（寒假）2024-2025年高二数学 寒假巩固讲义+随堂检测 第08课 直线与圆锥曲线的位置关系（2份，原卷版+教师版）

这是一份（寒假）2024-2025年高二数学 寒假巩固讲义+随堂检测 第08课 直线与圆锥曲线的位置关系（2份，原卷版+教师版），文件包含寒假2024-2025年高二数学寒假巩固讲义+随堂检测第08课直线与圆锥曲线的位置关系原卷版docx、寒假2024-2025年高二数学寒假巩固讲义+随堂检测第08课直线与圆锥曲线的位置关系原卷版pdf、寒假2024-2025年高二数学寒假巩固讲义+随堂检测第08课直线与圆锥曲线的位置关系解析版docx、寒假2024-2025年高二数学寒假巩固讲义+随堂检测第08课直线与圆锥曲线的位置关系解析版pdf等4份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
1、直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程．
例：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0))消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则：
Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δ0，即keq \f(\r(,3),2)时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．
(2) 当Δ＝0，即k＝±eq \f(\r(,3),2)时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3) 当Δ－ eq \f(1,3)，
所以y1＋y2＝2，y1y1＝－3t.
因为 eq \(AP,\s\up6(→))＝3 eq \(PB,\s\up6(→))，所以y1＝－3y2，所以y2＝－1，y1＝3，所以y1y2＝－3，
则AB＝ eq \r(1＋\f(4,9))· eq \r((y1＋y2)2－4y1y2)＝ eq \f(\r(13),3)× eq \r(4＋12)＝ eq \f(4\r(13),3).
方法总结：
(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长．
(2)涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算．
(3)涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
考向三 求圆锥曲线的中点弦
【例3】(1) 已知P(1，1)为椭圆 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,2)＝1内的一点，经过点P引一条弦交椭圆于A，B两点，且此弦被点P平分，则此弦所在直线的方程为________；
【答案】 x＋2y－3＝0
【解析】 方法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y－1＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2).联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－1＝k(x－1)，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))消去y并整理，得(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，所以x1＋x2＝ eq \f(4k(k－1),2k2＋1).又因为x1＋x2＝2，所以 eq \f(4k(k－1),2k2＋1)＝2，解得k＝－ eq \f(1,2)，故此弦所在的直线方程为y－1＝－ eq \f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.
方法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 eq \f(x eq \\al(2,1),4)＋ eq \f(y eq \\al(2,1),2)＝1①， eq \f(x eq \\al(2,2),4)＋ eq \f(y eq \\al(2,2),2)＝1②，由①－②，得 eq \f((x1＋x2)(x1－x2),4)＋ eq \f((y1＋y2)(y1－y2),2)＝0.因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，所以 eq \f(x1－x2,2)＋y1－y2＝0，所以k＝ eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－ eq \f(1,2)，所以此弦所在的直线方程为y－1＝－ eq \f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.
(2) 已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为________．
【答案】 x2＝3y
【解析】 设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝ay，,y＝2x－2，))消去y并整理，得x2－2ax＋2a＝0，所以 eq \f(x1＋x2,2)＝ eq \f(2a,2)＝3，即a＝3，所以所求抛物线的方程是 x2＝3y.
变式1、以A(2，1)为中点的双曲线C：2x2－y2＝2的弦所在直线的方程为________.
【答案】 4x－y－7＝0
【解析】 设A(2，1)是弦P1P2的中点，且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
∵P1，P2在双曲线上，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2xeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,1)＝2，,2xeq \\al(2,2)－yeq \\al(2,2)＝2，))∴2(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴2×4(x1－x2)＝2(y1－y2)，
∴k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝4.∴以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为y－1＝4(x－2)，整理得4x－y－7＝0.
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x－y－7＝0，,2x2－y2＝2，))得14x2－56x＋51＝0，∵Δ＝(－56)2－4×14×51＞0.
∴以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为4x－y－7＝0
方法总结：
(1)处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：
①设点：设出弦的两端点坐标；②代入：代入圆锥曲线方程；③作差：两式相减，再用平方差公式把上式展开；④整理：转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．
(2)“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．由于“点差法”具有不等价性，所以在使用时要考虑判别式Δ是否为正数
考向四 圆锥曲线中的综合性问题
【例4】如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在 x轴上的椭圆C： eq \f(x2,8)＋ eq \f(y2,b2)＝1经过点(b，2e)，其中e为椭圆C的离心率．过点T(2，0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(点A在 x轴的下方).
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 若 eq \(AT,\s\up6(→))＝2 eq \(TB,\s\up6(→))，求直线l的斜率k.
【解析】 (1) 因为椭圆 eq \f(x2,8)＋ eq \f(y2,b2)＝1经过点(b，2e)，所以 eq \f(b2,8)＋ eq \f(4e2,b2)＝1.
因为e2＝ eq \f(c2,a2)＝ eq \f(c2,8)，所以 eq \f(b2,8)＋ eq \f(c2,2b2)＝1.因为a2＝b2＋c2，所以 eq \f(b2,8)＋ eq \f(8－b2,2b2)＝1，
整理，得 b4－12b2＋32＝0，解得b2＝4或b2＝8(舍去)，所以椭圆C的方程为 eq \f(x2,8)＋ eq \f(y2,4)＝1.
(2) 方法一：分别过点A，B作椭圆右准线的垂线，垂足分别为A′，B′，再过点B作BM⊥AA′，垂足为M.
设TB＝m，由 eq \(AT,\s\up6(→))＝2 eq \(TB,\s\up6(→))知，TA＝2m.
由(1)知T为椭圆C的焦点，所以BB′＝ eq \f(m,e)，AA′＝ eq \f(2m,e)，所以AM＝ eq \f(m,e)＝ eq \r(2)m.
在Rt△ABM中，BM＝ eq \r(9m2－2m2)＝ eq \r(7)m，所以tan ∠BAM＝ eq \f(\r(7)m,\r(2)m)＝ eq \f(\r(14),2)，故直线l的斜率k为 eq \f(\r(14),2).
方法二：设直线l的方程为y＝k(x－2)，点A(x1，y1)，B(x2，y2).由 eq \(AT,\s\up6(→))＝2 eq \(TB,\s\up6(→))知，y1＝－2y2，①
依题意，得k≠0，不妨设m＝ eq \f(1,k)，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋2，,\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1，))消去x并整理，得(m2＋2)y2＋4my－4＝0，
则y1＋y2＝－ eq \f(4m,m2＋2)，② y1y2＝ eq \f(－4,m2＋2)，③ 联立①②③，解得m2＝ eq \f(2,7)，即k＝ eq \f(\r(14),2)或k＝－ eq \f(\r(14),2)(舍去).
故直线l的斜率k为 eq \f(\r(14),2).
【变式4-1】如图，已知椭圆C： eq \f(x2,8)＋ eq \f(y2,4)＝1.过点T(1，0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(点A在x轴的下方).若 eq \(AT,\s\up6(→))＝2 eq \(TB,\s\up6(→))，求直线l的斜率k.
【解析】 设直线l的方程为y＝k(x－1)，点A(x1，y1)，B(x2，y2).由 eq \(AT,\s\up6(→))＝2 eq \(TB,\s\up6(→))，知y1＝－2y2.①
依题意，得k≠0，不妨设m＝ eq \f(1,k)，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋1，,\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1，))消去x并整理，得(m2＋2)y2＋2my－7＝0，
所以y1＋y2＝－ eq \f(2m,m2＋2)，② y1y2＝ eq \f(－7,m2＋2)，③ 联立①②③，解得m2＝14，即k＝－ eq \f(\r(14),14)(舍去)或k＝ eq \f(\r(14),14)，
故直线l的斜率k为 eq \f(\r(14),14).
【变式4-2】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：EQ \F(x\S(2),a\S(2))＋\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞b＞0)的左，右顶点分别为A，B．F是椭圆的右焦点，EQ \\ac(\S\UP7(→),AF)＝3EQ \\ac(\S\UP7(→),FB)，EQ \\ac(\S\UP7(→),AF)·EQ \\ac(\S\UP7(→),FB)＝3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，AM，AN的斜率分别为k，k1，k2．若k(k1＋k2)＝1，证明直线l过定点，并求出定点的坐标．
【解析】(1)由题意，知A(－a，0)，B(a，0)，F(c，0)．因为EQ \\ac(\S\UP7(→),AF)＝3EQ \\ac(\S\UP7(→),FB)，EQ \\ac(\S\UP7(→),AF)·EQ \\ac(\S\UP7(→),FB)＝3，
所以EQ \B\lc\{(\a\al(\l(a＋c＝3(a－c)，),\l((a＋c)(a－c)＝3，)))解得eq \B\lc\{(\a\al(a＝2，,c＝1，))从而b2＝a2－c2＝3．所以椭圆C的方程eq \f(x\s\up6(2),4)＋\f(y\s\up6(2),3)＝1．
(2)设直线l的方程为y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)．因为直线l不过点A，因此－2k＋m≠0．
由eq \B\lc\{(\a\al(\f(x\s\up6(2),4)＋\f(y\s\up6(2),3)＝1，,y＝k＋m，))得(eq 3＋4k\s\up6(2))x\s\up6(2)＋8kmx＋4m\s\up6(2)－12＝0．则eq x\s\d(1)＋x\s\d(2)＝\f(－8km,3＋4k\s\up6(2))，x1x2＝EQ \F(4m\S(2)－12,3＋4k\S(2))．
所以k1＋k2＝EQ \F(y\S\DO(1),x\S\DO(1)＋2)＋EQ \F(y\S\DO(2),x\S\DO(2)＋2)＝EQ \F(2kx\S\DO(1)x\S\DO(2)＋(2k＋m)\b\bc\((\l(x\S\DO(1)＋x\S\DO(2)))＋4m,x\S\DO(1)x\S\DO(2)＋2\b\bc\((\l(x\S\DO(1)＋x\S\DO(2)))＋4)＝EQ \F(2k·\F(4m\S(2)－12,3＋4k\S(2))＋(2k＋m)·\F(－8km,3＋4k\S(2))＋4m,\F(4m\S(2)－12,3＋4k\S(2))＋2·\F(－8km,3＋4k\S(2))＋4)
＝EQ \F(12(m－2k),4\b\bc\((\l(m\S(2)－4km＋4k\S(2))))＝EQ \F(3,m－2k)．
由k(k1＋k2)＝1，可得3k＝m－2k，即m＝5k．故l的方程为y＝kx＋5k，恒过定点(－5，0)．
直线与圆锥曲线的位置关系 随堂检测
1.直线y＝kx－k＋1与椭圆 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,4)＝1的位置关系为( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
【答案】 A
【解析】 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1).又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
2. 过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
【答案】 C
【解析】 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，直线y＝1，过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0).
3.设为抛物线的焦点，点在上，点，若，则
A．2B．C．3D．
【答案】
【解析】为抛物线的焦点，点在上，点，，
由抛物线的定义可知，不妨在第一象限），所以．故选：．
4.已知双曲线的离心率为，的一条渐近线与圆交于，两点，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】双曲线的离心率为，可得，所以，所以双曲线的渐近线方程为：，一条渐近线与圆交于，两点，圆的圆心，半径为1，
圆的圆心到直线的距离为：，所以．故选：．
5.（多选）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则
A．B．
C．以为直径的圆与相切D．为等腰三角形
【答案】
【解析】直线过抛物线的焦点，可得，所以，所以正确；
抛物线方程为：，与交于，两点，直线方程代入抛物线方程可得：，
，所以，所以不正确；，的中点的横坐标：，中点到抛物线的准线的距离为：，所以以为直径的圆与相切，所以正确；，不妨可得，，，，，，，所以不是等腰三角形，所以不正确．故选：．
6.已知椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，F( eq \r(2)，0)是椭圆C的右焦点，过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为________________．
【答案】 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,2)＝1
【解析】 由题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝\r(2)，,\f(2b2,a)＝2，,a2＝b2＋c2，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝\r(2)，))所以椭圆C的方程为 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,2)＝1.
7.经过椭圆 eq \f(x2,2)＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))的值为________．
【答案】 － eq \f(1,3)
【解析】 依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y＝x－1，代入椭圆方程消去y并整理，得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝ eq \f(4,3)，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，（ eq \f(4,3)， eq \f(1,3)），所以 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,3).同理，当直线l经过椭圆的左焦点时，也可得 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,3)，故 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))的值为－ eq \f(1,3).
8.已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，与轴、轴分别相交于，两点，且，，则的方程为 ．
【答案】．
【解析】设，，，，线段的中点为，由，，相减可得：，则，设直线的方程为：，，，，，，
，，，，解得，，，
化为：．，，解得．的方程为，即，
故答案为：．
9.已知直线与抛物线交于，两点，．
（1）求；
（2）设为的焦点，，为上两点，且，求面积的最小值．
【解析】设，，，，联立，消去得：，
，，△，，，
，
，，，，
（2）由（1）知，所以，显然直线的斜率不可能为零，
设直线，，，，
由，可得，所以，，△，
因为，所以，
即，即，
将，，代入得，
，所以，且，解得或．
设点到直线的距离为，所以，
，
所以的面积，
又或，所以当时，的面积.圆锥曲线方程
直线斜率
椭圆：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
k＝－eq \f(b2x0,a2y0)
双曲线：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
k＝eq \f(b2x0,a2y0)
抛物线：y2＝2px(p＞0)
k＝eq \f(p,y0)