（寒假）2024-2025年高二数学 寒假巩固讲义+随堂检测 第11课 利用导数研究函数的单调性、极值和最值（2份，原卷版+教师版）

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1. 函数的单调性
设函数y＝f(x)在某个区间内可导，若f′(x) > 0，则f(x)为增函数，若f′(x) < 0，则f(x)为减函数．
2. 求可导函数f(x)单调区间的步骤：
(1) 确定f(x)的 定义域 ；
(2) 求导数f′(x)；
(3) 令f′(x) > 0(或f′(x) < 0)，解出相应的x的取值范围；
(4) 当 f′(x)>0 时，f(x)在相应区间上是增函数，当 f′(x)0(或f′(x)0时，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(2,3)))∪(1，＋∞)；当f′(x)＜0时，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，1)).
∴函数的单调增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(2,3)))和(1，＋∞)，单调减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，1)).
(2)g′(x)＝2x－eq \f(2,x)＝eq \f(2（x＋1）（x－1）,x)，定义域为(0，＋∞)，令g′(x)＝0，解得：x＝1或x＝－1(舍去)，列表：
∴函数的单调增区间是(1，＋∞)，单调减区间是(0，1)．
【变式1-1】函数f(x)＝eq \f(x－3,e2x)的减区间是( )
A. (－∞，2) B. (2，＋∞) C. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，＋∞)) D. (3，＋∞)
【答案】C
【解析】 因为f(x)＝eq \f(x－3,e2x)，所以f′(x)＝eq \f(7－2x,e2x)，令f′(x)0，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))时，f′(x)0，得csx>－eq \f(1,2)，即2kπ－eq \f(2π,3)0,f(x)单调递增f(x)≥f(1)=e+1−a，
若f(x)≥0,则e+1−a≥0,即a≤e+1
所以a的取值范围为(−∞,e+1]
(2)由题知,f(x)一个零点小于1,一个零点大于1,不妨设x10
下面证明x>1时，exx−xe1x>0,lnx−12(x−1x)1，
则g'(x)=(1x−1x2)ex−(e1x+xe1x⋅(−1x2))=1x(1−1x)ex−e1x(1−1x)=(1−1x)(exx−e1x)=x−1x(exx−e1x)
设φ(x)=exx(x>1),φ'(x)=(1x−1x2)ex=x−1x2ex>0所以φ(x)>φ(1)=e,而e1x0,所以g'(x)>0所以g(x)在(1,+∞)单调递增,即g(x)>g(1)=0,所以exx−xe1x>0
令ℎ(x)=lnx−12(x−1x),x>1,ℎ'(x)=1x−12(1+1x2)=2x−x2−12x2=−(x−1)22x2