2024-2025学年高二上学期期末模拟测试数学试题

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
测试范围：北师大版（2019）选择性必修第一册第一章至第五章《计数原理》.
第I卷（选择题58分）
一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
设，向量，，，且，，则
A. B. C. D.
抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ）
A. B. C. D.
某市政工作小组就民生问题开展社会调研，现派遣三组工作人员对市内甲、乙、丙、丁四区的居民收人情况进行抽样调査，若每区安排一组工作人员调研，且每组工作人员至少负责一个区调研，则不同的派遣方案共有（ ）
A. 12种B. 36种C. 48种D. 72种
作圆上一点处的切线，直线与直线平行，则直线与的距离为（ ）
A. 4B. 2C. D.
在的二项展开式中，含的奇次幂的项之和为，当时，等于（ ）
A. B.
C. D.
如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（ ）
A. B. C. D.
如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，若为坐标原点，则的取值范围为（ ）

A. B. C. D.
二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
在的展开式中，下列结论中正确的是( )
A. x3的系数为40 B. x3的系数为32
C. 常数项为16 D. 常数项为8
已知椭圆的左，右焦点分别为，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（ ）
A. 椭圆的离心率为
B. 的周长为4
C. 若，则的面积为3
D. 若，则
如图所示，棱长为2的正方体中，G为的中点，与面交于点H，则下列结论正确的有（ ）
在方向上的投影向量是
B. 与平面所成角的正弦值为
C. 三棱锥的外接球的体积为
D. 点H是的重心
第II卷（非选择题92分）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则__________.
小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有__________种.（结果用数字作答）
已知在平面直角坐标系中，点，，动点满足，点为抛物线E：上的任意一点，在轴上的射影为，则的最小值为__________.
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，解决下面两个问题.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
已知，若的展开式中，________.
(1)求的值；
(2)求的值.
已知圆C的半径为3，圆心C在射线上，直线被圆C截得的弦长为
（1）求圆C方程;
（2）过点的直线l与圆C交于M、N两点，且的面积是为坐标原点，求直线l的方程.
如图，在三棱柱中，底面，，点为的中点.
（1）证明：平面；
（2）棱上是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，，分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求直线的方程；
（3）已知直线斜率存在，若是椭圆经过原点的弦，且，求证：为定值．
在平面直角坐标系中，设，，定义两点，之间“”距离为．把到两定点，的“”距离之和为定值的点的轨迹叫做“椭圆”，，为此“椭圆”的焦点．
（1）已知，．
①求“椭圆”的方程；
②求“椭圆”的面积；
（2）已知“椭圆”的焦点分别，，其面积为10，为上一定点，且在直线外，点在上．
证明：．其中表示两点，之间“”距离的最小值，表示，中的较大者．