（寒假）2024-2025年高二数学 寒假巩固讲义+随堂检测 第07课 直线与圆的位置关系（2份，原卷版+教师版）

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1.圆的定义及方程
2. 点与圆的位置关系
(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系．
(2)三种情况
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．
①(x0 －a)2＋(y0 －b)2＝r2⇔点在圆上；
②(x0 －a)2＋(y0 －b)2>r2⇔点在圆外；
③(x0－a)2＋(y0 －b)20)，将P，Q两点的坐标分别代入，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2D－4E－F＝20①，,3D－E＋F＝－10②.))又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0③.设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6，即(x1＋x2)2－4x1x2＝36，得D2－4F＝36④.由①②④，解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0，故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
(2) 已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线 l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则该圆的方程是________________________；
【答案】 (x－1)2＋(y＋4)2＝8
【解析】 过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线方程为x－y－5＝0，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)，所以半径r＝ eq \r((3－1)2＋(－2＋4)2)＝2 eq \r(2)，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(3) 若一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为 2 eq \r(7)，则该圆的方程为___________________．
【答案】 (x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9
【解析】 因为所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，所以设所求圆的圆心为(3a，a).因为所求圆与y轴相切，所以半径r＝3|a|.因为所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2 eq \r(7)，圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝ eq \f(|2a|,\r(2))，所以d2＋( eq \r(7))2＝r2，即2a2＋7＝9a2，所以a＝±1.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
【变式1-1】已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且截直线x－y－3＝0所得的弦长为eq \r(6)，则圆C的方程为________.
【答案】 (x－1)2＋(y＋1)2＝2
【解析】法一 ∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，∴可设所求圆的圆心为(a，－a).∵所求圆与直线x－y＝0相切，∴半径r＝eq \f(2|a|,\r(2))＝eq \r(2)|a|.又所求圆截直线x－y－3＝0所得的弦长为eq \r(6)，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝eq \f(|2a－3|,\r(2))，∴d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))eq \s\up12(2)＝r2，即eq \f(（2a－3）2,2)＋eq \f(3,2)＝2a2，解得a＝1，
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
法二 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则圆心(a，b)到直线x－y－3＝0的距离d＝eq \f(|a－b－3|,\r(2))，∴r2＝eq \f(（a－b－3）2,2)＋eq \f(3,2)，即2r2＝(a－b－3)2＋3.①
∵所求圆与直线x－y＝0相切，∴eq \f(|a－b|,\r(12＋（－1）2))＝r.② 又∵圆心在直线x＋y＝0上，∴a＋b＝0.③
联立①②③，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－1，,r＝\r(2)，))故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
方法总结：求圆的方程的方法：
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
考向二 与圆有关的最值问题
【例2】（1）已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值．
【解析】 设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在 y轴上的截距，
所以x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距．
由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即 eq \f(|2＋(－3)－t|,\r(2))＝1，解得t＝ eq \r(2)－1或t＝－ eq \r(2)－1，
所以x＋y的最大值为 eq \r(2)－1，最小值为－ eq \r(2)－1.
（2）已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上求 eq \f(y,x)的最大值和最小值．
【解析】 eq \f(y,x)可视为点(x，y)与原点连线的斜率， eq \f(y,x)的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．
设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即 eq \f(|2k＋3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－2＋ eq \f(2\r(3),3)或k＝－2－ eq \f(2\r(3),3)，所以 eq \f(y,x)的最大值为－2＋ eq \f(2\r(3),3)，最小值为－2－ eq \f(2\r(3),3).
（3）已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上 eq \r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值和最小值．
【解析】 eq \r(x2＋y2＋2x－4y＋5)＝ eq \r((x＋1)2＋(y－2)2)，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差．
又圆心到定点(－1，2)的距离为 eq \r(34)，
所以 eq \r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值为 eq \r(34)＋1，最小值为 eq \r(34)－1
【变式2-1】若实数x，y满足x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，求下列各式的最大值和最小值．
(1)eq \f(y,x－4)；
(2)3x－4y；
(3)x2＋y2.
【解析】 (1)(方法1)令eq \f(y,x－4)＝k，则kx－y－4k＝0.
∵x，y满足x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，
∴圆心(－1，2)到直线kx－y－4k＝0的距离不大于圆的半径2，即eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2＋5k)),\r(k2＋1))≤2，解得－eq \f(20,21)≤k≤0，
∴eq \f(y,x－4)的最大值为0，最小值为－eq \f(20,21).
(方法2)令eq \f(y,x－4)＝k，则y＝k(x－4)代入圆的方程，整理得(1＋k2)x2＋(2－4k－8k2)x＋16k2＋16k＋1＝0，
∵上述方程有实数根，∴Δ＝(2－4k－8k2)2－4(1＋k2)·(16k2＋16k＋1)≥0，化简整理得21k2＋20k≤0，解得－eq \f(20,21)≤k≤0，∴eq \f(y,x－4)的最大值为0，最小值为－eq \f(20,21).
(2)(方法1)设3x－4y＝k，则3x－4y－k＝0，圆心(－1，2)到该直线的距离不大于圆的半径，即eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－3－8－k)),\r(25))≤2，解得－21≤k≤－1，∴3x－4y的最大值为－1，最小值为－21.
(方法2)设k＝3x－4y，即y＝eq \f(3,4)x－eq \f(k,4)，代入圆的方程，整理得25x2－(16＋6k)x＋k2＋16k＋16＝0，
∵上述方程有实数根，∴Δ＝(－16－6k)2－4×25(k2＋16k＋16)≥0，化简整理得k2＋22k＋21≤0，
解得－21≤k≤－1，∴3x－4y的最大值为－1，最小值为－21.
(3)(方法1)先求出原点与圆心之间的距离d＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－0))2)＝eq \r(5)，
根据几何意义，知x2＋y2的最大值为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(5)＋2))eq \s\up12(2)＝9＋4eq \r(5)，最小值为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(5)－2))eq \s\up12(2)＝9－4eq \r(5).
(方法2)由(1)的方法知，圆的方程中的x，y变为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1＋2csα，,y＝2＋2sinα))(α∈R)，
x2＋y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1＋2csα))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋2sinα))eq \s\up12(2)＝9＋8sinα－4csα＝9＋4eq \r(5)sin(α＋φ)
∴x2＋y2的最大值为9＋4eq \r(5)，最小值为9－4eq \r(5).
【变式2-2】已知点，点，R是圆上动点，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】因为R是圆上的动点，则设，其中.
则，得
，其中满足
，则，当且仅当时取等号.故答案为：.
方法总结：
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法：一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
(2)与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝eq \f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
考向三 与圆有关的轨迹问题
【例3】已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1) 求线段AP中点的轨迹方程；
(2) 若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
【解析】 (1) 设AP的中点为M(x，y). 由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x－2，2y).
因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，
即(x－1)2＋y2＝1，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2) 设PQ的中点为N(a，b).在Rt△PBQ中，PN＝BN.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，所以a2＋b2＋(a－1)2＋(b－1)2＝4，
化简，得a2＋b2－a－b－1＝0，
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
【变式3-1】已知点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为A、B，且，则动点P的轨迹的长度为____________．
【答案】
【解析】因为 , 所以 , 所以，
解得 ,设点 的坐标为 ,所以 ,解得 ,所以动点 的轨迹的长度为.故答案为：.
【变式3-2】在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2eq \r(2)，在y轴上截得线段长为2eq \r(3)．
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为eq \f(\r(2),2)，求圆P的方程．
【解析】 (1)设P(x，y)，圆P的半径为r．则y2＋2＝r2，x2＋3＝r2．∴y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1．
∴P点的轨迹方程为y2－x2＝1．
(2)设P的坐标为(x0，y0)，则eq \f(|x0－y0|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，即|x0－y0|＝1．∴y0－x0＝±1，即y0＝x0±1．
①当y0＝x0＋1时，由yeq \\al(2,0)－xeq \\al(2,0)＝1得(x0＋1)2－xeq \\al(2,0)＝1．∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝0，,y0＝1，))∴r2＝3．
∴圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3．
②当y0＝x0－1时，由yeq \\al(2,0)－xeq \\al(2,0)＝1得(x0－1)2－xeq \\al(2,0)＝1．∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝0，,y0＝－1，))∴r2＝3．
∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3．综上所述，圆P的方程为x2＋(y±1)2＝3．
方法总结：求与圆有关的轨迹问题的方法：
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
考向四 直线与圆的位置关系
【例4】直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为( )
A.相交、相切或相离 B.相交或相切 C.相交 D.相切
【答案】 C
【解析】方法一 直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直线恒过定点(1,2).
因为12＋22－2×1－8