综合
【例5】在中，，为的重心，若，则外接圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】已知点在圆上，点的坐标为，为坐标原点，则的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】的内角，，的对边分别为，，.已知向量，，且.
（1）求；
（2）若，且，求的周长.
方法总结：
(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题，有时还加入参数，考查分类讨论的思想方法．
(2)向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解．
(3)注意向量夹角与三角形内角的区别与联系，避免出现将内角等同于向量夹角的错误．
考向六 平面向量与解析几何
【例6】(1)已知向量eq \(OA,\s\up7(―→))＝(k,12)，eq \(OB,\s\up7(―→))＝(4,5)，eq \(OC,\s\up7(―→))＝(10，k)，且A，B，C三点共线，当k