2025年高考数学二轮复习专项精练1 集合与常用逻辑用语、复数（真题精练+模拟精练）

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【真题精练】
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的充分条件
2．（2024·全国·高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题B．和q都是真命题
C．p和都是真命题D．和都是真命题
4．（2024·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．10D．
5．（2024·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．0B．1C．D．2
6．（2023·全国·高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7．（2023·全国·高考真题）设全集,集合，（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1B．C．0D．
9．（2023·全国·高考真题）设集合，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·全国·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
11．（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2B．1C．D．
12．（2023·全国·高考真题）设，则（ ）
A．-1B．0 C．1D．2
13．（2023·全国·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
14．（2023·全国·高考真题）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
15．（2023·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．0D．1
参考答案：
1．C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
2．D
【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为，所以，
则，
故选：D
3．B
【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，
对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，
综上，和都是真命题.
故选：B.
4．A
【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.
【详解】由，则.
故选：A
5．C
【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.
【详解】若，则.
故选：C.
6．B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
7．A
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集，，所以，．
故选：A．
8．B
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.
【详解】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或或
于是有或，
即有，解得；
或者，解得；
所以，或.
故选：B
9．A
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可.
【详解】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或x≥1，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
10．C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，
【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则Sn=na1+n(n-1)2d,Snn=a1+n-12d=d2n+a1-d2,Sn+1n+1-Snn=d2，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即Sn+1n+1-Snn=nSn+1-(n+1)Snn(n+1)=nan+1-Snn(n+1)为常数，设为，
即nan+1-Snn(n+1)=t，则Sn=nan+1-t⋅n(n+1)，有Sn-1=(n-1)an-t⋅n(n-1),n≥2，
两式相减得：an=nan+1-(n-1)an-2tn，即an+1-an=2t，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则Snn=a1+(n-1)2d=d2n+a1-d2，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即Sn+1n+1-Snn=D,Snn=S1+(n-1)D，
即，，
当时，上两式相减得：Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
11．B
【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
12．C
【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．
【详解】因为，
所以，解得：．
故选：C.
13．B
【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.
【详解】由题意可得，
则.
故选：B.
14．A
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为，
则所求复数对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
15．A
【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．
【详解】因为，所以，即．
故选：A．
【模拟精练】
一、单选题
1．（2024·河南新乡·三模）下列集合中有无数个元素的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·河南·二模）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·广东广州·一模）设集合，，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·云南昆明·三模）如图，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A．B．C．D．
5．（2024·江苏南京·三模）集合的子集个数为（ ）
A．2B．4C．8D．16
6．（2024·重庆·三模）已知集合，集合，若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
7．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，，则M、N、P的关系满足（ ）．
A．B．
C．D．
8．（2024·广东·一模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·广东深圳·一模）满足等式的集合X共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（2024·天津北辰·三模）已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·辽宁沈阳·一模）已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·江苏·一模）已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
13．（23-24高三上·北京丰台·期末）已知是两个不共线的单位向量，向量（）．“，且”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
14．（2022·山东淄博·一模）若向量，则“”是“向量的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
15．（2024·浙江宁波·二模）已知平面，则“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
16．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
17．（2024·湖北武汉·模拟预测）若命题“,”是假命题，则不能等于（ ）
A．B．C．D．
18．（2024·广东中山·模拟预测）命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
19．（2023·湖北武汉·二模）若复数是纯虚数，则实数（ ）
A．B．C．D．
20．（2024·湖北·二模）已知复平面内坐标原点为，复数对应点满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
21．（2024·辽宁沈阳·一模）设复数满足，则（ ）
A．B．C．1D．
22．（23-24高三上·湖南·阶段练习）设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（ ）
A．B．
C．D．
23．（2024·广东深圳·一模）已知为虚数单位，若，则（ ）
A．B．2C．D．
24．（23-24高三上·湖北黄冈·期中）复数的共轭复数是（ ）
A．B．
C．D．
25．（2023·河南·模拟预测）已知，为实数，（i为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（ ）
A．0B．1C．2D．4
参考答案：
1．D
【分析】求出各个选项的元素个数即可得出答案.
【详解】对于A，因为，，则，，故A 错误；
对于B，因为，，则，
所以，故B错误；
对于C，，，所以，故C错误；
对于D，有无数个元素.故D正确.
故选：D.
2．D
【分析】根据真子集的定义，推断出集合含有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数的取值范围．
【详解】若集合有15个真子集，则中含有4个元素，
结合，可知，即，且区间,中含有4个整数，
①当时，,的区间长度，此时,中不可能含有4个整数；
②当时，,,，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意；
③当时，,的区间长度大于3，
若,的区间长度，即．
若是整数，则区间,中含有4个整数，根据，可知，，
此时,,，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意．
若不是整数，则区间,中含有5、6、7、8这4个整数，则必须且，解得；
若时，,,，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意；
当时，,的区间长度，此时,中只能含有6、7、8、9这4个整数，
故，即，结合可得．
综上所述，或或，即实数的取值范围是,,．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：由真子集的个数可得，且区间,中含有4个整数，结合区间长度，即可对讨论求解.
3．A
【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性及集合的包含关系列式计算即得.
【详解】由，得，即，此时，
由，得，而，所以.
故选：A
4．A
【分析】结合韦恩图，根据集合的运算和表示法即可求解.
【详解】由题可知阴影部分表示的集合为：且，即.
故选：A.
5．D
【分析】先求出集合，再求出子集个数即可.
【详解】由题意，得,故集合A子集个数为个.
故选：D.
6．B
【分析】利用子集的概念求解.
【详解】集合，集合，
若，又，所以，解得
故选：B
7．B
【分析】先将集合化简变形成统一形式，然后分析判断即可.
【详解】因为，
所以．
故选：B．
8．D
【分析】通过计算函数定义域求出集合，计算函数值域求出集合，最后通过交集运算即可求解.
【详解】由，有，即，所以；
由令，根据二次函数的性质有，
所以，又因为，所以，；
所以.
故选：D
9．D
【分析】根据方程的实数根可得集合，则，由集合的并集与元素的关系即可得符合条件的所有集合.
【详解】解：方程的实数根有，解集构成的集合为，
即，则符合该等式的集合为，，，，
故这样的集合共有4个.
故选：D.
10．C
【分析】
由已知求解，化简集合N后再由交集运算得答案．
【详解】
∵集合，，
∴，又＝{0,1}，
∴()∩N＝{0,1}．
故选：C．
11．A
【分析】根据集合的交并补即可求解.
【详解】由题知，
故选：A.
12．A
【分析】利用韦恩图表示的集合运算，直接写出结果即可.
【详解】观察韦恩图知，阴影部分在集合A中，不在集合B中，所以所求集合为.
故选：A
13．A
【分析】举例验证必要性，通过向量的运算来判断充分性.
【详解】当，且时，
，充分性满足；
当时，
，当，时，
是可以大于零的，
即当时，可能有，，必要性不满足，
故“，且”是“”的充分而不必要条件.
故选：A.
14．B
【分析】根据向量的夹角为钝角求出m的范围，即可判断“”和“向量的夹角为钝角”之间的逻辑推理关系，即可得答案.
【详解】向量，由向量的夹角为钝角，
即有，解得且，
即“”不能推出“且”即“向量的夹角为钝角”；
“向量的夹角为钝角”即“且”能推出“”；
故“”是“且”的必要不充分条件，
即“”是“向量的夹角为钝角”的必要不充分条件．
故选：B．
15．C
【分析】根据线面垂直即可求证面面垂直，即可说明充分性，根据面面垂直的性质可得线面垂直，即可利用线面垂直的判断求证必要性.
【详解】由于，所以，
若 ，则，，故充分性成立，
若，，设，，
则存在直线使得，所以，由于，故，
同理存在直线使得，所以，由于，故，
由于不平行，所以是平面内两条相交直线，所以，故必要性成立，
故选：C
16．C
【分析】由命题为假命题，则在上无解，即与，函数图象没有交点，画出图象求出参数，命题为真命题，则，求出参数求交集即可.
【详解】命题为假命题，
在上无解，
即与，函数图象没有交点，

由图可知：或，
命题为真命题，则，解得，
综上所述：实数a的取值范围为.
故选：C
17．C
【分析】转化为命题的否定“,”为真命题.用关于的一次函数来考虑，即可解.
【详解】根据题意，知原命题的否定“,”为真命题.
令,,解得.
故选:C.
18．B
【分析】根据存在量词命题的否定即可得解.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：B.
19．A
【分析】利用除法运算化简复数，根据纯虚数的特征，即可判断.
【详解】，则，有.
故选：A
20．C
【分析】由复数的除法运算易求出，再根据复数的几何意义即可得.
【详解】由可得；
所以可得，即；
即.
故选：C
21．C
【分析】利用复数的除法解出，由模长公式计算.
【详解】由解得，所以.
故选：C.
22．C
【分析】利用复数模的坐标表示即可得解.
【详解】因为z在复平面内对应的点为，
所以，则，
又，所以，即.
故选：C．
23．B
【分析】由复数的运算及共轭复数的定义即可求出结果.
【详解】因为，所以，
.
故选：B.
24．B
【分析】先将复数的分母化成实数，再求其共轭复数即可.
【详解】而的共轭复数是
故选：B.
25．D
【分析】由是关于的方程的一个根，则是关于的方程的一个根，结合根与系数的关系求解即可.
【详解】由是关于的方程的一个根，
则是关于的方程的一个根，
则，，
即，，则，
故选：D.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
A
C
B
A
B
A
C
题号
11
12
13
14
15





答案
B
C
B
A
A





题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
A
A
D
B
B
D
D
C
题号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
答案
A
A
A
B
C
C
C
B
A
C
题号
21
22
23
24
25





答案
C
C
B
B
D