（寒假）2024-2025年高二数学 寒假巩固讲义+随堂检测 第09课 圆锥曲线中的最值、定点、定值问题（2份，原卷版+教师版）

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【例1】若P，Q分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为________．
【答案】.
【分析】设点，圆心，的最小值即为的最小值减去圆的半径，求出的最小值即可得解．
【详解】依题可设，圆心，根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知，的最小值即为的最小值减去半径．因为，，设，
，由于恒成立，所以函数在上递减，在上递增，即，所以，即的最小值为．
故答案为：．
【变式1-1】已知抛物线的焦点为，点，为抛物线上一动点，则周长的最小值为______.
【答案】
【分析】过作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为，进而结合抛物线的定义求解即可.
【详解】解：由题知，准线方程为.如图，过作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为，所以周长，当且仅当为与抛物线的交点时等号成立.故答案为：.
题型二 与面积有关的最值问题
【例2】已知椭圆经过点，且椭圆的长轴长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设经过点的直线与椭圆相交于、两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，求的面积的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据已知条件可得出的值，将点的坐标代入椭圆的方程，可得出，即可得出椭圆的方程；（2）分析可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，写出直线的方程，可求得点的坐标，利用三角形的面积公式以及对勾函数的单调性可求得的取值范围.
【详解】（1）解：因为椭圆的长轴长为，则，
将点的坐标代入椭圆的方程可得，可得，所以，椭圆的标准方程为.
（2）解：若与轴重合，则不存在，设直线的方程为，设点、，
若，则点与点重合，不合乎题意，所以，，
联立可得，，
由韦达定理可得，，易知点，，
直线的方程为，将代入直线的方程可得，即点，，所以，，
令，则函数在上为增函数，
所以，，所以，.
故的面积的取值范围是.
题型三 与向量有关的最值问题
【例3】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别、焦距为2，且与双曲线共顶点．P为椭圆C上一点，直线交椭圆C于另一点Q．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P的坐标为，求过P、Q、三点的圆的方程；
(3)若，且，求的最大值．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）由焦距为2得到，再由双曲线的顶点求出，得到，椭圆方程；
（2）求出的方程，与椭圆方程联立后得到点Q的坐标，待定系数法求出圆的方程；
（3）设，，由向量共线得到，将两点坐标代入椭圆方程中，求出，从而表达出，结合基本不等式求出最值.
【详解】（1）双曲线的顶点坐标为，故，
由题意得，故，故椭圆的方程为．
（2）因为，，所以的方程为，
由，解得点Q的坐标为．设过P，Q，三点的圆为，
则，解得，，，所以圆的方程为；
（3）设，，则，，
因为，所以，即，所以，解得，
所以，
因为，所以，当且仅当，即时，取等号．最大值为
圆锥曲线中的定值问题
题型五 圆锥曲线中面积为定值问题
【例5】已知圆，点，是圆上一动点，若线段的垂直平分线与线段相交于点．
(1)求点的轨迹方程；
(2)已知为点的轨迹上三个点（不在坐标轴上），且，求的值．
【解析】(1)由已知有，
∴点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，∴，
∴点的轨迹方程
(2)由，可知为的重心，∴，
由已知的斜率存在，设直线的方程为：，，
由，则，
，
由，，
∴，，
∴．
题型六 圆锥曲线中线段为定值问题
【例6】已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点到渐近线的距离为2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设为双曲线的右顶点，直线与双曲线交于不同于的，两点，若以为直径的圆经过点且于，证明：存在定点，使得为定值.
【答案】(1)；(2)见解析
【分析】（1）由已知可设，双曲线的标准方程为，根据条件列出a，c关系式，解出代入方程即可；
（2）对直线的斜率能否为0进行讨论.斜率不为0时，设的方程为，联立直线与椭圆的方程，有垂直关系时，在圆锥曲线中常用向量法，化简得到m，k的关系式；斜率不存在时，写出直线方程，验证即可.
【详解】（1）设双曲线的标准方程为，焦点为，，
因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以.因为焦点到渐近线的距离为2，所以，从而，故双曲线的标准方程为
（2）证明：设，.①当直线的斜率存在时，设的方程为，
联立方程组化简得，则，即，且 因为，所以，
化简得 所以或，且均满足.当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，直线的方程为，过定点
②当直线的斜率不存在时，由对称性，不妨设DE方程为：y=x-1，
联立方程组，得，得，，此时直线过定点
因为，所以点在以为直径的圆上，为该圆的圆心,为该圆的半径，故存在定点，使得为定值.
【变式6-1】已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
【解析】（1）由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：.
(2)［方法一］：通性通法
设点，若直线斜率存在时，设直线的方程为：，
代入椭圆方程消去并整理得：，可得，，
因为，所以，即，
根据,代入整理可得：，
所以，整理化简得，
因为不在直线上，所以，
故，于是的方程为，所以直线过定点直线过定点.
当直线的斜率不存在时，可得，由得：，
得，结合可得：， 解得：或（舍）.
此时直线过点.令为的中点，即，
若与不重合，则由题设知是的斜边，故，
若与重合，则，故存在点，使得为定值.
圆锥曲线中的最值、定点、定值问题 随堂检测
1.已知抛物线C：（p＞0），抛物线C的焦点为F，点P在抛物线上，且的最小值为1．
(1)求p；
(2)设O为坐标原点，A，B为抛物线C上不同的两点，直线OA，OB的斜率分别为，，且满足，求｜AB｜的取值范围．
【解析】 (1)因为，则，所以；
(2)由（1）得，设，则
则，由得，所以，
设直线方程为，联立方程组得，所以则
故过焦点，所以．
2.设椭圆经过点M，离心率为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设椭圆E的右顶点为A，过定点且斜率不为0的直线与椭圆E交于B，C两点，设直线AB，AC与直线的交点分别为P，Q，求面积的最小值.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）把点代入椭圆方程，然后结合离心率公式即可求出椭圆的标准方程；
（2）设出直线方程，与椭圆方程联立消元写韦达，然后表示出直线，的方程，进而求得，，求得，结合韦达定理即可求解.
(1)由题意知，，解得，所以椭圆的标准方程为．
(2)设过点的直线方程为，代入椭圆的方程，整理得，
因为，设，，则，①，
由（1）得，则直线的方程为，令，得，同理可得
将，代入，
把①式代入，整理得，由，知，所以面积的最小值为.
3.已知双曲线C的渐近线方程为，且过点.
(1)求C的方程；
(2)设，直线不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线与C交于另一点D，求证：直线过定点.
【答案】(1)；(2)见解析
【分析】（1）可设双曲线的方程为，将点代入求出，即可得解；
（2）可设直线为，，联立，消，利用韦达定理求得，然后求出直线的方程，整理分析即可得出结论.
(1)解：因为双曲线C的渐近线方程为，则可设双曲线的方程为，
将点代入得，解得，所以双曲线C的方程为；
(2)解：显然直线的斜率不为零，设直线为，，
联立，消整理得，
依题意得且，即且，，
直线的方程为，令，
得.
所以直线过定点.